第一章 三角形单元培优训练（题型专练）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练

第一章三角形单元培优训练 【苏科版】 班级 姓名 学号 分数 考试范围：第1章 三角形，共25题；考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.如图，CD,CE,CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是() A.AB=2BF B.∠ACE=∠ACB 2 C.AE=BE D.CD⊥AB 2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省 事的办法是() ② ③ A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 3.如图所示，D,E分别是ABC的边AC,BC的中点，则下列说法不正确的是() A.DE是△BCD的中线 B.BD是ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.∠C的对边是DE 4.在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求 在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的() A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三条垂直平分线的交点 5.若a、b、c是三角形的三边长，则化简a-b-c+b-a-c+c-b-a的结果为() A.a+b+c B.-3atb+c C.-a-b-c D.2a-b-c 6.如图，ABC的面积为28Ocm,AE=ED,BD=3DC,则图中四边形EDCF的面积等于（) E A.50 B.55 C.60 D.65 7.如图，点D为ABC的边BC上一点，连接AD,AC=AD,△ABD与△ACD的面积之比为AB:AC, 若∠BAC=60°，则∠C的度数为() D A.80° B.75° C.70° D.60° 8.如图，在△0AB和△0CD中，0A=0B,0C=0D,0A>0C,∠A0B=∠C0D=40°，连接AC,BD 交于点M,连接OM·下列结论：①AC=BD;②∠AMB=40°；③M0平分∠BMC,其中正确的结论有 () A.① B.①② C.②③ D.①②③ 9.在梯形ABCD中，AD∥BC,点P为对角线BD的中点，记SAPm=S,S,Pc=S,S形4BCD=S,则有() D S P S2 2 A.2S,+S2)>S B.2(S,+S2)<S C.2(S,+S2=S D.2S1+S2=S 10.如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4cm,AB=7cm,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于 点E,则EB的长是() E D A.3cm B.4cm C.5cm D.不能确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，AD是ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=2cm,AB=4cm, S.4Bc=7cm2,则AC的长为 F 12.如图，在△ABC中，MP,NQ分别垂直平分边AB,AC,交BC于点P,Q,如果BC=20,那么 △AP2的周长为」 M B 13.如图CM是ABC的中线，BC=8cm,若aBCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长 是 M 14.如图，AB=DE,∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DEF,可添加的一个条件是 D 15.如图，∠B0C=60°，A是B0延长线上的一点，0A=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度 移动，动点Q从点O出发沿0C以1cm/s的速度移动，如果点P,Q同时出发，用s表示移动的时间，那 么当t= 时，△POQ是等腰三角形. 0 -p 60° B 0 16.如图，在ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，∠CAD=30°，CD=6,则线段BF的长 度是 A F E D 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17.如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.求证：LBAD=LCDE. 18.如图，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,AE=CF,求证：△ABE≌△CDF, D E B 19.如图，在ABC中，AB=AC=AD,BE=CF,点E、F在边BC上. E F D (1)求证：ABE≌ACF; (2)若∠BAE=30°，求∠D的度数. 20.如图，ABC中，AB=AC=12cm,∠B=∠C,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上 以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，点Q的运动速度为vcm/s ,运动时间为t秒. D B (1)用含t的式子表示BP,CQ. (2)当△BPD与CQP全等时，求v的值. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21.如图，己知△ABC≌△DEF. B (1)写出AB与DE之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若AD=5,CF=3,求AC的长 6 22.如图，在ABC中，点D在BC边上，∠BAD=40°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作 EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=20°，连接DE· D (1)求证：DE平分∠ADC; (2)若AB=6,AD=5,CD=7,且S4CD=12,求△ABE的面积. 23.如图，己知等边ABC,点D、E是AB、BC上的动点，连结AE,CD相交于点O,∠COE=60°. D (1)求证：CD=AE; (2)连接DE,若AB=6,当BDE为直角三角形时，求AD的长度. 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24.如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC=BD,LCAB=-∠DBA,连接BC,AD交于点E. D E 图1 图2 (1)求证：AE=BE; (2)如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF, ①判断AC与BF的位置关系，并说明理由； ②若∠DAB=30°，AE=5,DE=3,求线段EF的长. 25.【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=8,AC=6,D是BC的中 点，求BC边上的中线AD的取值范围. D B D 图1 图2 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明 "ADC≌EDB"的推理过程. (1)试说明：ADC≌EDB. 解：延长AD到点E,使DE=AD, :D是BC的中点（己知）， CD=BD(中点定义)， 在△ADC和△EDB中， AD-ED ∠ADC=∠EDB CD=BD .ADC≌ EDB (2)探究得出AD的取值范围是 【问题解决】 (3)如图2，ABC中，∠B=90°，AB=3,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=6,且LADE=90°， 求AE的长。 9 第1章 三角形单元培优训练 【苏科版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第1章 三角形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 3．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中线，是的中线，故选项A，B正确，不符合题意； ∴，，故选项C正确，不符合题意； 在中，的对边是，在中，的对边是，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 5．若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 6．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 7．如图，点D为的边上一点，连接，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边对等角，三角形内角和定理． 作交于，作交于，根据与的面积之比为得到，即是的角平分线，进而根据等边对等角及三角形内角和定理计算即可． 【详解】如图，作交于，作交于， ∵与的面积之比为， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 8．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则①正确；设交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，则②正确；过点作于点，作于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， 由对顶角相等得：， ∴ ，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分，则结论③正确； 综上，正确的结论有①②③， 故选：D． 9．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 10．如图，在中，，，，平分交于点D，于点E，则的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交于点D，于点E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F， ∴． ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 13．如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 14．如图，，要使，可添加的一个条件是 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 由题意知，添加的条件为，可证．解题的关键在于确定判定三角形全等的条件． 【详解】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴． 故答案为：(答案不唯一)． 15．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 16．如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为12． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 18．如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 19．如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 20．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 【答案】(1)； (2)2或3 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，已知． (1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)4 【分析】此题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是关键． （1）根据平行线的判定和全等三角形的性质即可得到结论； （2）全等三角形的性质证明，根据线段的和差得到即可得到答案． 【详解】（1）解：． 理由：， ． （2） ， ，即 又， ， ． 22．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 23．如图，已知等边，点D、E是、上的动点，连结，相交于点O，． (1)求证：； (2)连接DE，若，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度是2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据等边三角形的性质证明，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵是等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时， ∵， ∴． 设∵， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②当时，，， 设， 同理可得， ． 综上可知：的长度是2或4． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图1，点是线段同侧两点，且，，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）利用证可得； （2）①根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明出； ②如图2，过F作于，连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过F作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵DE=3， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于第三边的平方．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 25．【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $