专题09 等边三角形（题型专练）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练

专题09 等边三角形 目录 【题型一 根据等边三角形的性质求长度】 1 【题型二 根据等边三角形的性质求角度】 4 【题型三 根据等边三角形的性质证明】 6 【题型四 证明是等边三角形】 9 【题型五 等边三角形中的最值问题】 12 【题型六 等边三角形中的多结论问题】 15 【题型七 根据等边三角形的性质求面积】 21 【题型八 等边三角形的性质与判定的综合应用】 24 知识点 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型一 根据等边三角形的性质求长度】 例题：（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．等边中，各边相等，且各角都为，由是边的中点，在和中，分别利用直角三角形的性质，可求得长度，则题目可解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形． 根据等边三角形的性质可得,再根据得，根据含的直角三角形三边关系可计算出然后再利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，过点作于，由等边三角形的性质并结合题意可得，，平分，平分，求出可得，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵， ∴，即点O到的距离为    ， 故答案为：． 【题型二 根据等边三角形的性质求角度】 例题：（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 【题型三 根据等边三角形的性质证明】 例题：（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点P，于Q．求证：①；②． 【答案】①见解析；②见解析 【分析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力． （1）由已知可得是等边三角形，从而得到，即可判定； （2）根据全等三角形的性质可得到，再根据等角的性质即可求得，再根据余角的性质得到，根据在直角三角形中的角对的边是斜边的一半即可证得结果． 【详解】证明：①∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 根据等边三角形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可得出结论． 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【题型四 证明是等边三角形】 例题：（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法，全等三角形的判定方法：． （1）由，得到，添加即可证明； （2）由全等三角形的性质推出，得到，而，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：添加： 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，可得，由“”可证，即可证明； （2）证明，，由等边三角形的判定定理，即可判断的形状． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型五 等边三角形中的最值问题】 例题：（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半以及等边三角形的性质，是解题的关键． 根据题意，，分类讨论，当时，，；当时，，．两种情况即可求解． 【详解】解：根据题意，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ， 是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上所述，的值为1或2． 故答案为：1或2． 【题型六 等边三角形中的多结论问题】 例题：如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意证明出，得到，，然后结合折叠的性质得到，即可判断①；推出，证明出是等边三角形，即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；推出垂直平分线段，求出，得到，即可判断④；根据题意证明出，得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，，， ∴，故①正确； ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵将线段沿翻折得到线段 ∴垂直平分线段， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，故⑤正确， 在 ∴故①正确； ∴，即 ∵,， ∴故④正确 在中， ∴故②正确； ∴， 在中， ∴故③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 【答案】①②③⑤⑥ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、角平分线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得，，，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由可得，结合、可得到，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到，结合可知为等边三角形，因此，结合平行线的判定可判断②的正误；④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；即可得出结论． 根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误；根据题意无法证明与全等，据此可判断⑦的正误． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，结论③正确； 又， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 过点作于，于， ， ，， ， ， 平分， 故⑥正确，符合题意； ，，， 不能说明与全等， ， 故⑦错误，不符合题意 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤⑥． 故答案为：①②③⑤⑥． 【题型七 根据等边三角形的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是想到外围的两个三角形放在一起构成一个平行四边形． 、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形，求出平行四边形的面积，得到的面积的面积的面积，即可得到的面积． 【详解】 解：由题意，可知：， ∴、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形， 这样的平行四边形的面积个小等边三角形的面积的和， 的面积的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 【题型八 等边三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 【变式训练】 1．（2023八年级上·广东·竞赛）如图，在等边中，，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算出，根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，根据三角形内角和和平角定义得，进而证明，则． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等边三角形的性质，因为和均为等边三角形，由等边三角形的性质得到，，，再利用角与角之间的关系求得，则，故可求． 【详解】解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列判断中，不正确的是（   ） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质等知识．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：全等三角形的面积一定相等，故选项正确； 全等三角形的周长一定相等，故B选项正确； 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关，故C选项正确； 两个等边三角形，其三个角分别对应相等，都是，但对应边不一定相等， 两个等边三角形不一定全等，故D选项错误． 故选：D 3．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定．①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合，那么这个三角形是等腰三角形． 根据题中条件，结合图形可得共7个等腰三角形． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 5．（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：当或或或或时，是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形， ， ， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的是 ． ①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，灵活应用知识是解决问题的关键．根据等边三角形的性质推出，，，，求出，可证，推出，，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形性质得出，但，根据以上推出的结论即可得出答案． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ①正确；②正确； 与都是等边三角形， ，但根据已知不能推出， 错误， ③错误； 故答案为：①②． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得到，再利用等角的余角相等证得，然后利用等角对等边证得， 从而可得． 【详解】证明：是等边三角形，平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定与性质等知识，证明垂直平分是解题的关键． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】由线段中点的性质得出，进而可利用证明，得出，进而可证，再结合，即得出，即说明是等边三角形． 【详解】 证明：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形． 【点睛】 本题考查线段中点的性质，三角形全等的判定和性质，等角对等边，等边三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 13．（20-21八年级上·陕西汉中·期末）已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）根据有一个角是度的等腰三角形是等边三角形即可证明； （2）过点作，交于点，证明，得出可推出结果． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． 又， 是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ，，， 是等边三角形， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①见解析 ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明≌，得出，而有，就有，从而可以求出的值； （2）①过C作于G，于H，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，根据角平分线的定义得到是的平分线；②如图，在BF上截取，连接CM，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过C作于G，于H， ， ， ， ， ， ， ， 由知， ， 是的平分线； ②解：如图，在BF上截取，连接CM， 因，则是等边三角形， ， ， ，（等量减等量，差相等） ， ， ， ， ， ， 15．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 【答案】(1)见解析 (2)6，7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）证明，即可推出结论； （2）根据三角形外角的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质推出的长即可推出结果． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6，7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 等边三角形 目录 【题型一 根据等边三角形的性质求长度】 1 【题型二 根据等边三角形的性质求角度】 2 【题型三 根据等边三角形的性质证明】 3 【题型四 证明是等边三角形】 4 【题型五 等边三角形中的最值问题】 5 【题型六 等边三角形中的多结论问题】 6 【题型七 根据等边三角形的性质求面积】 7 【题型八 等边三角形的性质与判定的综合应用】 8 知识点 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型一 根据等边三角形的性质求长度】 例题：（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 【题型二 根据等边三角形的性质求角度】 例题：（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． 【题型三 根据等边三角形的性质证明】 例题：（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点P，于Q．求证：①；②． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 【题型四 证明是等边三角形】 例题：（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【题型五 等边三角形中的最值问题】 例题：（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 【题型六 等边三角形中的多结论问题】 例题：如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式训练】 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 【题型七 根据等边三角形的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【题型八 等边三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式训练】 1．（2023八年级上·广东·竞赛）如图，在等边中，，点在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知和均为等边三角形，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列判断中，不正确的是（   ） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 3．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 7．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的是 ． ①；②；③． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 13．（20-21八年级上·陕西汉中·期末）已知，D为等边的边上一点，E为直线上一点，． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，交于点P，若，，求的长． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 15．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $