2.3 有理数的乘除运算课件 2025-2026学年 北师大版（2024）七年级数学上册

第二章 有理数及其运算 2.3 课时1 有理数的乘法法则 22201 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 22201 1.知道有理数乘法的意义和法则,并能熟练利用有理数乘法法则进行运算. 2.知道什么是互为倒数,会求一个数的倒数. 学习目标 22201 例如：3+3+3+3+3=3×____=15, 7+7+7+7+7+7=7×_____=____， 5×0=____ 5 6 42 0 你还记得小学学习过的乘法的定义吗？ 求几个相同数的和的简便运算，叫做乘法. 有理数的乘法该如何运算呢？ 新课导入 22201 问题：甲水库的水位每天升高 3cm，乙水库的水位每天下降 3cm，预计经过4天甲、乙水库 水位的总变化量各是多少？ 如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为 3＋3＋3＋3=3×4=12（cm）； 乙水库的水位变化量为 (－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)×4＝－12（cm）. 新知探究 22201 －[(－3)×4]＝ (－3)×[(－4)＋4]＝ 你认为3×(－4)的结果应该是多少?(－3)×(－4)呢? 3×(－4)＝ 同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有 (－4)×3＝ (－4)＋(－4)＋(－4)＋(－4)＝ ； －12 乘法运算律在有理数范围内仍成立 (－3)×(－4)＋(－3)×4＝ 。 (－3)×0＝0 因此 (－3)×(－4)＝ 。 12 思考 22201 （1）请你仿照上面的方法说明(－2)×(－5)＝10。 （2）再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。 (－2)×(－5) ＝－[(－2)×5] ＝10 新知探究 22201 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍为0。 新知小结 22201 例1 计算： （1）6×(－1)； （2）(－4)×5； （3）(－5)×(－7)； （4）(－)×(－)； 解:（1）6×(－1)＝－(6×1)＝－6； 互为相反数 ☀ 一个数乘－1，所得的积就是它的相反数。 典型例题 22201 解：（2）(－4)×5 ＝－(4×5)(异号得负，绝对值相乘) ＝－20； （3）(－5)×(－7) ＝＋(5×7)(同号得正，绝对值相乘) ＝35； 两个有理数相乘的计算步骤：(1)确定符号；(2)绝对值相乘。 典型例题 22201 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.例如：3与互为倒数，与互为倒数。 解:（4）(－)×(－) ＝＋(×)(同号得正，绝对值相乘) ＝1； 注意:0没有倒数. 反之，若两数互为倒数，则它们的积为1。 倒数定义： 典型例题 22201 1的倒数为 －1的倒数为 的倒数为 －的倒数为 0.4的倒数为 －0.4的倒数为 1 －1 3 －3 0的倒数为 。 零没有倒数 思考：a的倒数是对吗？ (a≠0时,a的倒数是) － 先把小数化为分数再求倒数 针对练习 22201 例2 一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2 ℃，小刚在山脚测得的温度是4 ℃．已知该地区的高度每增加100 m，气温大约下降0.6 ℃，求这个山峰的高度大约是多少。 解：×100 　＝10×100＝1 000（m）． 高度每增加100m，温度大约下降0.6℃ 山顶和山脚的温差是4－(－2)＝6℃ 6℃是0.6℃的10倍 山峰的高度为10×100 m 答：这个山峰的高度大约为1 000 m． 典型例题 22201 1.计算(－6)×(－1)的结果等于(　　) A．6　　B．－6　　C．1　　D．－1 2.－的倒数的相反数等于(　　) A．－2 B. C．－ D．2 3.若数a≠0，则a的倒数是______，_____没有倒数；倒数等于它本身的数是________． 0 1或－1 4.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则5(a＋b)－6cd＝_____． A D －1 随堂练习 22201 被乘数 乘数 积的符号 积的绝对值 结果 －5 7 15 6 －30 －6 4 －25 5.填空题 － 35 －35 ＋ 90 90 ＋ 180 180 － 100 －100 随堂练习 22201 一般法则 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 特殊 倒数 乘积是1的两个数互为倒数 应用 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.3 课时2 有理数的乘法运算律 22201 1.掌握多个有理数相乘的积的符号法则； 2.掌握有理数乘法的运算律； 3.能正确运用乘法运算律简化运算. 学习目标 22201 1. 有理数的乘法法则： 2. 小学学过乘法的哪些运算律： 两数相乘，同号得正， 任何数与 0 相乘，积仍为 0。 异号得负，并把绝对值相乘。 乘法交换律、结合律和分配律。 复习回顾 22201 思考：下列各式的积是正的还是负的？你是如何判断的？ 2×3×4×(－5) 2×3×(－4)×(－5) 2×(－3)×(－4)×(－5) (－2)×(－3)×(－4)×(－5) 7.8×（－8.1）×0×（－19.6） 只考虑积的符号，第一、三式的积是负的，第二、四式的积是正的． 你有什么发现？ 新课导入 22201 探究一：多个有理数相乘 计算：（1）； (2). 解：（1） =[ = =+(20×0.25) =5； （2） =[ = =-1. 思考·交流：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？ 有一个因数为0时，积是多少？与同伴进行交流. 新知探究 22201 多个有理数相乘的法则 （1）多个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定。当负因数的个数是奇数时，积为负，当负因数的个数是偶数时，积为正．积的绝对值等于各个因数绝对值的乘积． （2）多个有理数相乘时，有一个因数为0，积为0. 知识归纳 22201 1.三个有理数的积为0，可以推出（　　）． A．三个数都为零 B．三个数中有一个为零，其余都不为零 C．三个数中有两个为零 D．三个数中至少有一个为零 D 练一练 新知探究 22201 探究二：有理数乘法的运算律 尝试·思考：我们已经规定了有理数的乘法法则，按照这一法则，乘法的运算律在有理数范围内仍然成立. 请你用字母表示乘法交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律. ab＝ba (ab)c ＝ a(bc) 1.乘法交换律: . 2.乘法结合律: . 3.乘法对加法的分配律： . a(b＋c) ab＋ac ＝ 新知探究 22201 2.计算: （1） (－)×（-24） =(－)×（-24）×（-24） =20+（-9） =11； 解： 你是如何计算的？ 练一练 新知探究 22201 思考·交流：下面是计算（）×24的两种解法. （）×24 =（）×24 =×24 =10. 解法一： 解法二： （）×24 = =8+6-4 =10. 比较两种解法，说说它们的区别，并与同伴进行交流. 先计算括号里的. 先应用乘法对加法的分配律. 新知探究 22201 解: 原式＝ －24× －24× ＋24× － 24× 5 8 1 6 3 4 1 3 3.计算： ＝ － 8 －18 ＋4－ 15 ＝ － 41 ＋4 ＝ － 37. 以上解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． ? ? ? __ __ __ 练一练 新知探究 22201 _____ ______ ______ ______ ＝ － 8 ＋ 18 － 4 ＋ 15 ＝ － 12 ＋33 ＝ 21. ＝(－24)× ＋(－24)×(－ )＋(－24)× ＋(－24)×(－ ) 1 3 3 4 1 6 5 8 正确解法： 注意：运用乘法对加法的分配律时，不要漏掉符号,不要漏乘. 练一练 新知探究 22201 解：(1)原式＝[(－2.5)×(－4)]×[8×(－0.125)]×(－0.1) ＝10×(－1)×(－0.1) ＝1. 典型例题 22201 方法一： 方法二： 逆用乘法对加法的分配律. 例2 计算： 典型例题 22201 方法一： 方法二： =-699×2 典型例题 22201 1．n个不等于0的有理数相乘，它们的符号（　　）． A．由因数的个数而定 　　 B．由正因数的个数而定 C．由负因数的个数而定 　　D．由负因数的大小而定 C 2.计算 的值为 （ ） D 随堂练习 22201 4.算式-25×14+18×14-39×（-14）=（-25+18+39）×14是逆用了（　　） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法对加法的分配律 D 3．下列计算正确的是（　　） A．－5×（－4）×（－2）×（－3）＝5×4×2×3＝120 B．（－9）×5×（－4）×0＝9×5×4＝180 C．（－3）×（－9）－8×（－5）＝27－40＝－13 ＝7× ＝ D．7× A 随堂练习 22201 5.计算： （1）（－125）×（－2）×（－8）； （2） （3）22×（－33）×（－4）×0． （4） 解：（1）原式＝－（125×2×8） ＝－2 000． （2）原式＝ ＝ 解：（3）原式＝0． ＝－18． （4）原式＝ 随堂练习 22201 6.计算： 随堂练习 22201 乘法的交换律 有理数的 乘法运算律 a×b＝b×a (a×b)×c＝a×(b×c) 乘法的结合律 乘法对加法的分配律 a×(b＋c)＝a×b＋a×c （既可以正用，也可以逆用） 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.3 课时3 有理数的除法 22201 1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。 2.会进行有理数的除法运算。 学习目标 22201 2.有理数的乘法运算律 乘法的交换律： ___________； 乘法的结合律： ___________________； 乘法对加法的分配律：_____________________. a×b＝b×a (a×b)×c＝a×(b×c) a×(b＋c)＝a×b＋a×c 1.有理数乘法法则 两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为 . 正 负 0 新课导入 22201 (-3)×4=-12 ( )×4=-12 (乘法算式) (-12)÷4=( ) (除法算式) (-3)×4=-12 (-12)÷4=-3 除法是乘法的逆运算。 ？ ？ 新知探究 22201 ① 6×(－3)＝－18， (－18)÷6= ； ②(－)×(－25)＝5， 5÷(－)＝ ； ③ 3×(－9)＝－27， (－27)÷(－9)＝ ; ④ 0×(－2)＝0， 0÷(－2)＝ 。 根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式： －25 3 0 －3 从上面的算式，你能归纳出有理数的除法有什么特点与规律吗？ 新知探究 22201 1.两个有理数相除，同号得 ，异号得 (填“正”或“负”)，并把绝对值 . 2.0除以任何非0的数都得 . 注意：0不能作 . 正 负 相除 0 除数 有理数的除法法则1： 新知探究 22201 例1 计算： （1）（－15）÷（－3）； （2）12÷(－); （3）(－0.75)÷0.25; （4）(－12)÷(－)÷(－100)。 （3）原式 ＝－(0.75 ÷ 0.25) ＝－3 解：原式＝＋(15÷3) ＝5 （2）原式＝－(12÷) ＝－48 （4）原式＝＋(12÷)÷(－100) ＝144÷(－100) ＝－(144÷100) ＝－1.44 典型例题 22201 想一想： (－12)÷(－)÷(－100) 下面两种计算正确吗?请说明理由： （1）解：原式＝(-12)÷(－÷100) ＝(－12)÷(－)＝－14400 （2）解：原式＝(－)÷(－12)÷(－100) ＝÷(－100)＝－。 除法不适合交换律与结合律,所以不正确。 （×） （×） 思考 22201 （3）(－)÷(－)＝ ； (－)×(－60)＝ 。 比较下列各组数计算结果： 15 （1）1÷(－) ＝ ； 1×(－)＝ ； （2）0.8÷(－)＝ ； 0.8×(－)＝ ； － － － － 15 发现了什么？ 结果相同 新知探究 22201 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 也可以表示成： 有理数的除法法则2： 新知探究 22201 例2 计算：（1）(-18)；（2）16。 解：(1)原式＝(－18)×) ＝18× ＝27 (2)原式＝16×()×) ＝16 ＝ 注意 对于只有除法的运算，有括号先算括号内，无括号就从左到右算。或者可以先把所有除法都变成乘法，然后再用乘法交换律和结合律。 典型例题 22201 （1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算 （2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）。 方法归纳 新知探究 22201 2.算式(－)÷( )＝－2中的括号内应填上 （ ） A.－ B. C.－ D. D 1.计算(－)÷(－7)的结果正确的是 （ ） A.1 B.－1 C. D.－ C 3.填空： （1）若a，b互为相反数，且a≠b，则＝ ___，2b＋2a＝_____； （2）当a＜0时，＝_______； （3）若a＞b，＜0则a，b的符号分别是_____________. －1 0 －1 a＞0，b＜0 随堂练习 22201 4.计算： （1）－÷(－2)； （2）－0.5÷×(－)； （3）－7÷(－)÷(－)。 解:（1）原式＝×＝； （2）原式＝××＝； （3）原式＝－7××＝－。 随堂练习 22201 5.计算: （1） (－49)÷×÷(－16)；（2） (－4)÷[(－)÷(－)]。 解:（1）原式＝(－49)×××＝1； （2）原式＝(－4)÷[(－)×(－2)] ＝(－4)÷＝(－4)×＝－。 随堂练习 22201 除法法则一 有理数的除法 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何非0的数都得0. 除法法则二 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 课堂小结 22201 例1 计算： (1)(－2.5)×(－0.1)×(－4)×8×(－0.125)； (2)(＋－)×(－12)． (2)原式＝×(－12)＋×(－12)－×(－12) ＝(－5)＋(－8)＋9＝－4. $