专题08 等腰三角形（题型专练）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练

专题08 等腰三角形 目录 【题型一 等腰三角形的定义】 1 【题型二 等边对等角】 4 【题型三 三线合一】 5 【题型四 等角对等边】 7 【题型五 找出图中的等腰三角形】 10 【题型六 格点中画等腰三角形】 13 【题型七 证明三角形是等腰三角形】 16 【题型八 等腰三角形的性质与判定的综合应用】 18 知识点 等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型一 等腰三角形的定义】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)以点C为顶点的三角形是， (2)以为角的三角形是，， (3)以为边的三角形是，， (4)图中的直角三角形是，；等腰三角形是， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行求解即可； （3）根据三角形的相关定义进行求解即可； （4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形是，； （2）解：以为角的三角形是，，； （3）解：以为边的三角形是，，； （4）解：图中的直角三角形是，；等腰三角形是，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期末）已知等腰三角形的周长为24，且一边长为4，则腰长为（      ） A．4 B．20 C．10 D．4或10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，解本题的关键在分类讨论．分两种情况：当腰长为时和当底边长为时，根据三角形的周长公式，结合三角形的三边关系，即可得出答案． 【详解】解：当腰长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴底边长为， ∵， ∴不能构成三角形； 当底边长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴腰长为， ∵， ∴可以构成三角形， 综上，等腰三角形的腰长为． 故选：C． 2．（2023八年级上·广东中山·竞赛）若为等腰三角形，其中b，c满足，则的周长为（       ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断． 根据非负数的性质列出关于c、b的方程并求出c、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 若是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形； 若是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，，能组成三角形， ∴周长为． 故选：C． 【题型二 等边对等角】 例题：（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，是ABC的高，，且，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】∵是ABC的高， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 三线合一】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合求解即可． 【详解】解：如下图，根据题意，，是的平分线， 是边上的中线也是边上的高线， ，， ∴， ∴ 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 【题型四 等角对等边】 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）在中，的平分线相交于，过点且，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 【题型五 找出图中的等腰三角形】 例题：（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)和 (2)和 (3)等腰三角形有：和；等边三角形有： 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有和； （2）解：以为边的三角形有和； （3）解：∵， ∴等腰三角形有：和； 等边三角形有：． 【变式训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在四边形中，是对角线的中点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等腰三角形．见解析 (2)18 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定． （1）先得到都是以为斜边的直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到是等腰三角形； （2）根据作答即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ， 都是以为斜边的直角三角形． 是的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：， ∴ 的周长为． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由可得，即得，同理可得，即得到，再根据直角三角形的性质即可得到结论； 本题考查了直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，点是的中点， ， 同理可得，， ， 又∵点是的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ，点是的中点， ， ， 同理可得，， ∴， ， ， ∵点是的中点， ． 【题型六 格点中画等腰三角形】 例题：（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点C共有5个． 故答案为：5． 【题型七 证明三角形是等腰三角形】 例题：（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型八 等腰三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在的两侧分别交于点M，N，直线分别交于点D，E，连接，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 根据题意可知是的垂直平分线，证明是等腰三角形，由此即可一一判断． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，故A正确， ∴，是等腰三角形，故B正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故C正确， 无法证明，故选项D错误， 故选D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若，且，则边的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形，全等三角形，掌握折叠轴对称的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解决问题的关键． 过点作，根据直角三角形两锐角互余可得出三角形是等腰三角形，进而得出，由，得出，再根据，利用全等三角形的性质可得，，从而可求． 【详解】解：过点作于点， ， ， 由折叠得，，， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为． 2．（20-21八年级上·河北保定·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴， ∵，为边上的高， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选B． 4．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边以及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键．先根据作图确定直线是的垂直平分线，得出，进而得到，再利用等腰三角形两底角相等求出的度数，最后通过角的差求出的度数． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了绝对值非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 12．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 14．（20-21八年级上·广西钦州·期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【详解】（1）证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 15．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为的中点，与交于点，且． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由直角三角形的性质证出，根据全等三角形的判定定理，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而推出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 等腰三角形 目录 【题型一 等腰三角形的定义】 1 【题型二 等边对等角】 2 【题型三 三线合一】 3 【题型四 等角对等边】 4 【题型五 找出图中的等腰三角形】 4 【题型六 格点中画等腰三角形】 5 【题型七 证明三角形是等腰三角形】 6 【题型八 等腰三角形的性质与判定的综合应用】 7 知识点 等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型一 等腰三角形的定义】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为角的三角形； (3)写出以为边的三角形； (4)找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期末）已知等腰三角形的周长为24，且一边长为4，则腰长为（      ） A．4 B．20 C．10 D．4或10 2．（2023八年级上·广东中山·竞赛）若为等腰三角形，其中b，c满足，则的周长为（       ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 【题型二 等边对等角】 例题：（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，是ABC的高，，且，则 ． 【题型三 三线合一】 例题：（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型四 等角对等边】 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）在中，的平分线相交于，过点且，若，，则 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【题型五 找出图中的等腰三角形】 例题：（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【变式训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在四边形中，是对角线的中点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 2．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【题型六 格点中画等腰三角形】 例题：（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【题型七 证明三角形是等腰三角形】 例题：（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【题型八 等腰三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在的两侧分别交于点M，N，直线分别交于点D，E，连接，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若，且，则边的长度为 ． 2．（20-21八年级上·河北保定·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ． 10．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 14．（20-21八年级上·广西钦州·期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 15．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为的中点，与交于点，且． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $