专题07 角平分线的性质（题型专练）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练

专题07 角平分线的性质 目录 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 1 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 4 【题型三 利用角平分线的性质求角度】 7 【题型四 利用角平分线的性质求最值】 10 【题型五 利用角平分线的性质求证明】 12 【题型六 角平分线的判定】 15 【题型七 角平分线的应用】 18 【题型八 角平分线的判定与性质的综合】 20 知识点 角平分线 概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 例题：（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键；过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，从而得到，再根据高相等的两三角形，底边比等于面积比可得，进而求出，再根据中线的性质求出，即可得解； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H，     ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴， 故选：． 2．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，是中的平分线，于点E，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解题的关键．作于点，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于点，如图所示： 是中的平分线，于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 例题：（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分和，于D，且， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F， 、分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 【题型三 利用角平分线的性质求角度】 例题：（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 2．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，，点是的中点，平分，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，垂足为，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行线的判定与性质可得，最后证出，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型四 利用角平分线的性质求最值】 例题：（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作于P，此时的值最小， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是4， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于， ∵平分， ， 又 ∵点是射线上一个动点， ， ∴，最小值为3， 故答案为：3． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度． 【详解】解：过点作于点．如图， ， 的平分线交于点，， ， 点为上一动点， 的最小值为的长，即的最小值是2， 故答案为：2． 【题型五 利用角平分线的性质求证明】 例题：（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】考查了角平分线的性质和判定．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；如果一条射线是一个角的平分线， 那么在这条射线上任意取一点，过该点分别向角的两边作垂线，这两条垂线段的长度(即点到两边的距离)相等．欲证平分，可考虑证明点到两边距离相等，故过点作于点，于点，于点，证明即可． 【详解】解：证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴， 同理可证：， ∴ 又∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，证明，运用角平分线的性质得，则，再证明，即可作答． 【详解】解：分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌； 由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则 【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D， ，， 在和中， ， ≌ （2）解：，， ， 由得≌， ， 于点F，于点E，且， 点D在的平分线上， 平分， ， 的度数是 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 【题型六 角平分线的判定】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，F是内一点，过点F作于点A，于点B，连接AB．若，求证：OF平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理以及直角三角形全等的判定定理（HL）． 先根据已知条件证明两个直角三角形全等，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得到，进而由得到，即得，即可求证； （）过点作于点，于点，由全等三角形的性质得，进而可得，即得到平分，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，于点， ， ∴， ． ， ， ∴平分， ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 【详解】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 【题型七 角平分线的应用】 例题：（2023八年级上·广东汕头·竞赛）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 【题型八 角平分线的判定与性质的综合】 例题：（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 【答案】平分，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，再由角平分线的判定与性质解答即可． 【详解】解：平分，证明如下： ，， ，即， 是的中点， ， 平分，，， ， 平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点， ∴当时，的值最小，此时． ∵， ∴的最小值为． 故选：． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 3．（21-22八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．对各个选项进行验证从而得出最终答案，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 即平分， 故④正确； 所以正确的有四个， 故选：D． 二、填空题 6．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线，找出点到的距离的线段是解题的关键． 过点作，垂足为，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即点到的距离为3． 故答案为：3． 7．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理，过点D作于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再根据三角形的面积计算公式得出的面积． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分， 又∵， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的判定与性质．此题比较简单，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解． 【详解】解：∵，点P在上， ∴平分， ，， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，于点于点，．是上一点，于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键．先由判定是的平分线，再由角平分线的性质即可得到． 【详解】证明：∵， ∴是的平分线， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 14．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离即，再根据证明，从而得出； （2）设，则，再根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】 如图，与均为等腰直角三角形，，，，点在上，过点作，交的延长线于点． 【问题解决】 （1）如图1，与相等吗？为什么？ （2）如图1，若，求四边形的面积； 【问题拓展】 （3）如图2，过点作于点，若，求的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）50；（3）5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，能准确找出三角形全等的条件是解答本题的关键． （1）根据证明，得出，再结合平角的定义可得结论； （2）由全等三角形的性质得，可得四边形的面积，求出等腰直角三角形的面积即可； （3）证明是的角平分线，根据角平分线性质定理得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵与均为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）∵， ∴， ∴四边形的面积， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴四边形的面积为50； （3）∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 角平分线的性质 目录 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 1 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 2 【题型三 利用角平分线的性质求角度】 3 【题型四 利用角平分线的性质求最值】 4 【题型五 利用角平分线的性质求证明】 5 【题型六 角平分线的判定】 5 【题型七 角平分线的应用】 6 【题型八 角平分线的判定与性质的综合】 7 知识点 角平分线 概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 例题：（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，是中的平分线，于点E，，，，则 ． 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 例题：（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【题型三 利用角平分线的性质求角度】 例题：（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，，点是的中点，平分，，求的大小． 【题型四 利用角平分线的性质求最值】 例题：（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 【题型五 利用角平分线的性质求证明】 例题：（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【题型六 角平分线的判定】 例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，F是内一点，过点F作于点A，于点B，连接AB．若，求证：OF平分． 【变式训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【题型七 角平分线的应用】 例题：（2023八年级上·广东汕头·竞赛）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【题型八 角平分线的判定与性质的综合】 例题：（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 一、单选题 1．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．1 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（21-22八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ． 7．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，于点于点，．是上一点，于点于点．求证：． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 14．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】 如图，与均为等腰直角三角形，，，，点在上，过点作，交的延长线于点． 【问题解决】 （1）如图1，与相等吗？为什么？ （2）如图1，若，求四边形的面积； 【问题拓展】 （3）如图2，过点作于点，若，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $