2.2 有理数的加减运算 课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时1 有理数加法法则 22201 1. 理解有理数加法的意义，初步掌握有理数的加法法则，并能 准确地进行有理数的加法运算。 2. 能运用有理数的加法解决实际问题。 3. 会用分类和归纳的思想方法探索有理数加法法则。 学习目标 22201 小学学过的加法是正数与正数相加、正数与 0 相加. 引入负数后，加法有哪几种情况？ 第二个加数 第一个加数 正数 0 负数 正数 正数＋正数 0＋正数 负数＋正数 0 正数＋0 0＋0 负数＋0 负数 正数＋负数 0＋负数 负数＋负数 导入新课 22201 活动：某班举行知识竞赛，评分标准是： 答对 1 题加 1 分，答错 1 题扣 1 分，不回答得 0 分。 每个参赛队的基本分均为 0 分。 “加 1 分、扣 1 分，得 0 分”、“扣 1 分、加 1 分，得 0 分”可以如何表示？ (+1) + (-1) = 0 (-1) + (+1) = 0 探究一：有理数的加法 新知探究 22201 （1）第一环节和第二环节各有 5 道题。三个参赛队在前两个环节的得分情况如下表所示，你能把下表补充完整吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 参赛队 第一环节的得分 第二环节的得分 前两个环节的得分之和 算式表示 第一队 2 3 第二队 -2 -3 第三队 -3 2 5 -5 -1 2 + 3 = 5 (-2) + (-3) = -5 (-3) + 2 = -1 新知探究 22201 － － － － － － － － － － － （2）小明用个 表示，用个 表示，用 直观表示 ，用 直观表示。他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？ ＋ ＋ － ＋ － 新知探究 22201 － （2）小明用个 表示，用个 表示，用 直观表示 ，用 直观表示。他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？ ＋ ＋ － ＋ － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ － － － 新知探究 22201 （3）如果有第四个参赛队，那么第四队前两个环节的得分可能会出现哪些情形，据此可以列出哪些算式？你能直观解释运算过程和结果吗？ 解：可能会出现：5 + (-5) = 0 或 -5 + 0 = -5 新知探究 22201 （1）两个有理数相加，有哪几种情形？你是怎样分类的？ 正 正 0 0 负 负 一 二 正+负 负+正 正+正 0 +正 正+0 0 +0 0 +负 负+0 负+负 2. 异号两数相加 1. 同号两数相加 3. 一个数与0相加 思考·交流 22201 （2）对于（1）中的每种情形，和是怎样确定的？与同伴进行交流。 正 正 0 0 负 负 一 二 正+负 负+正 正+正 0 +正 正+0 0 +0 0 +负 负+0 负+负 2. 异号两数相加 1. 同号两数相加 3. 一个数与0相加 思考·交流 22201 同正 相加 同负 相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 1. 同号两数相加 新知探究 22201 异号，取“” 相减 异号，取“” 相减 异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值； 绝对值相等时和为0. 绝对值相等 异号 2. 异号两数相加 新知探究 22201 一个数同0相加，仍得这个数. 3. 一个数与0相加 新知探究 22201 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． 一个数同0相加，仍得这个数． 互为相反数的两数相加得0. 归纳总结 22201 例1 计算： (1) 180 + (-10)； (2) (-10) + (-1)； (3) 5 + (-5)； (4) 0 + (-2)。 解：（1）180 + ( - 10 ) 异号两数相加 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 = + ( 180 - 10 ) = 170. 典例精析 22201 （2）( - 10 ) + ( - 1 ) 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 = - ( 10 + 1 ) = - 11. （3）5 + ( - 5 ) 互为相反数的两数相加 = 0. （4）0 + ( - 2 ) 一个数同0相加 = - 2. 典例精析 22201 1. 计算：(1) (－2)＋(－6)； (2) (－8)＋0； (3) 12＋(－8)； (4) (－7.2)＋3.9； 加法计算时：先定和的符号，再算和的绝对值. 解：(1) (－2)＋(－6)＝－(2＋6)＝－8. (2) (－8)＋0 ＝－8. (3) 12＋(－8)＝12－8＝4. (4) (－7.2)＋3.9＝－(7.2－3.9)＝－3.3. 练一练 22201 （1）根据有理数加法法则，如果两个数互为相反数，那么它们的和等于 0。反过来，如果两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数吗？ （2）根据有理数加法法则进行正数或 0 的运算，得到的结果与小学的加法运算一致吗？ 两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数。 一致。 思考·交流 22201 （3）一个数加一个正数，所得的和与这个数有怎样的大小关系？一个数加一个负数呢？与同伴进行交流。 a 任何一个数 正数 负数 ＋ 一个正数 (向右移动某个单位) 大于原来的数 b b＞a a c c＞a 0 0 思考·交流 22201 a 任何一个数 正数 负数 ＋ 一个负数 (向左移动某个单位) 小于原来的数 b b＜a a c c＜a 总结：当 b＞0 时，a＋b＞a ； 当 b＜0 时，a＋b＜a . 0 0 22201 1. 两个有理数的和为零，则这两个有理数一定（ ） A.都是零 B.至少有一个是零 C.一正一负 D.互为相反数 2. 在 1，-1，-2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ） A.1 B.0 C.-1 D.3 D B 随堂练习 22201 3. 若 |x| = 3，|y| = 2，且 x＞y，则 x + y 的值为（ ） A. 1 B. -5 C. -5 或 -1 D. 5 或 1 分析：因为 |x| = 3，|y| = 2 所以 x = ±3，y = ±2. D 因为 x＞y， 所以 x = 3，y = ±2. 所以 x + y = 5 或 1. 随堂练习 22201 4. 计算： （1）(-3) + (-9)； （2）(-4.7) + 3.9； （3）(-6) + 6； （4）0 + (-7.1)。 解：（1）(-3) + (-9) = -(3 + 9) = -12； （2）(-4.7) + 3.9 = -(4.7 - 3.9) = -0.8； （3）(-6) + 6 = -(6 - 6) = 0； （4） 0 + (-7.1) = -7.1。 随堂练习 22201 5. 某城市一天早晨的气温是 -25 ℃，中午上升了 11 ℃，夜间又下降了 13 ℃，那么这天中午、夜间的气温分别是多少？ 解：中午的气温为 -25 + 11 = -14（℃）； 夜间的气温为 -14 + (-13) = -27（℃） 随堂练习 22201 有理数加法法则 同号两数 绝对值不相等 同 0 相加 取相同的符号，并把绝对值相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 仍得这个数 同号两数 绝对值相等时 和为 0 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时2 有理数加法运算律 22201 1. 理解有理数加法运算律。 2. 会运用加法交换律、结合律进行有理数加法简便运算。 3. 掌握加法交换律、结合律在实际运算中的运用。 学习目标 22201 有理数的加法法则 1.同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________． 2.异号两数相加，绝对值相等时和为________；绝对值不等时，取绝对值__________的符号，并用较大的绝对值________较小的绝对值． 3.一个数同0相加，____________． 相同 相加 0 较大的数 减 仍得这个数 巩固练习1．计算(－5)＋(－6)的值是(　　) A．－11 B．－1 C．1 D．11 巩固练习2．计算(－19)＋20等于(　　) A．－39 B．－1 C．1 D．39 A C 导入新课 22201 如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动 3 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度，到达原点左边 1 个单位长度处。 -3 0 -3 +2 -2 -1 1 -4 -5 （1）根据上图你能写出怎样的算式？这个运算的结果与根据运算法则得到的结果一致吗？ (-3) + 2 = -1 任务一：有理数加法的几何解释 新知学习 22201 （2）对于 (-3) + (-2)，你能借助数轴解释运算结果吗？ -3 0 -3 -2 -2 -1 1 -4 -5 (-3) + (-2) = -5 新知学习 22201 ② 11 + ( -3) = ____， ( -3) + 11 = ____。 ① 2 + ( -4) = ____ ， ( -4) + 2 = ____； 探究一 计算并观察： -2 -2 8 8 (1) 比较以上各组两个算式的结果，它们有什么关系？每组两个算式有什么特征？ (2) 请你再换几个加数试一试，所得的结果如何？ 小学学过的加法交换律在有理数范围内还适用吗？ 任务二：有理数加法的交换律与结合律 新知学习 22201 在有理数的加法中， 两个数相加，交换加数位置，___不变。 和 加法交换律： a + b = b + a 。 你能用精炼语言表述这一结论吗？ 归纳总结 22201 探究二 计算并观察： [8 + ( -5)] + (-4)， 8 + [( -5) + (-4)]。 两次所得的和相同吗？换几个加数再试试。 新知学习 22201 类比加法的交换律，用精炼语言表述这一结论。 在有理数的加法中， 三个数相加，先把___两个数相加，或者先把___两个数相加，和不变。 前 后 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c ). 归纳总结 22201 例1 计算：31 + (-28) + 28 + 69。 解：31+ (-28) + 28 + 69 = 31+ 69 + [(-28)+ 28 ] = 100 + 0 = 100 （加法交换律和结合律 ） 典例精析 22201 计算：(1) 20 + (-17) + 15 + (-10)； 解：原式 = 20 + 15 + [(-17) + (-10)] = 35 + (-27) = 8 符号相同 (2) (-1.8) + (-6.5) + (-4) + 6.5； 解： 原式 = [(-1.8) + (-4) ]+[(-6.5) + 6.5] = -5.8 + 0 = -5.8 相反数 练一练 22201 (3) (-12) + 34 + (-38) + 66； 解：原式 = [(-12) + (-38)] + (34 + 66) = (-50) + 100 = 50 符号相同、 凑整十整百 同分母 (4) 。 解： 原式 22201 请思考我们在哪些情况下会考虑使用加法运算律？ 考虑使用加法运算律 互为相反数 符号相同 分母相同 相加得整数 先结合相加 归纳总结 22201 例2 10 袋小麦称后记录如图所示. 10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 90 kg 为标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？(请用多种方法解题) 91 91 91.3 88.7 91.5 89 91.2 88.8 91.8 91.1 典例精析 22201 解法1：先计算 10 袋小麦一共多少千克： 91＋91＋91.5＋89＋91.2＋91.3＋88.7＋88.8＋91.8＋91.1＝905.4 (kg) 再计算总计超过多少千克： 905.4－90×10＝5.4 (kg) 答：10 袋小麦一共 905.4 kg，总计超过 5.4 kg。 22201 解法2：每袋小麦超过 90 kg 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10 袋小麦对应的数分别为 +1，+1，+1.5，－1，+1.2，+1.3，－1.3，－1.2，+1.8，+1.1 1+1+1.5+(－1)+1.2+1.3+(－1.3)+(－1.2)+1.8+1.1 ＝[1+(－1)]+[1.2+(－1.2)]+[1.3+(－1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1) 90×10＋5.4＝905.4 (kg) 答：10 袋小麦一共 905.4 kg，总计超过 5.4 kg。 ＝5.4 (kg) 22201 1.下列变形中，正确运用加法运算律的是 ( ) B 随堂练习 22201 2. 计算： （1） 16 + (-25) + 24 + (-35)； （2） (-2.48) + 4.33 + (-7.52) + (-4.33)。 解：（1）原式 = 16 + 24 + [(-25) + (-35)] = 40 + (-60) = -20 （2） 原式 = [(-2.48) + (-7.52) ]+[4.33 + (-4.33)] = (-10) + 0 = -10 随堂练习 22201 3. 快速公交 B1 某次途经 A，B，C，D 四站时乘客的数量变化情况如下表所示．其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。 A 站 B 站 C 站 D 站 －8 －12 －5 －10 ＋9 ＋7 ＋13 ＋5 假设到达 A 站前此辆公交上有乘客 20 人。 (1) 从 C 站开出时，有乘客多少人？ (2) 经过这 4 站后，此辆公交上还有乘客多少人？ 课堂拓展 22201 解：(1) 20＋(－8)＋(＋9)＋(－12)＋(＋7)＋(－5)＋(＋13) 故经过这 4 站后，此辆公交上还有乘客 19 人。 (2) 24＋(－10)＋(＋5)＝[24＋(＋5)]＋(－10)＝19 (人)， 故从 C 站开出时有乘客 24 人。 ＝24 (人)， ＝[20＋(－20)]＋[(＋9)＋20]＋(－5) ＝20＋[(－8)＋(－12)]＋(＋9)＋[(＋7)＋(＋13)]＋(－5) 22201 数的加法运算律 有理数加法运算律 加法交换律 加法结合律 两个数相加，交换加数的位置，____不变 三个加数相加，先把__两个数相加，或者先把__两个数相加，____不变 和 前 后 和 a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c) 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时3 有理数减法 22201 1. 经历探索有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系。 2. 理解并掌握有理数的减法法则。 3. 能熟练进行有理数的减法运算。 学习目标 22201 1有理数加法的交换律:a+b= . 2.有理数加法的结合律:(a+b)+c= . 3．计算43＋(－77)＋27＋(－43)的结果是(　　) A．50 B．－104 C．－50 D．104 4.设a是最小的自然数，b是最小的正整数,c是最大的负整数,则a,b,c三数之和为 . b+a a+(b+c) 0 C 复习回顾 22201 .5 -10 0 10 -10 0 10 ℃ .5 -10 0 10 -10 0 10 ℃ (1) －6－(－12) = ____ 借助温度计求出温差，思考有理数减法的计算过程： 6 整体 －6＋[－(－12)] = 6 转化为有理数的加法 －6＋12 = 6 探究：有理数的减法 新知探究 22201 .5 10 0 10 10 0 10 ℃ .5 10 0 10 10 0 10 ℃ (2) 9－(－13) = ____ 22 整体 9＋[－(－13) ] = 22 9＋13 = 22 新知学习 22201 借助上面的方法，计算下列算式，从中你有哪些发现？ (1) 3 － (－11) = ____； (2) 3 ＋ 11 = ____； (3) 7 － (－13) = ____； (4) 7 ＋ 13 = ____； (5) 5 － (－10) = ____； (6) 5 ＋ 10 = ____. 20 20 15 15 14 14 减法变加法 变成相反数 动手实践 22201 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的_______。 相反数 a － b = a ＋ (－b) 你能用精炼语言表述这一结论吗？ 有理数的减法可以转化为加法来进行。 归纳总结 22201 例1 计算： (1) 9 - (-5)； (2) (-3) - 1； (3) 0 - 8； (4) (-5) - 0。 （1）9 - (-5) = 9 + 5 = 14； （2）(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4； （3）0 - 8 = 0 + (-8) = -8； （4）(-5) - 0 = (-5) + 0 = -5。 解： 典例精析 22201 解：(1) (－3)－(－5)＝(－3)＋5＝2. (2) 0－7＝0＋(－7)＝－7. (4) 7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12. 1. 计算 (1) (－3)－(－5) (2) 0－7 (3) 2－5 (4) 7.2－(－4.8) (5) (3) 2－5＝2＋(－5)＝－3. (5) 练一练 22201 思考：观察例题中的算式和结果，想一想：一个数减去一个正数，结果会怎样变化？减去一个负数呢？ （1）9 - (-5) = 9 + 5 = 14； （2）(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4； （3）0 - 8 = 0 + (-8) = -8； （4）(-5) - 0 = (-5) + 0 = -5。 一个数减去一个正数，结果会变小 减去一个负数，结果会增大 一个数减去0，结果不变 22201 例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是8848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 -154.31 m。两处海拔相差多少米？ 海平面 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 8848.86 米 -154.31 米 高度看作 0 米 解：8848.86 - (-154.31) = 8848.86 + 154.31 = 9003.17 (m) 因此，两处高度相差 9003.17 m。 典例精析 22201 1. 如图，点 A 与点 D 两处高度相差 ( ) A. 100 m B. 40 m C. 80 m D. 140 m A 随堂练习 22201 2.若两个不为零的数 a 与 b 的差为负数，根据题意，举例表示具体 a 与 b 的值。 例如：① a ，b 均为正数，举例 a = 2，b = 3； ② a ，b 均为负数，举例____________________； ③ a 为负数，b 为正数，举例________________。 a＝－12，b＝－11 (答案不唯一，仅供参考) a＝－1，b＝7 随堂练习 22201 解：（1）(+7) - (-4) = 7 + 4 = 11； （2）(-0.45) - (-0.55) = -0.45 + 0.55 = 0.1； （3）0 - (-9) = 0 + 9 = 9； （4）(-4) - 0 = -4； (1) (＋7)－(－4) ； (2) (－0.45)－(－0.55) ； (3) 0－(－9)； (4) (－4)－0 ； (5) (－5)－(＋3)； (6) (－3)－3 。 3. 计算： （5）(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8； （6）(-3) - 3 = (-3) + (-3) = -6。 随堂练习 22201 4. 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得 20 分，答错一题扣 10 分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？ 解：20－(－10) = 20＋10 = 30 (分)。 答：答对一题与答错一题相差 30 分。 随堂练习 22201 所以当 a = 7，b = 15 时，a - b = -8； 所以 a - b 的值为 ±8 或 ±22。 当 a = 7，b = -15 时，a - b = 22； 当 a = -7，b = 15 时，a - b = -22； 当 a = -7，b = -15 时，a - b = 8。 解：因为 |a| = 7， |b| = 15， 5. 若 |a| = 7， |b| = 15，试求 a - b 的值。 所以 a =±7， b =±15， 课堂拓展 22201 有理数减法法则 有理数的减法可以转化为______来进行 减去一个数，等于_____这个数的_______， 用式子表示： _______________。 加上 相反数 加法 a－b = a＋(－b) 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时4 有理数的 加减混合运算 22201 1. 熟练掌握有理数的加法和减法运算法则。 2. 能进行有理数的加减混合运算，能适当运用运算律简化有理数的混合运算，培养学生的计算能力。 3. 会从数学的角度理解实际问题，从具体情境中抽象出有理数加减混合运算的问题。 学习目标 22201 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ． 字母表示：a－b＝a＋________． (－b) 巩固练习1．下列各式错误的是(　　) A．1－(＋6)＝－5 B．0－(＋3)＝－3 C．(＋6)－(－6)＝0 D．(－15)－(－5)＝－10 巩固练习2．下列运算结果为1的是(　　) A．|＋3|－|＋4| B．|(－3)－(－4)| C．|－3|－|－4| D．|＋3|－|－4| C B 相反数 导入新课 22201 小学我们就学习过加法和减法属于 运算，在加减混合运算中，按照 的顺序依次运算。 那么，在学习了有理数的加法和减法后，如何进行有理数的加减混合运算呢？ 从左到右 事实上，小学学习过的运算顺序同样适用于有理数. 同级 新知学习 22201 例1 计算：（1） ； 解：（1）原式 = （2） 。 （2）原式 = 探究一：有理数的加减混合运算 新知探究 22201 一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 4.5 km 下降 3.2 km 上升 1.1 km 下降 1.4 km 记 作 ＋4.5 km －3.2 km ＋1.1 km －1.4 km 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 此时飞机比起飞点高了多少千米？ 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 1.3 + 1.1 - 1.4 = 2.4 - 1.4 = 1（km） = 1.3 + 1.1 + (－1.4) = 2.4 + (－1.4) = 1（km） 思考·交流 22201 4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4) 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 思考1：比较两种算法，你发现了什么？与同伴进行交流。 总结：有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 思考2：运用有理数的加法运算律，你还能想到什么计算方法吗？ 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 4.5 + 1.1 - 3.2 - 1.4 = 5.6 - 4.6 = 1（km） 运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加 22201 探究：例1中（2） 有什么简便方法吗？ 解：原式 = ……减法转化成加法 ……运用加法交换律使 整数分数分别相加 归纳总结 22201 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）写成省略加号和括号的形式； （3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； （4）按有理数加法法则计算。 典例精析 22201 例2 计算： (1) ； (2) 。 = (-1) + (-15) = -16； 解：（1）原式 （2）原式 课堂拓展 22201 （1） （2） （3） （4） 练一练 1. 计算： 22201 下表是某一年全年某加油站 92 号汽油价格的调整情况（正号表示比表中前一次调价上涨，负号表示比表中前一次调价下降）： 时间 1月14日 3月25日 6月 1日 6月30日 7月28日 9月 1日 9月29日 11月9日 价格变化/（元/t） -140 +290 +400 +600 -220 +300 -190 +480 探究二：有理数的加减混合运算的应用 尝试·思考 22201 与上一年年底相比，11 月 9 日该加油站 92 号汽油价格是上涨了还是下降了？变化了多少元？ 时间 1月14日 3月25日 6月 1日 6月30日 7月28日 9月 1日 9月29日 11月9日 价格变化/（元/t） -140 +290 +400 +600 -220 +300 -190 +480 解：-140 + 290 + 400 + 600 + (-220) + 300+ (-190) + 480 = 1520（元/t） 答：11 月 9 日汽油价格是上升了，每吨变化了 1520 元。 22201 1. 计算：（1）-11 - 9 - 7 + 6 - 8 + 10； （2）(-17) - (-8) - (-9) - (+6) - (-14)； 解：（1）原式 = (-11 - 9 - 7 - 8) + (6 + 10) = -35 + 16 = -19； （2）原式 = -17 + 8 + 9 - 6 + 14 = (-17 - 6) + (8 + 9 + 14) = -23 + 31 = 8； 随堂练习 22201 （3）-5.75 - (-3) + (-5) - 3.25； （4） （3）原式 = (-5.75 - 3.25) + (3 - 5) = -9 - 2 = -11； （4）原式 = = = 。 随堂练习 22201 2. 小乐某星期微信收发红包的记录如下：收到 22.9 元，发出 9.9 元，收到 8.8 元，发出 35.5 元，收到 2.7 元，发出 6.6 元，收到 0.8 元，这时 她的微信钱包里钱数是增加了还是减少了？增加了或减少了多少钱？ 解：记收到红包为正，发出红包为负，故小乐收发红包记录为： ＋22.9、－9.9、＋8.8、－35.5、＋2.7、－6.6、＋0.8 22.9－9.9＋8.8－35.5＋2.7－6.6＋0.8＝－16.8 。 所以她微信的钱数减少了，减少了 16.8 元。 随堂练习 22201 3. 某养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从 A 地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下 (单位：千米)： 8，-5，7，-4，-6，13，4，12，-11。 (1) 收工时，养护小组在 A 地的哪一边？距离 A 地多远？ (2) 若汽车行驶每千米耗油 0.5 升，求从出发到收工共耗油多少升。 答案：(1) 养护小组在 A 地的南边，距离 A 地 18 千米。 (2) 从出发到收工共耗油 35 升。 课堂拓展 22201 _____________________ 有理数加减混合运算 加减混合运算可以统一为____运算 使用加法的______律与______律，可以达到简化运算的目的 交换 加法 a ＋b－c ＝ a ＋b＋(－c ) 结合 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时5 有理数的加减混合 运算的实际应用 22201 1.能运用有理数的加减混合运算解决简单的实际问题。 2.能够灵活处理复杂数据，能感受到折线统计图可以直观地反映事物的变化。 学习目标 22201 有理数加减混合运算的步骤： (1)将加减混合运算统一为 运算； (2)写成 的形式； (3)运用加法 ，使运算简便 ． 加法 省略括号和加号的和 交换律和结合律 导入新课 22201 活动1 请按下列规则做游戏： （1）每人每次抽取 4 张卡片。若抽到白底卡片，则加卡片上的数字；若抽到红底卡片，则减卡片上的数字。 （2）比较两人所抽 4 张卡片的计算结果，结果大的为胜者。 5 -2 -1 0 1.5 3 【点击卡片参与活动】 2.5 探究一：有理数的加减混合运算的应用 新知学习 22201 小丽抽到的 4 张卡片依次为： 0 -3 7 5 她抽到的卡片的计算结果是多少？ 解：-3 + 7 - 0 + 5 = 4 4 9 新知探究 22201 小彬抽到的 4 张卡片依次为： 获胜的是谁？ -5 4 因为 9>7 所以小丽获胜。 新知探究 22201 如图呈现了流花河的水位情况（单位：m），取河流的警戒水位作为 0 点，那么图中的其他数据 可以分别记作什么？ 解：最高水位记作： 35.3 - 33.4 = +1.9 m； 平均水位记作：22.6 - 33.4 = -10.8 m； 最低水位记作：11.5 - 33.4 = -21.9 m。 思考·交流 35.3 33.4 22.6 11.5 流花河水位 最高水位 警戒水位 平均水位 最低水位 22201 下表是某年雨季流花河一周内的水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降；上周日的水位达到警戒水位）。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01 （1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警系水位之上还是之下？到警戒水位的距离分别是多少米？ 新知探究 22201 解：＋0.20＋0.81 = 1.01 m； 1.01＋(－0.35) = 0.66 m； 0.66＋0.03 = 0.69 m； 0.69＋0.28 = 0.97 m； 0.97＋(－0.36) = 0.61 m； 0.61＋(－0.01) = 0.60 m。 周二水位最高，位于警戒线之上，距离警戒线 1.01 m； 周一水位最低，位于警戒线之上，距离警戒线 0.20 m。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01 22201 （2）与上周日相比，本周日河流水位是上升了还是下降了？ （3）完成本周水位记录表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m 33.60 34.41 34.06 34.09 34.37 34.01 34.00 解：与上周日相比，本周日河流水位是上升了 0.6 m。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01 22201 （4）以警戒水位为 0 点，在图中画折线表示本周的水位情况。 （5）你还能提出什么数学问题？与同伴进行交流。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m 33.60 34.41 34.06 34.09 34.37 34.01 34.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 22201 1. 某汽车制造厂计划前半年内每月生产汽车 20 辆，由于另有任务，每月上班人数有变化，1 月至 6 月实际每月生产量和计划每月生产量相比，变化情况如下 (增加为正，减少为负，单位：辆)： ＋3，－2，－1，＋4，＋2，－5. (1) 生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产多少辆？ 解：(＋4)－(－5)＝9 (辆)。 即生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产了 9 辆。 练一练 22201 (2) 前半年的实际总产量是多少？比计划的总产量多了还是少了？相差多少？ 解：(+3) + (-2) + (-1) + (+4) + (+2) + (-5) = +1 (辆)． 前半年的实际总产量是 20 + 1 = 21 (辆)． 答：前半年的实际总产量是 21 辆，比原计划的总产量多了 1 辆． 22201 1.某地星期一上午的温度是 -7 ℃，中午上升了 8 ℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了 10 ℃，则这天夜间的温度是 ℃。 -9 随堂练习 22201 2.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下。（单位：km） （1）求收工时距 A 地多远？ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -4 +7 -9 +8 +6 -5 -2 解：（1）－4＋7－9＋8＋6－5－2 = －4－9－5－2＋7＋8＋6 = －20＋21 = 1 km； 答：收工时距 A 地 1 km。 22201 （2）由题意得，第一次距 A 地 4 千米； （2）在第几次记录时距 A 地最远？ 第二次距 A 地 －4＋7 = 3 千米； 第三次距 A 地 |－4＋7－9| = 6 千米； 第四次距 A 地 |－4＋7－9＋8| = 2 千米； 第五次距 A 地 |－4＋7－9＋8＋6| = 8 千米； 而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共 7 千米，所以在第五次记录时距 A 地最远。 22201 3. 在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4 个单位长度到达 A 点 ，再向右爬了 2 个单位长度到达 B 点，然后又向左爬了 10 个单位长度到达 C 点，最后向左爬了 2 个单位长度到达 D 点。 (1) 请问点 D 的表示的数是多少？ 解：(＋4)＋(＋2)＋(－10)＋(－2) = 6－12 =－6。 答： D 点的表示的数是－6。 22201 (2) 点 A、 点 B 到原点的距离分别是多少？可以列出怎么样的算式. (3) 点 A 到点 C 距离是多少？可以怎么列算式？ 解：4－0＝4， 4＋2－0＝6。 所以点 A、 点 B 到原点的距离分别是 4 个单位长度和 6 个单位长度。 解：点 A：＋4，点 C：(＋4)＋(＋2)＋(－10) = －4， 所以 4－(－4) = 8。 所以点 A 到点 C 距离是 8 个单位长度。 22201 有理数加减法混合运算的步骤为： 方法一：减法转化成加法 1. 减法变加法：a + b - c = a + b + ( -c)； 2. 运用加法交换律和结合律使同号两数分别相加； 3. 按有理数加法法则计算. 方法二：去括号法 1. 去括号； 2. 同号放一起； 3. 进行加减运算. 课堂小结 22201 $