湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题.

长沙市一中2026届高三月考试卷(一) 数 学 时量:120分钟 满分:150分 得分 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x³=x},则A∩B= A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 2.若复数 则 3.(★)从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字(不允许重复)，则这两个数字的乘积是奇数的概率为 4,函数是 A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为 C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为2 5.已知函数f(x)满足.f(x+1)为奇函数，f(2x-1)为偶函数，则下列一定成立的是 A. f(-3)=0 B.f(0)=0 C. f(2)=0 D. f(4)=0 6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 则 的最小值为 A.2 B.9 C.10 D.18 7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为 A. C.1 D. 8.已知实数满足 =，其中e为自然对数的底数，则的大小关系是 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9.如图,在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 且 M为A₁C₁与B₁D₁的交点,设 则下列结论正确的是 10.(★)已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则 A.抛物线C的准线方程为 B.若|AF|=8,则. C.|AF|·|BF|的最大值为16 D.∠AOB为钝角 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为, D为边BC 的中点,则下列说法正确的是 A.若,则△ABC是等腰三角形 B.若 则△ABC是直角三角形 C.若 ，则△ABC是钝角三角形 D.若 则△ABC是锐角三角形 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.已知数列{an}的通项公式为 则数列{an}的最大项为第 项. 13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 . 14.已知5件产品中恰有2件次品，现逐一检测，直至能找出所有次品为止,记检测的次数为X,则E(X)= . 四、解答题(本大题共5个小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分13分) 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据小概率值 的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联? (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件A=“选到的观众是男性”，事件B=“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较P(B|A)和. 的大小，并解释其意义. 附： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(本题满分15分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC, M为棱PC 的中点. (1)证明:. (2)若. 在线段 PA 上是否存在一点Q，使得点 Q到平面BDM 的距离是 若存在，求出 PQ的值；若不存在，请说明理由. 17.(★)(本题满分15分) 已知数列 的前n项和为 其中c为常数. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 为等差数列. (Ⅰ)若 求数列 的前n项和. (Ⅱ)若数列 的前n项和为 且 求证： 18.(本题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的焦点与短轴两个顶点所成三角形的面积为 ，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4,0),B(0,2),点 P 是椭圆上且在第三象限内的一点. (|)当 的面积取最大值时，求点 P 的坐标； (Ⅱ)记直线PA与y轴交于点M，直线 PB与x轴交于点N，求四边形ABNM面积的最大值. 19.(本题满分17分) 已知函数. (1)若 )恒成立，求实数a的取值集合； (2)在(1)的条件下，若函数 的两个零点分别为 与 且 求证： (3)已知正整数n满足 试求出所有满足条件的n.(已知 学科网（北京）股份有限公司 $