第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 习题课件 2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

单元核心考点归纳3 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形中的边角关系 1.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　D　) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B,AC⊥b,垂足为点C.若∠1=52°,则∠2的度数是(　C　) A.52° B.45° C.38° D.26° 第2题图 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.小华将一副三角尺(∠C=∠D=90°,∠B=30°,∠E=45°)按如图所示的方式摆放,其中AB∥EF,则∠1的度数为(　C　) 第3题图 A.45° B.60° C.75° D.105° 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.若三角形的三边长分别为x+5,8,2x+1,则x的取值范围是 <x<12　.  5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=116°,AC平分∠BCD,E是BC上一点,EF∥AC交AB于点F. (1)求∠DAC的度数. 第5题图 解:(1)∵AD∥BC,∠D=116°, <x<12 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠DCB=180°- ∠D=180°-116°=64°. ∵AC平分∠BCD, ∴∠ACB=∠DCB=×64°=32°. 又∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=32°. (2)若∠BFE=3∠B,求∠BAC的度数. (2)∵EF∥AC, ∴∠BAC=∠BFE=3∠B. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在△ABC中,∵∠BAC+∠B=180°-32°=148°, ∴3∠B+∠B=148°,解得∠B=37°, ∴∠BAC=3∠B=111°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形中的重要线段 6.如图,表示△ABC的边AB上的高的图形是(　D　) A B C D 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.如图,在△ABC中,点D,E分别是边BC,AB的中点.若△ABC的面积为8,则△BDE的面积为(　A　) A.2 B.3 C.4 D.5 第7题图 　A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.沪科版八上教材P87T9改编如图,在△ABC中,AD,AE分别为角平分线和高.若∠C=64°,∠DAE=9°,则∠B=　46°　. 第8题图 　46°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 命题与证明 9.下列命题中,逆命题是真命题的是(　C　) A.对顶角相等 B.若a=b,则a2=b2 C.等角的补角相等 D.若a=b,则|a|=|b| 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.下列命题中错误的个数有(　B　) ①实数与数轴上的点一一对应; ②无限小数就是无理数; ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角; ④两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补. A.1 B.2 C.3 D.4 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.如图,有三个论断:①∠1=∠2;②∠B=∠C;③∠A=∠D.请你从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性. 第11题图 解:答案不唯一: 已知:∠1=∠2,∠B=∠C,求证:∠A=∠D. 证明:如图,∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴EC∥BF,∴∠AEC=∠B. 又∵∠B=∠C,∴∠AEC=∠C, ∴AB∥CD,∴∠A=∠D. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E,点F为AC延长线上的一点,连接DF. (1)求∠CBE的度数. (2)若∠F=25°,求证:BE∥DF. 第12题图 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ABC=90°-∠A=50°,∴∠CBD=130°. ∵BE是∠CBD的平分线, ∴∠CBE=∠CBD=65°. (2)证明:∵∠ACB=90°,∠CBE=65°, ∴∠CEB=90°-65°=25°. 又∵∠F=25°,∴∠F=∠CEB=25°, ∴BE∥DF. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13.(2024·安庆期中)在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD交于点F. (1)【问题呈现】如图1,若∠A=100°,求∠BFD的度数. (2)【问题推广】如图2,将△ABC沿MN折叠,使得点A与点F重合.若∠1+∠2=160°,求∠BFC的度数. (3)【问题拓展】若点P,Q分别是线段AB,AC上的点,设∠AQP=α,∠ACB=β.射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合),直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系(用含α,β的代数式表示). 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 第13题图 解:(1)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A. ∵∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD交于点F, ∴∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB, ∴2∠FBC+2∠FCB=∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠FBC+∠FCB=(180°-∠A)=90°-∠A. ∵∠BFD是△FBC的一个外角, ∴∠BFD=∠FBC+∠FCB=90°-∠A. ∵∠A=100°, ∴∠BFD=90°-×100°=40°. (2)∵∠AMF=180°-∠1,∠ANF=180°-∠2,∠1+∠2=160°, ∴∠AMF+∠ANF=360°-(∠1+∠2)=200°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 由折叠性质,得∠AMF=2∠AMN,∠ANF=2∠ANM, ∴2∠AMN+2∠ANM=∠AMF+∠ANF=200°, ∴∠AMN+∠ANM=100°, ∴∠A=180°-(∠AMN+∠ANM)=80°. 延长CF交AB于点D, 由(1)可得∠BFD=90°-∠A, ∴∠BFD=90°-×80°=50°, ∴∠BFC=180°-∠BFD=130°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (3)∠PHC-∠BFC=β-α或∠PHC+∠BFC=180°+α-β. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $13.2　命题与证明 第1课时 　命　题 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 定义与命题的相关概念 1.定义是指　能明确界定某个对象含义　的语句,三角形中线的定义是　三角形中,连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线　. 　能明确界定某个对象含义　 　 三角形中,连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.下列语句中不是命题的是(　C　) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.作∠A的平分线 D.内错角相等 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.(2024·潍坊改编)下列命题:①若a=b,则ac=bc;②若a>b,则ac>bc;③两个有理数的积仍为有理数;④两个无理数的积仍为无理数.其中是真命题的是　①③　;是假命题的是　②④　.(填序号即可) 　①③　 　②④　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 命题的条件与结论 4.命题“对顶角相等”的条件(题设)是　两个角是对顶角　,结论是　这两个角相等 . 　两个角是对顶角　 　这两个角相等 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.把命题“凡能被2整除的数,末位数字必是偶数”写成“如果……那么……”的形式为　如果一个数能被2整除,那么它的末位数字必是偶数　. 如果一个数能被2整除,那么它的末位数字必是偶数　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 互逆命题与反例 6.要说明命题“若a>b,则|a|>|b|”是假命题,能举的一个反例是(　D　) A.a=3,b=2 B.a=4,b=-1 C.a=1,b=0 D.a=1,b=-2 D 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并写出它们的逆命题,判断逆命题的真假. (1)不相等的两个角不是对顶角. (2)等边三角形是等腰三角形. 解:(1)如果两个角不相等,那么它们不是对顶角. 逆命题:不是对顶角的两个角不相等,是假命题. (2)如果一个三角形是等边三角形,那么它是等腰三角形. 逆命题:等腰三角形是等边三角形,是假命题. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.“若a=b,则a2=b2”为原命题,则下列判定正确的是(　A　) A.原命题为真命题,逆命题为假命题 B.原命题与逆命题均为真命题 C.原命题为假命题,逆命题为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 　A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.在同一平面内,有三条直线a,b,c.下列四个命题中为真命题的是　①③④　.(填写所有真命题的序号)  ①若a∥b,a⊥c,则b⊥c; ②若b⊥a,c⊥a,则b⊥c; ③若a∥b,c∥b,则a∥c; ④若b⊥a,c⊥a,则b∥c. 　①③④　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.新考法若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2,十位上的数字比个位上的数字大2,千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零,则称P为“双减数”.将“双减数”P的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N(P).例如:四位正整数7 564,因为7-5=6-4=2,且7≠6,所以7 564是“双减数”,此时N(7 564)=75-64=11. (1)判断“8 631”是否是双减数?若是,请求出N(8 631)的值;若不是,请说明理由. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)命题“对于任意双减数A,N(A)都能被11整除”是真命题还是假命题?说明你的理由. 解:(1)8 631是双减数. 因为8-6=2,3-1=2,8≠1, 所以8 631是双减数,此时N(8 631)=86-31=55. (2)是真命题.理由如下: 设千位数字为a,十位数字为b,则百位数字为a-2,个位数字为b-2,且a≠b, 所以双减数A=1 000a+100(a-2)+10b+(b-2), 创新作业本·数学八年级上（沪科版） N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b), 所以N(A)能被11整除. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第3课时 　三角形内角和定理的证明及推论 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形内角和定理的证明 1.证明:三角形内角和等于180°. (1)请将下列证明过程补充完整(在括号内填写相应的推理依据). 已知:如图1,在△ABC中,求证:∠A+∠B+∠ACB=180°. 图1 图2 第1题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:延长线段BC至点F,并过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB,(已作) ∴∠A=∠1,(　两直线平行,内错角相等　)  ∠B=∠2.(　两直线平行,同位角相等　)  ∵∠ACB+∠1+∠2=180°,(平角定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(　等量代换　)  (2)请根据图2的提示,再思考另外一种证明三角形内角和定理的方法并加以证明. 证明:如图2,过点A作DE∥BC, 　两直线平行,内错角相等　 　两直线平行,同位角相等　 　等量代换　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC. ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°, ∴∠BAC+∠B+∠C=180°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 直角三角形的两锐角互余 2.已知∠A,∠B为Rt△ABC的两个锐角,∠B=54°,则∠A的度数为(　B　) A.60° B.36° C.56° D.46° 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B-∠A=10°,则∠A的度数为(　B　) A.50° B.40° C.35° D.30° B 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.如图,在Rt△ABC中,AD是边BC上的高.若∠C=38°,则∠B=　52°　,∠DAB=　38°　.  第4题图 52°　 　38°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,则∠ACB=　100° 　. 第5题图 100° 　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 有两个角互余的三角形是直角三角形 6.在△ABC中,∠A=45°-α,∠B=45°+α(0°<α<45°).下列关于△ABC的判断,正确的是(　C　) A.△ABC一定是锐角三角形 B.△ABC一定是钝角三角形 C.△ABC一定是直角三角形 D.随着α变化,△ABC可能是上述任何一种情况 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.下列条件:①∠A+∠B=∠C; ②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3; ③∠A=∠B=∠C; ④∠A-∠B=∠C; ⑤∠A=2∠B=3∠C.其中能确定△ABC为直角三角形的条件有(　B　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,∠1=∠A.求证:△ABC为直角三角形. 第8题图 证明:∵CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, ∴∠1+∠B=90°. 又∵∠1=∠A, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.如图,有一块直角三角尺DEF放置在△ABC上,恰好三角尺DEF的两条直角边DE,DF分别经过点B,C.若∠A=60°,则∠ABD+∠ACD的度数为(　C　) A.60° B.45° C.30° D.25° 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.如图,AD,AE分别为△ABC的高线和角平分线,DF⊥AE于点F.当∠ADF=69°,∠C=65°时,∠B的度数是(　B　) 第10题图 A.21° B.23° C.25° D.30° 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.沪科版八上教材P87T10改编如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE=　39°　.  　39°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,AE,CD相交于点F. (1)求证:∠ACD=∠B. (2)求证:∠CEF=∠CFE. 第12题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明:(1)∵∠ACB=∠CDA=90°, ∴∠BAC+∠ACD=90°, ∠BAC+∠B=90°, ∴∠ACD=∠B. (2)∵AE是角平分线,∴∠CAE=∠BAE. ∵∠FDA=90°,∠ACE=90°, ∴∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°,∴∠AFD=∠CEA. ∵∠AFD=∠CFE,∴∠CFE=∠CEA, 即∠CFE=∠CEF. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13.如图,在四边形ABCD中连接AC,BD,∠ABC=90°,∠ABD+∠ADB=∠ACB,∠ADC=∠BCD. (1)求证:AD⊥AC. (2)猜想∠BAC与∠ACD之间的数量关系,并说明理由. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 第13题图 解:(1)证明:在△ABC中, ∵∠ABC=90°, ∴∠ACB+∠BAC=90°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在△ABD中,∠ABD+∠ADB+ ∠BAD=180°. ∵∠ABD+∠ADB=∠ACB, ∴∠ACB+∠BAD=180°, 即∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°, ∴∠CAD=90°, ∴AD⊥AC. (2)∠BAC=2∠ACD.理由如下: ∵∠ABC=90°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(∠BCD-∠ACD). ∵∠DAC=90°, ∴∠ADC=90°-∠ACD. ∵∠ADC=∠BCD, ∴∠BCD=90°-∠ACD, ∴∠BAC=90°-(90°-∠ACD-∠ACD)=2∠ACD. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第1课时 三角形中边的关系 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的有关概念 1.如图是小明用三根火柴组成的图形,其中符合三角形概念的是(　C　) A B C D 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.人教版八上教材P4T1改编(1)图中有　5　个三角形;它们用符号依次表示为　△ABE,△BEC,△CDE,△ABC,△BCD　.  (2)以BC为边的三角形分别是　△BEC,△ABC,△BCD　,以∠D为内角的三角形分别是　△CDE,△BCD　.  (3)以BE为边的三角形中,边BE所对的角分别是　∠A和∠ECB　.  第2题图 　5　 　△ABE,△BEC,△CDE,△ABC,△BCD　 　△BEC,△ABC,△BCD　 　△CDE,△BCD　 　∠A和∠ECB　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形按边分类 3.如图是三角形按边分类,图中小椭圆圈里的A表示(　D　) 第3题图 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.若a,b,c为三角形的三条边长,且满足(a-b)2+(b-c)2=0,则此三角形一定是　等边　三角形. 　等边　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的三边关系 5.(2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm,5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是(　B　) A.9 cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式】沪科版八上教材P66练习T2改编下列各组长度的线段中,能组成等腰三角形的是(　C　) A.1,2,3 B.6,3,3 C.2,2,3 D.3,4,5 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是　5<c<9　;当周长为奇数时,第三边长是　6或8　;当三角形为等腰三角形时,其周长为　16　. 7.三条线段的长度分别为a,b,c,其中a<b<c,且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形. (1)a,b,c只需要满足条件　①　即可.(只填一个序号)  ①a+b>c;②a+c>b;③b+c>a. (2)若a=2,c=5,b为整数,求构成的三角形的周长. 解:(1)由题意,知当两条短边之和大于最长边,即a+b>c满足题意,所以①正确.故答案为①. 5<c<9 　6或8　 　16　 　①　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)由题意,得 解得3<b<5. 因为b为整数,所以b=4, 所以围成的三角形周长为a+b+c=2+4+5=11. 答:构成的三角形的周长为11. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.若△ABC的三边长均为整数,周长为11,则这个三角形的最大边长是(　C　) A.7 B.6 C.5 D.4 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.(2024·宣城期末)已知a,b,c为三角形的三边,则式子|a+b-c|-|a-b-c|的化简结果为(　D　) A.2a B.2b C.0 D.2a-2c 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.已知n为整数,若一个三角形的三边长分别是31,n-3,6n,则n的值是　5　. 11.沪科版八上教材P65例1改编用一根长度为21 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍,求各边长. (2)所围成的等腰三角形的一边长为5 cm,求另两边长. (3)若所围成的等腰三角形的腰长为a cm,请直接写出a的取值范围. 　5　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (4)在(3)的条件下,直接写出底边y(单位: cm)关于腰长a(单位: cm)的函数表达式,并画出大致图象. 解:(1)设等腰三角形底边长为x cm,则腰长为3x cm. 根据题意,得x+3x+3x=21, 解得x=3, 所以三角形三边长为3 cm,9 cm,9 cm. (2)若底边长为5 cm,设腰长为k cm. 根据题意,得k+k+5=21, 解得k=8. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 若腰长为5 cm,设底边长为z cm. 根据题意,得z+5+5=21, 解得z=11. 由于5+5<11,可知5 cm为腰长不能构成周长21 cm的等腰三角形. 综上所述,三角形另外两边长都是8 cm. (3)因为等腰三角形的腰长为a cm, 所以等腰三角形的底边长为(21-2a) cm. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 由得 所以a的取值范围为<a<. (4)y=-2a+21,大致图象如图所示. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.核心素养·几何直观已知点P是△ABC内任意一点. (1)【基础理解】如图1,连接PA,PB,PC,试比较(AB+AC+BC)与PA+PB+PC的大小关系.完成下列解答过程: 解:由三角形两边的和大于第三边,得 PA+PB>　AB　,①  PA+PC>　AC　,②  PB+PC>　BC　,③  　AB　 　AC　 　BC　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ①+②+③,得2(PA+PB+PC)>　AB+AC+BC　,即PA+PB+PC　> (AB+AC+BC).  (2)【灵活应用】如图2,连接PA,PB,试说明:AC+BC>PA+PB. (3)【拓展延伸】如图3,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,试说明:AC与BD的和小于四边形ABCD的周长. 图1 图2 图3 　AB+AC+BC　 　> 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:(2)延长BP交AC于点D. 因为BC+CD>PB+PD①,AD+DP>PA②, 所以①+②,得BC+CD+AD+PD>PB+PD+PA, 所以BC+AD+CD>PA+PB, 即AC+BC>PA+PB. (3)因为在△ABD中,AD+AB>BD,在△BCD中,CD+BC>BD, 在△ACD中,AD+CD>AC,在△ABC中,AB+BC>AC, 所以AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC>BD+BD+AC+AC, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 所以2(AD+AB+CD+BC)>2(AC+BD), 所以AD+AB+CD+BC>AC+BD, 所以AC与BD的和小于四边形ABCD的周长. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第3课时 三角形中几条重要线段 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的角平分线 1.如图,将△ABC折叠,使边AC落在边AB上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的　角平分线　.  　角平分线　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.(原创)如图,在△ABC中,AD和BE分别是△ABC的角平分线,AD,BE交于点O,连接CO并延长,交AB于点F,则△ABC的第三条角平分线是　CF　.  　CF　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的中线 3.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,边AC=8 cm,BC=10 cm,点P为边BC的中点,则△APC的面积是(　C　) 第3题图 A.5 cm2 B.10 cm2 C.20 cm2 D.40 cm2 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.沪科版八上教材P72T4改编如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线.若AB=8 cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm,则AC=　10　cm.  第4题图 10 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的高线 5.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则(　B　) A.线段CD是△ABC的边AC上的高线 B.线段CD是△ABC的边AB上的高线 C.线段AD是△ABC的边BC上的高线 D.线段AD是△ABC的边AC上的高线 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.下列说法中正确的是(　B　) A.三角形的高和中线是线段,角平分线是射线 B.三角形的三条高中,至少有一条在三角形的内部 C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D.在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,BD,CE分别是AC,AB上的高,BD,CE相交于点H,则∠ABD=　45°　,∠BHC=　135°　. 　45°　 135° 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.如图,在△ABC中,AE,CD是△ABC的两条高,AB=4,CD=2. (1)请画出AE,CD. (2)求△ABC的面积. (3)若AE=3,求BC的长. 第8题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:(1)如图所示. (2)S△ABC=·AB·CD=×4×2=4. (3)因为S△ABC=·BC·AE=4, 所以×BC×3=4, 所以BC=. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.(2024·德州)如图,在△ABC中,AD是高,AE是中线.若AD=4,=12,则BE的长为(　B　) A.1.5 B.3 C.4 D.6 第9题图 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE平分∠ABC交边AC于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的度数是(　B　) 第10题图 A.15° 　 B.20°　 C.25° D.30° 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是　2　.  第11题图 　2　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式】(2024·合肥期末改编)如图,在△ABC中,BD是边AC上的中线,点E是BD的中点,连接AE,CE.若△ABC的面积为18 cm2,则阴影部分的面积是　9　cm2. 变式题图 　9　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AB上,△BDE与四边形ACDE的周长相等. (1)求证:BE=AE+AC. (2)若AB=10,AC=6,求AE的长. 第12题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:(1)证明:因为△BDE与四边形ACDE的周长相等,所以BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE. 因为BD=DC,所以BE=AE+AC. (2)设AE=x,则BE=10-x. 由(1),得BE=AE+AC, 所以10-x=x+6,解得x=2, 所以AE=2. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13.请仅用无刻度的直尺作图并填空,作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示. (1)如图1,△ABC的中线CD,BE交于点O. ①作出边BC的中点F; ②若S四边形ADOE=4,则S△ABC的值为　　　　.  (2)如图2,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,b),C(2,c),BC经过原点O,AD,BE为△ABC的高. ①作出△ABC的高CF; 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ②S△ABO=　　　　,S△ACO=　　　　,AB·CF的值为　　　　.  图1 图2第13题图 解:(1)①如图1,连接AO,并延长AO交BC交于点F,则点F是BC的中点; ②设S△ADO=a,S△AEO=b. 因为CD,BE,AF是△ABC的中线, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 所以AD=BD,AE=EC,BF=FC, 所以S△ADO=S△BDO=a,S△AEO=S△CEO=b,S△BOF=S△FOC,S△ABE=S△BCE,S△ABF=S△AFC, 即2a+b=S△BOC+b,则S△BOC=2a,所以S△BOF=S△FOC=a, 所以2a+a=2b+a,即a=b,所以S△ABC=6a=12. 故答案为12. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)①如图2,延长AD,EB交于点H,连接CH,交AB的延长线于F,则CF为AB上的高. ②因为A(0,4),所以AO=4, 所以S△ABO=×AO·|xB|=×4×1=2,S△ACO=×AO·|xC|=×4×2=4, 所以S△ABC=6=×AB·CF, 所以AB·CF=12. 故答案为2,4,12. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第2课时 　定理与证明 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 定理的概念 1.下列说法中错误的是(　C　) A.命题不一定是定理,定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的,并被选作判断命题真假的依据,这样得到的真命题就是定理 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.下列命题中是定理的是(　B　) A.内错角相等 B.同位角相等,两直线平行 C.一个角的余角不等于它本身 D.由不在同一条直线上的三条线段首尾相连的图形叫作三角形 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 演绎推理与证明 3.如图,下列推理中错误的是(　D　) 第3题图 A.∵∠1=∠2,∴a∥b B.∵b∥c,∴∠2=∠4 C.∵a∥b,b∥c,∴a∥c D.∵∠2+∠3=180°,∴a∥c 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.沪科版八上教材P78练习T2改编如图,已知AB∥CD,EF,CG分别是∠AEC,∠ECD的平分线. 第4题图 (1)求证:EF∥CG. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明:∵AB∥CD,(已知) ∴∠AEC=∠DCE.(　两直线平行,内错角相等　)  ∵EF平分∠AEC,(已知) ∴∠1=∠　AEC　.(　角平分线的定义　)  同理可得∠2=∠　ECD　,  ∴∠1=∠2, ∴EF∥CG.(　内错角相等,两直线平行　)  　两直线平行,内错角相等　 AEC 角平分线的定义 ECD 　内错角相等,两直线平行 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)请说出(1)中用到了哪两个互逆的真命题. 解:(2)(1)中用到的互逆真命题为“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.如图,AD∥BC,∠1=∠C,∠B=60°,DE平分∠ADC交BC于点E,试说明AB∥DE.请完善解答过程,并在括号内填写相应的理论依据. 第5题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:∵AD∥BC,(已知) ∴∠1=∠　B　=60°.  (　两直线平行,同位角相等　)  ∵∠1=∠C,(已知) ∴∠C=∠B=60°.(等量代换) ∵AD∥BC,(已知) ∴∠C+∠　ADC　=180°,(　两直线平行,同旁内角互补　)  ∴∠　ADC　=180°-∠C=180°-60°=120°.(等式的性质)  ∵DE平分∠ADC,(已知) 　B　 　两直线平行,同位角相等　 　ADC　 　两直线平行,同旁内角互补　 　ADC　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°,(　角平分线的定义　)  ∴∠1=∠ADE,(等量代换) ∴AB∥DE.(　内错角相等,两直线平行 　)  　角平分线的定义 　内错角相等,两直线平行 　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.人教版八上教材P17T10改编如图,AB∥CD,∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E.填空: 第6题图 ∵AB∥CD, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠BAC+　∠ACD　=180°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠1=　∠BAC　. ∵CE平分∠ACD, ∴∠2=　∠ACD　, ∴∠1+∠2=　90　°, ∴∠E=180°-∠1-∠2=　90　°, ∴AE　⊥　CE.  　∠ACD　 ∠BAC ∠ACD 　90　 　90　 　⊥　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题:　两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直 . 　 两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第2课时 三角形中角的关系 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形按角分类 1.(原创)下列说法中错误的是(　A　) A.有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B.有一个角是直角的三角形是直角三角形 C.有一个角是钝角的三角形是钝角三角形 D.有三个角是锐角的三角形是锐角三角形 　A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.已知在△ABC中,∠A=20°,∠B=∠C=80°,那么△ABC是(　A　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 A 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.沪科版八上教材P68练习T2改编如图,图中的直角三角形共有　(　C　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形内角和及其应用 4.在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C的度数是(　B　) A.100° B.80° C.60° D.40° 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式】在△ABC中,∠A比∠B小20°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数是(　C　) A.125° B.100° C.75° D.50° 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的度数是(　C　) 第5题图 A.54° B.62° C.64° D.74° 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4.若按角的大小分类,则△ABC是　锐角三角形　.  7.人教版八上教材P16T4改编如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,∠C=65°,则∠BAC的度数为　70°　.  　锐角三角形　 　70°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.如图,一块模板规定AF,DE的延长线相交成85°的角,因交点不在模板上,不便测量,工人师傅连接AD,测得∠FAD=32°, ∠ADE=65°,这时AF,DE 的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么? 解:不符合规定.理由如下: 如图,作AF,DE的延长线使其交于点G. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在△ADG中, ∠GAD+∠ADG+∠AGD=180°, 所以∠AGD=180°-65°-32°=83°≠85°. 故不符合规定. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.已知△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A,则此三角形(　B　) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,则x的值为　140　.  第10题图 140 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.新考法定义:如果一个三角形有两个内角的差为90°,那么这样的三角形叫作“准直角三角形”.若△ABC是“准直角三角形”,且∠A=40°,∠C>90°,则∠B的度数为　10°或25°　.  12.如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度? 第12题图 　10°或25°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:由题意, 得∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°. 因为DA∥EB,所以∠DAB+∠EBA=180°, 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13.如图,在△ABC中,点D为边AB上的一动点,点E为边BC上的一点,∠BCD=∠BDC. (1)若∠BCD=70°,求∠ABC的度数. (2)求证:∠EAB+∠AEB=2∠BDC. 第13题图 解:(1)因为∠BCD=∠BDC=70°, 所以∠ABC=180°-∠BCD-∠BDC=40°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)证明:因为∠EAB+∠AEB+∠ABE=180°,∠ABC+∠BCD+∠BDC=180°, 所以∠EAB+∠AEB=∠BCD+∠BDC. 又因为∠BCD=∠BDC, 所以∠EAB+∠AEB=2∠BDC. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14.核心素养·几何直观【提出问题】如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO交AB于点D,探究∠C与∠BOD的数量关系. (1)【特例探究】①若∠CAB=50°,∠CBA=68°,则∠C=　62°　,∠BOD=　31°　; ②猜想∠C与∠BOD之间的数量关系为　　　　　　　　　　. (2)【结论延伸】当∠CAB和∠CBA的度数改变时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 　62°　 31° 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 第14题图 解:(1)②∠C=2∠BOD. (2)成立.理由如下:设∠OAB=x,∠OBA=y. 因为AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA, 所以∠CAB=2x,∠CBA=2y, 所以∠AOB=180°-x-y,∠C=180°-2x-2y=2(90°-x-y). 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 因为OD⊥OA,所以∠AOD=90°, 所以∠BOD=∠AOB-90°=90°-x-y, 所以∠C=2∠BOD. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $第4课时 三角形的外角性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的外角性质 1.下列各图中的∠1是△ABC的外角的是(　B　) A B C D 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,则∠ABD的度数是(　B　) 第2题图 A.110° B.120° C.130° D.140° B 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠A=85°,∠ACE=60°,则∠B的度数是(　A　) 第3题图 A.35° B.95° C.85° D.75° 　A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.沪科版八上教材P82T2改编如图,∠ABD,∠BOC和∠BDC的大小关系是(　C　) 第4题图 A.∠ABD>∠BDC>∠BOC B.∠BDC>∠ABD>∠BOC C.∠BOC>∠BDC>∠ABD· D.∠BDC>∠BOC>∠ABD 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.在△ABC中,∠A=x°,∠B=(2x+10)°,∠C的外角大小为(x+40)°,则x的值是　15　.  6.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A=　90°　.  第6题图 　15　 　90°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.如图,把一副三角尺叠放在一起,已知∠C=90°,∠D=30°,∠B=45°,则∠AOE=　165°　. 第7题图 　165°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.(2024·六安舒城县期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AB的延长线上.若∠EBD=107°,∠CAD=26°,∠D=39°,求∠BAC的度数. 第8题图 解:∵∠CAD=26°, ∠D=39°, ∴∠BCA=∠CAD+∠D=26°+39°=65°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∵∠EBD=107°, ∴∠BAC=∠EBD-∠BCA=42°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9.一个三角形的三个外角之比为3∶4∶5,则这个三角形的三个内角之比是(　C　) A.5∶4∶3 B.4∶3∶2 C.3∶2∶1 D.5∶3∶1 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10.(2024·天长市期末)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.若∠B=35°,∠E=25°,则∠BAC的度数为(　A　) A.85° B.95° C.100° D.110° 第10题图 　A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.如图,∠EAC和∠DCA是△ABC的外角.若∠EAC=∠DCA=3∠B,则∠B的度数是　36°　. 第11题图 　36°　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.如图,已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°,∠E=20°,求∠BAC的度数. (2)求证:∠BAC=∠B+2∠E. 第12题图 解:(1)∵∠B=35°,∠E=20°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ECD=∠B+∠E=35°+20°=55°. ∵CE是△ABC的外角 ∠ACD的平分线, ∴∠ACD=2∠ECD=110°, ∴∠BAC=∠ACD-∠B=110°-35°=75°. (2)证明:∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE. ∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E. ∵∠BAC=∠ACE+∠E, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13.核心素养·创新意识(1)【特例探究】如图1,点P在△ABC内部,延长BP交AC于点D,连接PC. ①∠1,∠2,∠A的大小关系是:　∠1>∠2>∠A　;  ②若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解. 思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数,再利用三角形内角和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数,再利用三角形外角求出∠1的度数. (2)【迁移探究】如图2,求证:∠BCD=∠A+∠B+∠D. 　∠1>∠2>∠A　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (3)【拓展延伸】如图3,AB与CD所在直线垂直,AD与BC所在直线垂直,∠ABC,∠ADC的平分线相交于点E.求证:∠A+∠BCD=180°. 图1 图2 图3 第13题图 解:(1)②(思路一)在△ABC中,∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°. 在△PBC中,∠1+∠PBC+∠PCB=180°, ∴∠1=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°. (思路二)∵∠BDC是△ABD的外角, ∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°. ∵∠BPC是△CDP的外角, ∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)证明:如图2,延长DC交AB于点E. ∵∠BEC是△AED的一个外角, ∴∠A+∠D=∠BEC. 同理,∠B+∠BEC=∠BCD, ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D. (3)证明:如图3,延长BC,DC分别交AD,AB于点F,G. 由题意,得∠AFC=∠AGC=90°. ∵在四边形AFCG中,4个内角的和为2个三角形的内角和, ∴∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG=360°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠A+∠FCG=180°. ∵∠FCG=∠BCD, ∴∠A+∠BCD=180°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $单元阶段练习4 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分) 1.如图,在△ABC中,边AC上的高线是(　D　) 第1题图 A.线段DA B.线段BA C.线段BC D.线段BD 　D　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.用两根长度分别为4 cm和5 cm的细木条做一个三角形的框架,需要将其中一根木条分为两段.若不考虑损耗和接头部分,则可以分成两段的是(　B　) A.4 cm的木条 B.5 cm的木条 C.两根都可以 D.两根都不行 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3.下列命题中是真命题的是(　C　) A.无理数的相反数是有理数 B.若ab>0,则a>0,b>0 C.内错角相等,两直线平行　　 D.若|a|=1,则a=1 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4.下列选项中不能判断△ABC是直角三角形的是(　B　) A.∠A=37°,∠B=53° B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C.∠A-∠C=∠B D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5.若将一副三角尺按如图方式叠放,则∠1的度数为(　C　) A.45° B.60° C.105° D.120° 第5题图 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,BD是△ABC的角平分线,点E是边BC的延长线上一点,连接DE.若∠ABD=20°,则∠DCE的度数是(　B　) 第6题图 A.140° B.120° C.100° D.80° 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E在边AC上,且AE=DE,BD平分∠EBC.下列说法中错误的是(　C　) A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 D.S△AEB=S△EDB 　C　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AD是高,CF是中线,BE是角平分线,BE交AD于点G,交CF于点H.下列说法中错误的是(　B　) 第8题图 A.∠AEG=∠AGE B.∠FCB=∠EBC C.∠EAG=2∠EBC D.S△ACF=S△BCF 　B　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 9.“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是　有两条边相等的三角形是等腰三角形  　.  10.如图,在△ABC中,AD为△ABC的中线,AB=12 cm,AC=9 cm,△ACD的周长为27 cm,则△ABD的周长为　30　cm.  第10题图 有两条边相等的三角形是等腰三角形  　30　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11.如图,∠B=15°,∠D=20°,∠BCD=105°,则∠A的度数是　70°　. 第11题图 70° 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC的平分线和∠ACB外角的平分线交于一点A1. 第12题图 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (1)∠A1的度数为　30　.  (2)∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2,继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3,如此下去可得∠A4,…,∠A2 026,则∠A2 026的度数为 ()　. 　30　 ()　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三、解答题(本大题共3小题,满分40分) 13.(本题12分)命题p:如果a=b,那么a2=b2. (1)写出命题p的条件和结论,并判断命题p是真命题还是假命题. (2)写出命题p的逆命题,并直接判断是真命题还是假命题,若是假命题,请举出一个反例(只举例,不必详细说明理由). 解:(1)命题的条件:a=b,结论:a2=b2. 命题p是真命题.(6分) (2)命题p的逆命题为“如果a2=b2,那么a=b”,是假命题. 当a,b为相反数时,它们的平方相等,但本身不相等. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 反例:a=2,b=-2时,22=(-2)2,而2≠-2.(12分) 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14.(本题14分)如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE于点G,∠1=∠B,∠A+∠2=90°. (1)求证:AB∥CD. 把下面的证明过程补充完整. 证明:∵AF⊥CE,(已知) ∴∠AGE=90°.(　垂直的定义　)  ∵在△AGE中,∠A+∠1+∠AGE=　180　°, ∴∠A+∠1=　90　°.  又∵∠A+∠2=90°,(已知) 　垂直的定义　 　180　 　90　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠1=　∠2　.(　同角的余角相等　)  又∵∠1=∠B,(已知) ∴∠B=∠2,(　等量代换　)  ∴AB∥CD.(　内错角相等,两直线平行　)  (2)若∠B=2∠A,求∠C的度数. 　∠2　 　同角的余角相等　 　等量代换　 　内错角相等,两直线平行　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:(1)垂直的定义;180;90;∠2;同角的余角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行.(7分) (2)设∠A=x,则∠B=2x. ∵∠B=∠1,∴∠1=2x. 又∵∠AGE=90°,∴∠A+∠1=90°, ∴x+2x=90°,解得x=30°,2x=60°. 又∵AB∥CD,∴∠C=∠1=60°.(14分) 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 15.(本题14分)如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线. (1)作图:在△BED中作出边BD上的高EF和边BE上的高DG. (2)若△ABC的面积为40,BD=5,则△BED中边BD上的高EF长为多少? (3)若将题干条件改为“AD为△ABC的角平分线,BE为△ABD的角平分线”,探究∠BED与∠C之间的数量关系,并证明你的结论. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解:(1)如图所示,EF,DG即为所求作.(4分) (2)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线, ∴S△ABD=S△ABC,S△BDE=S△ABD, ∴S△BDE=S△ABC. ∵△ABC的面积为40,BD=5, ∴S△BDE=BD·EF=×5·EF=×40=10, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴EF=4, 即△BED中边BD上的高EF长为4.(9分) (3)∠BED=90°-∠C.理由如下: ∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∴∠ABE=∠ABC,∠BAE=∠BAC, ∴∠BED=∠ABE+∠BAE=(∠ABC+∠BAC)=(180°-∠C)=90°-∠C.(14分) 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5　【考点综合专题】三角形中重要线段的应用 类型一　中线的推广应用 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1.【问题情境】如图1,AD是△ABC的中线,△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系? 小旭同学在图1中作边BC上的高AE,根据中线的定义可知BD=CD.∵高AE相同,∴S△ABD=S△ACD,于是S△ABC=2S△ABD. 据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积. (1)【深入探究】如图2,点D在△ABC的边BC上,点P在AD上. ①若AD是△ABC的中线,请判断S△APB与S△APC的大小关系,并说明理由. ②如图3,若BD=3DC,则S△APB∶S△APC=　3∶1　.  　3∶1　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)【拓展延伸】 如图4,分别延长四边形ABCD的各边,使得点A,B,C,D分别为DH,AE,BF,CG的中点,依次连接点E,F,G,H得四边形EFGH.直接写出S△HDG,S△FBE与之间的等量关系:　S△HDG+S△FBE=2　.  图1 图2 图3 图4 S△HDG+S△FBE=2　 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 第1题图 解:(1)①S△APB=S△APC.理由如下: ∵AD是△ABC的中线,∴S△ADB=S△ADC. 由题意知PD是△PBC的中线, ∴S△PDB=S△PDC, ∴S△ADB-S△PDB=S△ADC-S△PDC,即S△APB=S△APC. 类型二　三角形角平分线的应用 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2.核心素养·创新意识根据以下情境,探索完成任务. 三角形的角平分线拓展探究 问题背景 在教材中我们研究过双内角平分线,双外角平分线的夹角的问题.小新在研究完上面的问题后,对这类问题进行了深入的研究 模型 如图1,△ABC的内角∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于点P,则∠A与∠P之间的数量关系为∠P= A 图1 ∠A 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的角平分线拓展探究 解决问题 任务一 如图2,在△ABC中,∠ABC=40°.延长BA至点G,延长AC至点H.已知∠BAC,∠CAG的平分线与∠BCH的平分线及其反向延长线交于点E,F,求∠F的度数 图2 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 三角形的角平分线拓展探究 任务二 如图3,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合.若∠1+∠2=80°,则∠BPC的度数为　110°　  图3 解:任务一:由题意,得∠CAE=∠BAC,∠CAF=∠CAG,∠ECH=∠BCH. ∵∠BAC+∠CAG=180°, 110° 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠CAE+∠CAF=(∠BAC+∠CAG)=×180°=90°,即∠EAF=90°. ∵∠BCH=∠BAC+∠ABC,∠ECH=∠EAC+∠E, ∴∠BCH=2∠ECH=2∠EAC+2∠E=∠BAC+2∠E, ∴∠ABC=2∠E,∴∠E=∠ABC=20°, ∴∠F=180°-∠EAF-∠E=180°-90°-20°=70°. 6　【思想方法专题】方程思想在三角形中求角度的应用 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【方法技巧】 有些问题中角度关系较为复杂,通过挖掘等量关系,可以转化为方程问题来解决.在情况不明,特别是涉及高的问题时,往往还要分类讨论. 教材母题　(P72第5题)在△ABC中,∠A比∠B大10°,∠C比∠A大10°.求△ABC中各角的度数. 解:设∠B=x,则∠A=x+10°, ∠C=x+10°+10°=x+20°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴x+(x+10°)+(x+20°)=180°, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴3x+30°=180°,解得x=50°, ∴∠B=50°,∠A=60°,∠C=70°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式训练1】　在△ABC中,∠A-∠B=15°,∠C=75°,求∠A的度数. 解:解得 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式训练2】　在△ABC中,∠A-∠B=30°,∠C=4∠B,求∠A,∠B,∠C的度数. 解:设∠B=x,则∠A=30°+x,∠C=4x. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴30°+x+x+4x=180°, ∴6x+30°=180°,解得x=25°, ∴∠A=55°,∠B=25°,∠C=100°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式训练3】　如图,AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA,∠B=50°,∠CAD∶∠E=1∶3,求∠E的度数. 解:设∠CAD=x, 则∠E=3x. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=x, 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+x. 在△ADE中,∠E+∠ADE+∠DAE=180°, ∴3x+2(50°+x)=180°,解得x=16°. ∴∠E=3x=48°. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【变式训练4】(原创)在△ABC中,AD是边BC上的高,∠C=2∠BAD=∠ABC,求∠BAC的度数. 解:如图1,当AD在△ABC内部时. 设∠C=x°,则∠BAD=x°,∠ABC=90°-x°. 由题意,得x=(90-x),解得x=, ∴∠BAC=()°. 如图2,当AD在△ABC外部时. 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 设∠C=y°,则∠BAD=y°,∠ABC=90°+y°, 由题意,得y=(90+y),解得y=36, ∴∠BAC=36°. 综上所述,∠BAC的度数为()°或36°. 图1 　　 图2 图1 　　 图2 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $