集合有关的含参问题专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：集合有关的含参问题 典例剖析 【类型一元素与集合的归属关系的含参问题】 【题型一根据元素与集合的归属关系求参】 1.已知集合A={a,a2},B={1,3},若1∈A,则AUB中所有元素之和为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.己知集合A={x∈Rx2-ax-a+1<0},若2∈A,则实数a的取值范围是() A.{aa>号}B.{aa<号}c.{aa<5} D.{aa<3} 【题型二根据集合相等求参】 3.已知集合{1，a,b}={a2a,0},则a2024+b2025= 第1页 【变式】设三元集合{a,贵，1}={a2a+b,0},则a2025+b2026= 典例剖析 【类型一集合中元素个数的含参问题】 【题型一根据集合中元素的个数求参】 4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,xER,aER} (I)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A; (2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围. 【变式】己知集合A={xx2-3x-4<0},B={xx2-ax=0},若AnB中有且仅有两个 元素，则实数a的范围为() A.(-1,4)B.(-1,0) C.(0,4) D.(-1,0)U(0,4) 第2页 5.“实数k=-寺”是“集合a={产=}恰有一个元素的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【题型二根据集合（真）子集个数求参】 6.已知集合A={(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则实数a= 【变式】已知集合M={x|ax2+2x-3=0}至多有1个真子集，则a的取值范围是() A.a≤-青 B.a≥-青 C.a=0 D.a=0或a≤-青 第3页 典例剖析 【类型三集合间关系、集合运算的含参问题】 【题型一根据集合运算结果求参（己有集合）】 7.已知集合M={x|0<x<a,N={x|x2-6x+5<0},若NUM=M,则实数a的 取值范围是 8.已知集合A={x-2<x<7},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)当m=4时，求AUB,(CRB)∩A; (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围. 【变式】集合A={x>1},B={xx2-2ax+a2-4<0}. (1)若C={3,4,a2+2a-3},0∈(B∩C),求实数a的值： (2)已知A∩B=A,求实数a的取值范围. 第4页 (方程型) 9.设集合A={xx2-5x+4=0},B={xax-1=0},AUB=A,则实数a的取值集合 为 10.已知集合A={xx2-3x+2=0},集合B={xx2+2(a+1)x+(a2-5)=0} (I)若A∩B={2},求实数a的值， (2)若AUB=A,求实数a的取值范围 (3)若U=R,AnB=A,求实数a的取值范围. 第5页 【题型二根据集合运算结果求参（新集合）】 (端点对等型) 11.己知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={1,a}.若AUB={-2,1,2},则实数a的值 为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 第6页 12.己知集合A={x|-2<x<3B={x|ax2-5x+4<0},若AnB=(1,3),则AUB=() A.(-2,+∞)B.（-2,4) C.（-∞，3) D.（-2,3) 【变式】已知集合A={x|>0},B={xx2+ax+b≤0}，若AUB=R, AnB={x3<x≤4}，则a+b的值等于一 (新集合) 13.已知集合A={x≤1或x≥2，B={xa-1<x<a十1}，若AUB=R,则实数a的取值 范围为() A.1<a<2B.1≤a<2 C.1<a≤2 D.1≤a≤2 第7页 14.已知集合A={-克<x<4},B={x3a-2<x<2a+1}. (1)当a=0时，求AnB; (2)若A∩B=0,求a的取值范围. 【变式】己知集合P={x|-2≤x≤10，Q={x|1-m≤x≤1+m}.若Qn(CRP)=0, 则实数m的取值范围为() A.{mlm≤3} B.{mlm≥9} C.mm≤3或m≥9 D.{ml3≤m≤9} 15.已知集合A={xx2-2x-3=0},B={xx2-ax-a2+1=0}. (1)若A=B,求a的值； (2)若A∩B≠⑦，求a的取值集合 第8页 典例剖析 【类型四涉及充分必要条件关系的含参问题】 【题型根据充分必要条件关系求参】 16.已知全集为R,集合A={x2a-1≤x≤2a+1},B={x>2},若xEB是x∈A的必 要条件，则实数a的取值范围是 17.已知集合A={x2x-3<5},B={x2-4mx+3m2<0},其中m>0. (1)若m=1,求A∩CRB; (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 第9页 【变式】已知集合A={xx2-3x-4<0},B={xx2+4mx-5m2<0} (1)若集合B={x-5<x<1},求此时实数m的值； (2)已知命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是g的充分条件，求实数m的取值范围， 第10页 专题：集合有关的含参问题 【类型一 元素与集合的归属关系的含参问题】典例剖析 【题型一 根据元素与集合的归属关系求参】 1．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和. 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以 中所有元素之和为， 故选：B. 2．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题型二 根据集合相等求参】 3．已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 【变式】设三元集合，则 . 【答案】 【分析】利用相等的集合求出a，b，再代入求值作答. 【详解】由集合，得，由集合，得， 而，因此，且，则， 此时两个集合均为，符合题意， 所以. 故答案为： 【类型一 集合中元素个数的含参问题】典例剖析 【题型一 根据集合中元素的个数求参】 4．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 【变式】已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中元素，代入集合即可. 【详解】因为中有且仅有两个元素， 则，， 所以，解得，且. 故选：D. 5．“实数”是“集合恰有一个元素”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】讨论集合恰有一个元素所需条件，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】依题意方程只有一个实数根， 方程，等价于且且， 对于方程， 当，即时，解得，符合题意； 当，即时， 若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有， 符合方程只有一个实数根； 若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有， 符合方程只有一个实数根； 所以实数时，集合恰有一个元素，充分性成立； 集合恰有一个元素时，不一定有，必要性不成立. “实数”是“集合恰有一个元素”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型二 根据集合（真）子集个数求参】 6．已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【答案】1或 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 【变式】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 【类型三 集合间关系、集合运算的含参问题】典例剖析 【题型一 根据集合运算结果求参（已有集合）】 7．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 8．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可. 【详解】（1）当时，可得集合， 所以. ，． （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式】集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. （方程型） 9．设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上， . 故答案为： 10．已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 【题型二 根据集合运算结果求参（新集合）】 （端点对等型） 11．已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 12．已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得1是方程的根，据此可得答案. 【详解】因为，, 所以1是方程的根，3不一定是方程的根， 则，解得， 故，符合题意， 故 ． 故选：B． 【变式】已知集合，，若，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解； 【详解】：因为， 而,, 所以，即是方程的根， 因此， 即 所以， 故答案为： （新集合） 13．已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 14．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可. 【详解】（1）由题知，， 当时，， 所以. （2）由题知， 因为， 所以 当时，解得，满足题意； 当时，或， 解得，或， 综上所述，的取值范围为， 【变式】已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集. 【详解】  由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A. 15．已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值集合． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意化简集合，再结合集合相等的概念计算即可； （2）根据已知条件得到元素和集合的关系，再分类讨论求解答案即可. 【详解】（1）由题意可得． 因为，所以，则，解得 （2）因为，所以或或． 若，则，由（1）知，； 若，，即，解得或（舍去）； 若，，即，解得或（舍去） 综上，的取值集合为 【类型四 涉及充分必要条件关系的含参问题】典例剖析 【题型 根据充分必要条件关系求参】 16．已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的求解化简求解,即可将必要条件转化为，进而列不等式可求解. 【详解】由可得， 由于是的必要条件，故, 因此，解得， 故答案为： 17．已知集合，，其中． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解； （2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解. 【详解】（1）由，解得，即，故， 因为，所以， 由，解得，故，则或， 或. （2）由可得， 因为，所以， 所以不等式的解为，即， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以或，解得或, 又因为，所以， 经检验，当时，是的真子集， 故实数的取值范围为. 【变式】已知集合，. (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值； （2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以方程的两根分别为和， 由韦达定理得，解得； （2）因为， 由于是的充分条件，则， 当时，， 此时不成立； 当时，， 因为，则有，解得； 当时，， 因为，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $