2.2 有理数的加减运算课件 2025-2026学年 北师大版（2024）七年级数学上册

该初中数学课件围绕有理数加减法展开，从生活情境引入，通过“得分表”“温差计算”“水位变化”等真实问题构建学习支架，层层递进地引导学生理解加法法则、减法转化与混合运算的逻辑脉络，实现从具体到抽象的认知跃迁。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”。例如，用“正负符号表示升降”“相反数结合法简化运算”等设计，让学生在实际问题中感悟数学本质，发展理性思维与建模能力。教师可借此提升课堂实效，学生则能建立清晰的知识结构，增强解决现实问题的信心与能力。

第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时1 有理数加法法则 22201 1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性； 2.掌握有理数加法法则，并能运用法则进行计算. 学习目标 22201 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分.每个参赛队的基本分为0分. 问题：加1分、扣1分，得几分？扣1分、加1分，又得几分呢？ 你能用算式表示吗？ 新课导入 22201 探究：有理数的加法法则 “加1分、扣1分，得0分”；“扣1分、加1分，得0分”可以分别用如下算式表示： (+1)+(-1)=0，(+1)+(-1)=0. (1)第一环节和第二环节各有5道题.三个参赛队在前两个环节的得分情况如下表所示，你能把下表补充完整吗?你是怎么做的?与同伴进行交流. 参赛队 第一环节的得分 第二环节的得分 前两个环节的得分之和 算式表达 第一队 2 3 第二队 -2 -3 第三队 -3 2 新知探究 22201 (2)小明用1个 表示+1，用1个 表示-1，用 直观表示(+1)+(-1)=0，用 直观表示(-1)+(+1)=0，他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？ 你能根据以上方法，计算以下各式吗？ ①（-2）+（-3）; ②（-3）+2. 新知探究 22201 ①计算（-2）+（-3）. 在两个方框中分别放进2个 和3个 ： （-2）+（-3）=-5 新知探究 22201 ②计算（-3）+2. 在方框中放进3个 和2个 ： （-3）+2=-1 (3)如果有第四个参赛队，那么第四队前两个环节的得分可能会出现哪些情形，据此可以列出哪些算式?你能直观解释运算过程和结果吗? 新知探究 22201 ①( - 2 ) + ( - 3 ) 思考·交流：(1)两个有理数相加，有哪几种情况？你是怎样分类的？ ②( - 3 ) + 2 ③( +1 ) + ( - 1 ) ④ ( + 2 ) + 0 = 2 ( - 3 ) + 0 = -3 同号两数相加 异号两数相加 异号两数相加，且绝对值相等 一个数同0相加 新知探究 22201 两个加数的绝对 值相加 较大的绝对值减去较小的绝对值 ① ( - 2 ) + ( - 3 ) = - ( 2 + 3 )= - 5 ↓ ↓ ↓ 同号两数相加 取相同符号 (2)对于(1)中的每种情形，和是怎么确定的？与同伴进行交流. 异号两数相加 取绝对值较大的数的符号 ② ( - 3 ) + 2 = - ( 3 - 2) = -1 ↓ ↓ ↓ 新知探究 22201 ④( + 2 ) + 0 = 2 ( - 3 ) + 0 = -3 一个数同0相加，仍得这个数. 和为0 ③ ( - 4 ) + 4 = 0 ↓ ↓ ↓ 异号两数相加，绝对值相等时 新知探究 22201 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． (3)一个数同0相加，仍得这个数． 知识归纳 22201 例1：计算下列各题: (1)180＋(－10); (2)(－10)＋(－1); (3)5＋(－5); (4)0＋(－2). 解：(1)180＋( －10)(异号两数相加） 　 ＝＋(180－10) ＝170； (取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） 你能说出每一步运算的依据吗？ 典型例题 22201 (2)(－10)＋(－1) (同号两数相加） ＝－(10＋1) ＝－11; (3) 5＋(－5) (互为相反数的两数相加） ＝0; (4) 0＋(－2) (一个数同0相加） ＝－2. (取相同的符号，并把绝对值相加） 典型例题 22201 有理数加法运算的步骤： 两数相加 同号 异号 与0相加 定符号 取与加数相 同的符号 计算 绝对值相加 绝对值 相等时 绝对值不 相等时 定结果 和为0 定符号 取绝对值 较大的加 数的符号 计算 用较大的绝对值减去较小的绝对值 定结果 仍得这个数 知识归纳 22201 思考·交流：(1)根据有理数加法法则，如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0。反过来，如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数吗? (2)根据有理数加法法则进行正数或0的运算，得到的结果与小学数学中的加法运算结果一致吗? (3)一个数加一个正数，所得的和与这个数有怎样的大小关系?一个数加一个负数呢?与同伴进行交流。 如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数. 一致. 一个数加一个正数，所得的和一定大于这个数； 一个数加一个负数，所得的和一定小于这个数. 新知探究 22201 例2：计算：(1)－150＋(＋15)； (2)(－20)＋(－11)； (3)(－72)＋(＋72); (4)(－39)＋0； (5)(＋135)＋(－75); (6)(－124)＋(＋176)． 解：(1)(－150)＋(＋15) ＝－(150－15) ＝－135. (2)(－20)＋(－11) ＝－(20＋11) ＝－31. (4)(－39)＋0 ＝－39. (3)(－72)＋(＋72) =0 (5)(＋135)＋(－75) ＝＋(135－75) ＝60. (6)(－124)＋(＋176) ＝＋(176－124) ＝52. 典型例题 22201 例3：若A地的海拔高度为－120 m，B地比A地高46 m，则B地的海拔高度是多少？ 解：(－120)＋46 ＝－(120－46) ＝－74(m)． 因此，B地的海拔高度为－74 m. 典型例题 22201 1．下列各式运算正确的是(　　) A．(－3)＋(＋7)＝－4 B．(－2)＋(＋2)＝－4 C．(＋6)＋(－11)＝－5 D．(－5)＋(＋3)＝－8 2．在数4，－1，3，－6中，任取两个不同的数相加，其中 和的最小值是(　　) A．3 B．－3 C．－7 D．无法确定 3.一个正数与一个负数的和是( ) A.正数 B．负数 C．0 D．不能确定符号 C C D 随堂练习 22201 4.计算： (1)(＋3)＋(＋8)； (2)(＋)＋(－)； (3)(－3)＋(－3.5)； (4)(－2.8)＋2.8. 解：(1)(＋3)＋(＋8)＝＋(3＋8)＝11. (2)(＋)＋(－)＝－(－)＝－. (3)(－3)＋(－3.5)＝－(3.5＋3.5)＝－7. (4)(－2.8)＋2.8＝0. 随堂练习 22201 5.一只蜗牛爬树，白天向上爬了1.5 m，夜间向下爬了0.3 m，白天和夜间一共向上爬了多少米？ 解：规定向上为正，向下为负. 1.5＋(－0.3)＝＋(1.5－0.3)＝1.2(m). 答：蜗牛一共向上爬了1.2 m. 随堂练习 22201 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． (3)一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法法则 (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时2 有理数加法运算律 22201 1.理解并掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用交换律和结合律化简有理数的加法运算； 2.通过探索、归纳、猜想和验证，体验加法运算律的形成过程，并能 运用运算律解决问题. 学习目标 22201 叙述有理数的加法法则： 异号两数相加，绝对值相等时和为 0； 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 知识回顾 22201 如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，到达原点左边 单位长度处。 根据上图你能写出怎样的算式? 1个 (-3)+(+2)=-1. -3 0 -3 +2 -2 -1 1 -4 -5 新课导入 22201 探究一：有理数加法的运算律 问题：(1)以上算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗? (-3)+(+2) =-(3-2) =-1. 异号两数相加 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2)对于(-3)+(-2)，你能借助数轴解释运算结果吗? 结果一致. 新知探究 22201 因此，(-3)+(-2)=-5. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处. 新知探究 22201 1 ．计算：（1）（-8）+（-9） （-9）+（-8）； （2） 4 +（-7） (-7) + 4； = -(8+9) =-17 = -(9+8) =-17 = -（7-4） =-3 = -（7-4）=-3 加法交换律适用于有理数。 相等 相等 尝试·交流：小学学习过哪些加法运算律？这些运算律在有理数范围内还成立吗?请你举一些例子试一试，并与同伴进行交流。 加法交换律和加法结合律. 新知探究 22201 2 ．计算： （1） [2+(-3)]+(-8) 2+[(-3)+(-8)]； （2）[10+(-10)]+(-5) 10+[(-10)+(-5)]. = (-1)+(-8) =-9 = 2+(-11) =-9 = 0+(-5) =-5 = 10+(-15) =-5 加法结合律也适用于有理数。 相等 相等 你能用字母表示加法交换律和结合律吗？ 新知探究 22201 有理数加法的运算律 加法交换律与结合律同样适用于三个以上有理数相加。 注意：用加法交换律时，一定要连同加数的符号一起交换。 运算律 文字叙述 字母表示 加法交换律 加法结合律 两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 三个有理数相加，先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加，和不变。 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 知识归纳 22201 1.下列交换加数的位置的变形中，错误的是(　　) A．30＋(－20)＝(－20)＋30 B．(－5)＋(－13)＝(－13)＋(－5) C．(－37)＋16＝16＋(－37) D．10＋(－20)＝20＋(－10) D 练一练 新知探究 22201 探究二：加法运算律的应用 计算：（1）31 +（-28）+ 28 + 69 解：（1）31 +（-28）+ 28 + 69 =31 + 69 + [（-28）+ 28 ] =100+0 =100. 每一步运算的依据是什么？ （加法交换律和结合律 ） （一个数同0相加，仍得这个数） （同号相加法则和异号相加法则） 相反数结合法 新知探究 22201 (2)(1.8)+(6.5)+(4)+6.5 =(1.8)+(4)+[(6.5)+6.5] =5.8+0 =5.8 尝试·思考：计算下列各式，说一说你是怎么做的. (1)20+(17)+15+(10)； (2)(1.8)+(6.5)+(4)+6.5； (3)(12)+34+(38)+66; (4)+()+()+. 解：(1) 20+(-17)+15+(-10) =20+15+(-17)+(-10)  =(20+15)+[(-17)+(-10)] =35+(-27)  =8.                               相反数结合法 同号结合法 新知探究 22201 (3)(12)+34+(38)+66; =[(12)+(38)]+(34+65) =50+100 =50 同号相加、凑整 (4)+()+()+. 同分母结合法 =[+()+]+() =1+() = 回顾·反思：对于有理数加法运算，你积累了哪些简便计算的经验？ 新知探究 22201 有理数加法运算律的结合原则： (1)相反数结合法：把互为相反数的两个数相加; (2)同号结合法：把正数和负数分别结合相加； (3)凑整法：把和为整数的数结合相加； (4)同分母结合法：有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 知识归纳 22201 2.计算：（1）16+(-25)+24+(-35); （2） 解（1） 16+(-25)+24+(-35) =16+24+(-25)+(-35)     =（16+24）+[(-25)+(-35)] =40+(-60)                       =-20.                             （2） = []+ =+ =-. 练一练 新知探究 22201 例1：等式5＋(－3)＋7＋(－9)＋12＝(5＋7＋12)＋[(－3)＋(－9)]是应用了(　　) A．加法交换律　　 B．加法结合律 C．分配律　　　　 D．加法的交换律和结合律 D 典型例题 22201 例2：计算(1)53＋(－47)＋37＋(－63)；(2)23＋(－36)＋(－93)＋36； (3)(－32)＋(＋72)＋(－54)＋(－46)； (4)(－30)＋20＋(－22)＋(－18)． 解：(1)53＋(－47)＋37＋(－63) ＝(53＋37)＋[(－47)＋(－63)] ＝90＋(－110)＝－20. (2)23＋(－36)＋(－93)＋36 ＝[23＋(－93)]＋[(－36)＋36] ＝－70＋0＝－70. (3)(－32)＋(＋72)＋(－54)＋(－46) ＝[(－32)＋72]＋[(－54)＋(－46)] ＝40＋(－100)＝－60. (4)(－30)＋20＋(－22)＋(－18) ＝20＋[(－30)＋(－22)＋(－18)] ＝20＋(－70)＝－50. 典型例题 22201 1．下列计算正确的是(　　) A．3＋(－2)＋(＋2)＝1 B．4＋(－6)＋3＝－1 C．5＋(－2)＋4＝6 D．(－2)＋(－1)＋(＋3)＝0 D 2.电梯停在5楼，然后上升了10层，又下降了14层，那么现在电梯停在(　　) A．1楼   B．2楼   C．3楼   D．6楼 A 典例分析 22201 3.给下面的计算过程标明理由： (＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78) ＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78)① ＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)]② ＝(＋50)＋(－100)③ ＝－50. ①____________；②____________；③______________． 加法交换律 加法结合律 有理数加法法则 4.计算：(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋(＋29)＋(－30)＝________． -15 典例分析 22201 5.用简便方法计算： (1)(－51)＋(＋12)＋(－8)＋(－11)； (2)(＋13)＋(－35)＋(－15)＋(＋17)； (3)(－26)＋(＋230)＋(－34)＋(－230)． 解：(1)(－51)＋(＋12)＋(－8)＋(－11) ＝[(－51)＋(－8)＋(－11)]＋12 ＝(－70)＋12 ＝－58. (3)(－26)＋(＋230)＋(－34)＋(－230) ＝[(－26)＋(－34)]＋[(＋230)＋(－230)] ＝(－60)＋0＝－60. (2)(＋13)＋(－35)＋(－15)＋(＋17) ＝[(＋13)＋(＋17)]＋[(－35)＋(－15)] ＝30＋(－50) ＝－20. 典例分析 22201 6.一架直升机从海拔高度为1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升了－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架直升机离海平面多少米． 解：1000＋1500＋(－1200)＋1100＋(－1700) ＝1000＋1500＋1100＋[(－1200)＋(－1700)] ＝3600＋(－2900)＝700(米)． 因此，此时这架直升机离海平面700米． 典例分析 22201 有理数加法运算律 有理数加法的运算律 加法运算律的应用 (1)相反数结合法; (2)同号结合法； (3)凑整法； (4)同分母结合法. 两个有理数相加，交换加数的位置，和不变.（字母表示：a+b=b+a） 三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. （字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)） 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时3 有理数减法 22201 1.经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算；（重点） 2.通过减法到加法的转化，初步体会转化、化归的数学思想；培养 学生探究思维能力和分析解决问题的能力.（难点） 学习目标 22201 下图是2023年1月1日我国部分城市天气情况（单位：℃）。 北京的最高气温为5℃，最低气温为-7℃，这一天北京的温差为多少?你是怎么算的? 列式为：5-（-7） =？ 新课导入 22201 什么数加-7等于5呢？ …,10,11,12. 小明和小颖是这样思考的： 探究一：有理数的减法 12+（-7）=5 5-（-7）=12 5+7=12 相反数 结果相同 新知探究 22201 尝试·交流：(1)计算下列各式，你是怎么算的？ 15-6= ， 3-19= ， (-12)-0= ， (-8)-(-3)= ， 15+(-6)= ； 3+(-19)= ； (-12)+0= ； (-8)+3= . (2)再换一些数试试，你能得出什么结论？与同伴进行交流. 9 9 -16 -16 -12 -12 -5 -5 减法是加法的逆运算. 新知探究 22201 思考：上边左右两列算式分别是什么运算？左右两列算式运算结果怎样？ 15 - 6 = 15 + (-6) 3 - 19 = 3 +(-19) (-12) - 0 = (-12)+ 0 (-8) - (-3) = (-8)+ 3 发现：算式左边是减法运算；算式右边是加法运算；减法运算可以转化为加法运算. 减数变为相反数 减号变成加号 新知探究 22201 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)，a,b表示任意有理数. 减法统一成了加法. a － b = a + (－b) 减号变加号 减数变其相反数 被减数不变 知识归纳 22201 1.计算下列各题：（1）9-（-5）； （2）（-3）-1； （3）0-8； （4）（-5）-0 解：(1)9-（-5） =9+5 =14 (2)（-3）-1 =（-3）+（-1） =-4 (3)0+（-8） =-8 (4)（-5）-0 =-5 练一练 新知探究 22201 观察·思考：(1)观察上题中的算式和结果，想一想:一个数减一个正数，结果会怎样变化?如果减一个负数呢? 一个数减一个正数，差小于这个数； 一个数减一个负数，差大于这个数. (2)一个数减0，结果会怎样变化?如果0减一个数呢? 1.任何数减零仍得原数. 用字母表示为：a-0=a； 2.零减去一个数等于这个数的相反数. 用字母表示为：0-b=-b. 新知探究 22201 尝试·交流：计算：（1）（3-10）-2； （2）（-1.8）-0.12-0.36. 解：(1) （3-10）-2 =[3+(-10)]+(-2) =(-7)+(-2) =-9. (2) （-1.8）-0.12-0.36 =（-1.8）+(-0.12)+(-0.36) =-(1.8+0.12+0.36) =-2.28. 新知探究 22201 多个有理数的减法 多个有理数的减法与两个有理数的减法道理一样，先利用有理数减法法则将减法转化为加法，再适时利用加法运算律计算. 知识归纳 22201 探究二：有理数减法的简单应用 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是 8848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是–154.31米，两处海拔相差多少米？ 解：8848.86-（-154.31） =8848.86+154.31 =9003.17（米） 答：两处海拔相差9003.17米. 新知探究 22201 2.右图是某市今年2月份连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中温差最大的是(　　) A．星期一   B．星期三 C．星期五   D．星期日 D 练一练 新知探究 22201 例1：计算 (1)6－(－8)；　　　　 (2)(－2)－3； (3)10－14; (4)0－(－11)； (5)(－24)－(－27)； (6)5-(-13)-(-20)-16． 解：(1)6－(－8) ＝6＋(＋8) ＝14. (3)10－14 ＝10＋(－14) ＝－4. (4)0－(－11) ＝0＋11 ＝11. (2)(－2)－3 ＝－2＋(－3) ＝－5. (5)(－24)－(－27) ＝(－24)＋27 ＝3. (6)5-(-13)-(-20)-16 ＝5+13+20+(-16) ＝38+(-16) ＝22. 典型例题 22201 例2：某城市冬季的一天，最高气温为6 ℃，最低气温为－11 ℃.根据当天的天气预报报道，夜里将有一股冷空气袭击这个城市，第二天气温将下降10～12 ℃.请你依据以上的信息估计第二天该市的最高气温不会高于多少，最低气温不会低于多少？最高气温与最低气温的差至少为多少？ 解：根据题意得6－10＝－4(℃)，－11－12＝－23(℃)，6－12－(－11－10)＝－6＋21＝15(℃)， 即最高气温不会高于－4 ℃，最低气温不会低于－23 ℃，最高气温与最低气温的差至少为15 ℃. 典型例题 22201 1.春季里某一天的气温为－3 ℃～13 ℃，则这一天的温差是(　　) A．3 ℃ B．10 ℃ C．13 ℃ D．16 ℃ D 2.若|m|＝5，|n|＝3，且m＋n＜0，则m－n的值是(　　) A．－8或－2   B．±8或±2 C．－8或2   D．8或2 A 典例分析 22201 3.填空：－9－________＝12. (－21) 5.设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a－b－c＝______． 2 4.世界上最大的咸水湖是位于亚洲西部的死海，湖面海拔高度为－392 m，我国最大的咸水湖是位于西部的青海湖，湖面海拔高度是3195 m，则这两个咸水湖的湖面海拔高度相差________m. 3587 典例分析 22201 6.计算：(1)12－17； (2)(－10)－4； (3)32－(－18); (4)0－14； (5)(－32)－(－18)． 解：(1)12－17＝12＋(－17)＝－5. (2)(－10)－4＝(－10)＋(－4)＝－14. (3)32－(－18)＝32＋18＝50. (4)0－14＝0＋(－14)＝－14. (5)(－32)－(－18)＝(－32)＋18＝－14. 典例分析 22201 有理数减法 有理数减法法则 特殊法则 应用 减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示：a－b = a +（－b）. 1.任何数减零仍得原数. 用字母表示为：a-0=a； 2.零减去一个数等于这个数的相反数. 用字母表示为：0-b=-b. 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时4 有理数的加减混合运算 22201 第二章 有理数及其运算 2.2 课时5 有理数的加减混合运算的实际应用 22201 1.能运用有理数的加减混合运算解决简单的实际问题。 2.能够灵活处理复杂数据，能感受到折线统计图可以直观地反映事物的变化。 学习目标 22201 请按下列规则做游戏： （1）每人每次抽取4张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字． （2）比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 随堂练习 22201 67 获胜的是谁？ -3 小丽抽到的4张卡片依次为： 7 0 5 4 -5 小彬抽到的4张卡片依次为： 她抽到的卡片列式为：（－3）＋7－0＋5 他抽到的卡片列式为：(－)－＋4－(－5) 随堂练习 22201 68 (－3)＋7－0＋5 ＝4－0＋5 ＝4＋5 ＝9 －(－5) ＝ ＝(－2)＋4＋5 ＝2＋5 ＝7 因为9＞7，所以小丽获胜． 同级运算按从左到右的顺序计算同样适用于有理数的运算。 所有减法运算转化成加法运算 按照从左到右依次运算 随堂练习 22201 69 右图呈现了流花河的水位情况（单位:m）,取河流的警戒水位作为0，那么图中其他数据可以分别记作什么？ 解：取河流的警戒水位（33.4 m）作为0点，那么 最高水位（35.3 m）可记作＋1.9 m， 平均水位（22.6 m）可记作－10.8 m， 最低水位（11.5 m）可记作－21.9 m． 新知学习 22201 下表是某年雨季流花河一星期内的水位变化情况(上星期日的水位达到警戒水位)。 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m ＋0.2 ＋0.81 －0.35 ＋0.03 ＋0.28 －0.36 －0.01 （1）本星期哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少？ 无法直接判断 新知学习 22201 71 ∴星期二的水位最高，星期一的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是：1.01 m，0.2 m． 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对水位/米 ＋0.2 ＋1.01 ＋0.66 ＋0.69 ＋0.97 ＋0.61 ＋0.6 解：（1）若以警戒水位作为0点，正号表示超出警戒水位，则一周的相对水位如下表： 新知学习 22201 72 （2）与上星期日相比，本星期日河流水位是上升了还是下降了？ 因为0.20＋0.81－0.35＋0.03＋0.28－0.36－0.01＝0.6（m） 所以本周末河流水位与上周末相比上升了． 星 期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录（米） 33.6 （3）完成本星期水位记录表： 34.41 34.06 34.09 34.37 34.01 34 新知学习 22201 73 （4）以警戒水位为0点，用折线统计图表示本周的水位情况． 解：如图所示． 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 新知学习 22201 74 注意：要特别注意正、负号的含义,含义不同，计算的过程和结果也都不相同. 有理数加减混合运算的实际应用 运用统计图表解决与有理数加减混合运算有关的实际问题，解题的关键是利用转化思想把实际问题转化成有理数加减混合运算的 数学问题． 新知小结 22201 75 1．潜水艇所在的海拔高度是﹣50米，一条海豚在潜水艇上方10米，则海豚所在的高度是海拔（　　 ） A.－80米 B.－60米 C.－40米 D.40米 2．某地中午的气温比早晨上升了8℃，下午又下降了12℃，这两次气温变化的结果是（　　） A．下降了﹣4℃ B．上升了4℃ C．下降了4℃ D．上升了20℃ C C 典例分析 22201 4．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 　　个单位． 50 3．某地一天中午12时的气温是4℃，14时的气温升高了2℃，到晚上22时气温又降低了7℃，则22时的气温为（　　） A．6℃ B．－3℃ C．－1℃ D．13℃ C 典例分析 22201 5.某汽车制造厂计划前半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数有变化，1月至6月实际每月生产量和计划每月生产量相比，变化情况如下(增加为正，减少为负，单位：辆)：＋3，－2，－1，＋4，＋2，－5. (1)生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产多少辆？ (2)前半年的实际总产量是多少？比计划的总产量多了还是少了？相差多少？ 典例分析 22201 解:(1)(＋4)－(－5)＝9(辆) 故生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产9辆。 (2)上半年实际总产量为 20×6＋[(＋3)＋(－2)＋(－1)＋(＋4)＋(＋2)＋(－5)] ＝120＋(＋1) ＝121(辆)。 计划总产量为20×6＝120(辆)。 因为121＞120，所以比计划的总产量多了。 因为121－120＝1(辆)，所以比计划的总产量多了1辆。 典例分析 22201 6.出租车司机小李某一时段全是在同一道路上来回行驶,你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远? 如果规定向东为正,向西为负,我行车里程(单位:千米)为: 15, －2, 5,－1,－10,－3,－2, 12, 4,－5, 解:15－2＋5－1－10－3－2＋12＋4－5 ＝13(千米)。 所以他距离出车的出发点13千米。 典例分析 22201 在实际问题中构建有理数加减混合运算求解问题，借助统计图表可以让问题更简单明了. 有理数加减混合运算的实际应用 注意正负号的含义,含义不同，计算的过程和结果也都不相同. 课堂小结 22201 1.理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算.(重点） 2.通过加减法的相互转化，培养应变能力、计算能力.（难点） 学习目标 22201 加法的交换律： 加法的结合律： 有理数的减法法则： 减去一个数，等于 这个数的 . 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 三个数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变. 加上 相反数 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 随堂练习 22201 例1 （1）(－)＋－； （2）(－5)－(－)＋7－。 解:(1)(－)＋－ ＝(－)－ ＝(－)＋(－) ＝－； （2）(－5)－(－)＋7－ ＝(－5)＋＋7－ ＝(－)＋7－ ＝－ ＝－＝。 新知学习 22201 一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化情况见下表： 此时飞机比起飞点高了多少千米? 高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米 记 作 ＋4.5千米 －3.2千米 ＋1.1千米 －1.4千米 解法①: 4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4) ＝(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋(－1.4)] ＝5.6＋(－4.6) ＝1(千米) 答：此时飞机比起飞点高了1千米. 你还有其 他方法吗 新知学习 22201 高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米 记 作 ＋4.5千米 －3.2千米 ＋1.1千米 －1.4千米 解法②: 4.5－3.2＋1.1－1.4 ＝1.3＋1.1－1.4 ＝2.4－1.4 ＝1(千米) 答：此时飞机比起飞点高了1千米. 新知学习 22201 比较以上两种算法，你发现了什么？与同伴交流。 因此，有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 4.5－3.2＋1.1－1.4＝4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4) 加减混合运算 加法运算 理解：算式“4.5－3.2＋1.1－1.4”可以看作4.5、－3.2、1.1、－1.4这4个数的和。 写法：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。 作用：简化书写形式 新知学习 22201 有理数加减混合运算的实质： 在含有加减混合运算的式子中，利用有理数的减法法则将减法运算转化成加法运算，这样加减混合运算就被统一成加法运算，原来的算式就转化为求几个正、负数的和． 因此在进行加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算. 例如：4.5－3.2＋1.1－1.4 ＝4.5＋1.1－3.2－1.4 ＝5.6－4.6 ＝1 交换加数的位置时，要连同加数前面的符号一起交换。 新知学习 22201 例2 计算： （1）(－)－15＋(－)； （2）(－12)－(－)＋(－8)－。 解:（1）原式 ＝(－)＋(－15)＋(－) ＝(－)＋(－)＋(－15) ＝(－1)＋(－15) ＝－16; （2）原式 ＝－12＋－8－ ＝－12－8＋－ ＝－20＋ ＝－。 你认为哪一种写法更方便呢？ 加减混合运算统一成加法运算后，按照从左到右依次运算。 简化符号后用加法交换律和结合律进行计算。 典型例题 22201 有理数加减混合运算的步骤 (1)将加减混合运算统一为加法运算； (2)写成省略括号和加号的和的形式； (3)运用加法交换律和结合律，使运算简便． 注意: 1.在交换加数位置时，要连同加数前面的符号一起交换; 2.可以运用加法运算技巧（同号相加法、凑整法、相反数相加法、同分母相加法等）进行简便运算。 新知小结 22201 下表是某年全年某加油站92号汽油价格的调整情况(正号表示比表中前一次调价上涨，负号表示比表中前一次调价下降)。 与上一年年底相比，11月9日该加油站92号汽油价格是上涨了还是下降了?变化了多少元? 时 间 1月14日 3月25日 6月1日 6月30日 价格变化/(元/t) －140 ＋290 ＋400 ＋600 时 间 7月28日 9月1日 9月29日 11月9日 价格变化/(元/t) －220 ＋300 －190 ＋480 新知学习 22201 解：－140＋290＋400＋600－220＋300－190＋480 ＝290＋400＋600＋300＋480－(220＋190＋140) ＝2070－550 ＝1520（元）， 所以，与上一年年底相比，11月9日该加油站92号汽油价格是上涨了1520元。 新知学习 22201 2．4.5＋(－3.2)－(－1.1)＋_____＝1，横线上应填入(　　) A．2.4 B．－2.4 C．1.4 D．－1.4 C D 1.计算(－)＋－所得结果正确的是（ ） A.－ B. C.－1 D.1 3.已知a＝(－)＋(－)－(－)，则a的相反数是 。 4．某件商品的原价为38.9元，先跌了3.7元，后又涨价5.3元，则这一商品的最终价格是________元． 40.5 典例分析 22201 5.计算:（1）(－0.5)－(－0.35)＋(－8.25)； （2）－(－)＋(－)。 解:（1）原式 ＝(－0.5)＋0.35＋(－8.25) ＝(－0.15)＋(－8.25) ＝－8.4； （2）原式 ＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋(－) ＝ 典例分析 22201 （1）将减法统一转化为加法运算； 字母表示为：a＋b－c＝a＋b＋(－c) 有理数的加减混合运算 （2）按从左到右的顺序依次进行计算。 课堂小结 22201 $