第一章 三角形 专题与 综合实践（基础作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册）

**基本信息** 以全等三角形类型化训练为基础，辅助线构造方法为核心，等腰三角形分类讨论为拓展，融合综合实践的系统化专项训练 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形基本类型|4类（平移/对称/一线三垂直/旋转）|按图形变换特征分类，提炼对应全等判定思路|从基础图形识别到动态变换（旋转），构建全等三角形认知体系| |辅助线构造|4类（连线/倍长中线/截取/作垂线）|针对不同条件的辅助线添加策略，如倍长中线构造SAS全等|基于全等判定条件（SSS/SAS等），通过辅助线补全条件，形成解题方法链| |等腰三角形分类讨论|5类（腰底/顶底角/形状/分割/动点）|多维度分类标准，如腰底不明确时分情况计算|从静态性质到动态问题（动点），培养分类讨论思维与几何直观| |综合实践|2个（折纸探究/将军饮马）|转化思想（对称点）解决最短路径问题，折纸验证几何性质|连接实际情境与数学原理，发展模型意识与推理能力|

第一章 三角形 专题与综合实践 专题 一、全等三角形的基本类型 1. 平移型 1.如图，.求证： (1) ； (2) . 2. 对称型 2.如图，在中，，射线平分，交于点，点在边的延长线上，，连接. (1) 求证：； (2) 若，求的度数. 3. 一线三垂直 3.已知，于点，是直线上的点，，连接. (1) 如图①，在的同侧，点在线段上，与的数量关系为________，位置关系为________； (2) 如图②，点在线段的延长线上，在的异侧，(1)中结论是否成立？请说明理由. 4.已知：Rt中，，，点是的中点，点是边上的一个动点. (1) 如图①，若点与点重合，连接，则与的位置关系是________； (2) 如图②，若点在线段上，过点作，交的延长线于点，过点作于点，则和这三条线段之间的数量关系是________； (3) 如图③，在(2)的条件下，若的延长线交的延长线于点，找出图中与相等的线段，并加以证明； (4) 如图④，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作直线于点，过点作上直线于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出在点的运动过程中，的最大值. 4. 旋转类型 5.如图，在和中，，连接. (1) 当点在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (2) 将图①中的绕点顺时针旋转(0°＜＜90°)，如图②，线段，有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由. 二、三角形全等证明中常见的辅助线 1. 连线构造全等 1.如图，在Rt中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点.求证：点在的平分线上. 2.已知，如图，平分，求证： 2. 倍长中线构造全等 3.如图，在中，为边上的中线.求证： 4.如图，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明. 3. 截取构造全等 5.如图，已知的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点求证： 6.如图，在中，，，分别平分，，求证： 4. 作垂线段构造全等 7.如图，，平分，把含角的三角尺的直角顶点放在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与相交于点与相等吗?请你给出证明. 8.如图，在中，平分，且求证： 三、等腰三角形分类讨论 1. 腰和底不明确时需讨论 1.等腰三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则周长为________cm. 2. 顶角与底角不明确时需讨论 2.已知等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于________. 3.已知是等腰三角形，若，则的度数为________. 3. 三角形形状不确定时需讨论 4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为________. 5.已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，则腰长为________. 4. 图形分割问题中的分类讨论 6.已知是等腰三角形，过的一个顶点的一条直线，把分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出各内角的度数.(写出所有的情况) 7.已知中，，过的顶点的直线将分割成两个等腰三角形，求的度数.(请画图分析) 5. 因动点引起的分类讨论 8.如图，在中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为________. 9.如图，在等腰三角形中，，为的中点，点在上，，若是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为顶角的等腰三角形时，的度数是________. 10.在中，，将一块足够大的三角尺)按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点在点的滑动过程中，可以是等腰三角形吗?若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角的大小. 11.在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒. (1) 如图①，若，求的值； (2) 如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动，连接，当为何值时，为等边三角形? 12.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角()，得到，连接，设交于点分别交于点. (1) 求证：； (2) 试用含的代数式表示； (3) 当等于多少度时，是等腰三角形？ 综合与实践 1.【数学探究】折纸是我国的传统文化，在折叠的过程中可以开发人类大脑智力，提高逻辑思维能力.数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折纸探究活动. (1) 探究一：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线，，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是________三角形. (2) 探究二：你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗？ 甲小组使用长方形纸片，操作如下：如图②，把长方形纸片的宽对折，然后展开，折痕记为，再将点翻折到上的点处，且使折痕过点，折痕与的交点为，再沿折叠，折痕与的交点为，则就是一个等边三角形. 请你说明这样做的道理.(说明：是的中点，说理时可直接使用) (3) 探究三：你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗？ 乙小组使用正方形纸片，操作如下：如图③，先把正方形纸片对折后再展开，折痕为；再将点翻折到上的点处，且使折痕过点；最后沿折叠，得到的就是一个等边三角形. 请你说明这样做的道理. 【迁移应用】折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法. 例如，在中，，怎样说明呢?小亮发现，利用折纸做一个轴对称变换，得到一对全等的三角形，从而可将问题解决. (4) 请画图并说明小亮的解题思路. 2.【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图①，将军从山脚下的点出发，到达河岸饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢? 【分析问题】 小亮：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的. 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图③，在直线上另取任意一点，连接，我只要说明即可.因为直线是点的对称轴，点在直线上，所以________，，所以________. 在中，因为，所以________，即最小. 请完善小亮的说明过程. 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的点，转化在直线的两侧，从而利用“________________”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决(在连接两点的线中，线段最短). 【解决问题】 如图④，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请画出最短路径. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第一章三角形专题与综合实践 专题 一、全等三角形的基本类型 1.平移型 1.如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证： (I)△ABC≌△i: (2)AB//DE. 答案： (1).BE=CF,..BE+CE=CF+EC, 即BC=EF」 在△ABC和△U中， AB=DE, AC=DF,∴.△ABC≌△(SSS) BC=EF, (2):△ABC≌△譬元， 1/32 ∴.∠B=∠g,∴.AB/DE 2.对称型 2.如图，在△ABC中，AC>AB,射线AD平分∠BAC,交BC于，点E,点F 在边AB的延长线上，AF=AC,连接EF (1)求证：△AEC≌△AEF: (2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数， 答案： (I)证明：：射线AD平分∠BAC,∴.∠CAE=∠FAE AC=AF, 在△AEC和△AEF中， ∠CAE=∠FAE,△AEC≌△AEF(SAS). AE=AE, (2),△AEC≌△AEF,.∠C=∠F. .∠AEB=∠CAE+∠C=50°，∴.∠FAE+∠F=50°， .∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°， .∴.∠BEF=80°. 2132 3.一线三垂直 3.已知∠ABC=90°，FA⊥AB于点A,D是直线AB上的，点， AD=BC,AF=BD,连接DC,DF,CF (I)如图①，AF,BC在AB的同侧，点D在线段AB上，DF与DC的数量关 系为 ,位置关系为： (2)如图②，点D在线段AB的延长线上，AF,BC在AB的异侧，(1)中结论 是否成立？请说明理由. 答案： (1)相等（或DF=DC) 垂直（或DP⊥DC) (②)成立，理由如下：.AF⊥AB,.∠DAF=90°， .∠ABC=90°，.∠CBD=90°，.∠DAF=∠CBD' 在△ADF与△BCD中， 3/32 AF=DB, ∠DAF=∠CBD,∴.△ADF≌△BCD(SAS), AD=BC, .∴.DF=CD,∠ADF=∠BCD,.'∠BCD+∠CDB=90° ∴.∠ADF+∠CDB=90°， 即∠CDF=90°，∴.CD⊥DF 4.已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,,点D是BC的中，点，点P是 BC边上的一个动，点. (I)如图①，若点P与点D重合，连接AP,则AP与BC的位置关系是 (②)如图②，若点P在线段BD上，过，点B作BE⊥AP,交AP的延长线于点E, 过，点C作CF⊥AP于点F,则CF,BE和EF这三条线段之间的数量关系是 (3)如图③，在(2)的条件下，若BE的延长线交AD的延长线于点M,找出图 中与CP相等的线段，并加以证明； (4)如图④，已知BC=4,AD=2,若点P从，点B出发沿着BC向点C运动， 4/32 过，点B作BE⊥直线AP于点E,过，点C作CF上直线AP于点F,设线段BE的长度 为d1,线段CF的长度为d2,试求出在点P的运动过程中，d1+d2的最大值。 ① ② 3 ④ 答案： (1)AP⊥BG (2)CF=BE+EF (3)CP=AM 证明：.BE⊥AP,CF⊥AP,∴.∠BEA=∠AFC, ∴.∠BAE+∠CAP=90°，∠ACF+∠CAP=90°， ∴.∠BAE=∠ACF .AB=AC,∴.△BAE≌△ACF,∴.AE=CF. 又易知∠BAD=∠ACD=45°， ∴.∠EAM=∠FCP ∠FCP=∠EAM, 在△CFP和△AEM中， CF=AE, ∠CFP=∠AEM, .∴.△CFP≌△AEM, .'CP=AM. 5/32 Sc×BC×AD=4, 由图形可知， 5APxE+APxCFAP+d) d 当AP⊥BC时，AP最小，则d+d2最大，此时AP=2, d+d,的最大值为24=4. 2 4.旋转类型 5.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， 连接BD,CE (I)当点D在AC上时，如图①，线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由； (2)将图①中的△ADE绕，点A顺时针旋转(0°<a<90),如图②，线段BD, CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由. 6/32 答案： (I)BD=CE,EC⊥BD 理由：如图①，延长BD交CE于点F AE=AD, 在△EAC和△DAB中， ∠EAC=∠DAB, AC=AB, .AEAC≌ADAB(SAS), ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, .∠AEC+ㄥACE=90° ∴.∠ABD+∠AEC=90°， .∠BFE=90,即EC⊥BD (2)BD=CE,EC⊥BD 理由：如图②，延长BD交CE于点F ,∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°， .∴.∠BAD=∠EAC, AD=AE, 在△DAB和△EAC中， ∠BAD=∠EAC, AB=AC, 7132 .△DAB≌△EAC(SAS), .∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE' .∠ABC+∠ACB=90°， ∴.∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°， .∠BFC=90,即EC⊥BD ② 二、三角形全等证明中常见的辅助线 1.连线构造全等 1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA, 过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：，点E在∠ABC的平分线上 答案：连接BE,如图： 8/32 E D B .ED⊥BC,∴.∠BDE=∠A=90°. 在Rt△ABE和Rt△DBE中， BE=BE, BA=BD, ∴.Rt△ABE≌Rt△DBE(HL), ∴.∠ABE=∠DBE, .点E在∠ABC的平分线上， 2.已知，如图，AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF平分∠BAE,求证： AF⊥CD. 答案：如图，连接AC,AD AB=AE, 在△ABC和△AED中， ∠B=∠E, BC=ED, 9/32 ,.△ABC≌△AED SAS, ∴.AC=AD,∠BAC=∠EAD. :AF平分∠BAE, ∴.∠BAF=∠EAF, .∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD, ∴.∠FAC=∠FAD AC=AD, 在△ACP和△ADF中， ∠FAC=∠FAD, AF=AF, ∴.△ACF≌△ADF SAS: ∴.∠AFC=∠AFD, .∠AFC+∠AFD=180, .∠AFC=90,即AF1CD 2.倍长中线构造全等 3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD D 答案：如图，延长AD至，点E,使DE=AD,连接CE 10/32 D AD为BC边上的中线， ∴.BD=CD 在△ABD和△ECD中， AD=DE, ∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ABD≌△ECD,∴.AB=EC. 在△ACE中， AC+EC>AE=2AD, .∴.AB+AC>2AD. 4.如图，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°， 试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明. 答案：EF=2AD 11/32 证明：如图，延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△MDB和△ADC中， BD=CD, ∠BDM=∠CDA, DM=AD, .△MDB≌△ADC(SAS), .∴.BM=AC,∠M=∠CAD,.∴.AC/BM, .∴.∠BAC+∠ABM=180°， ,∠BAE=∠FAC=90°， .∴.∠BAC+∠EAF=180°，∴.∠ABM=∠EAF AC=AF,.BM=AF AB=EA, 在△ABM和△EAF中， ∠ABM=∠EAF, BM=AF, ∴.△ABM≌△EAF SAS,.∴.AM=EF, AD=DM,..AM=2AD,..EF=2AD. 12/32 3.截取构造全等 5.如图，已知AD//BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,连 接CE并延长交AP于点D.求证：AD+BC=AB. 答案：如图，在AB上截取AF=AD,连接EF :AE平分∠PAB ∴.∠DAE=∠FAE. 在△DAE和△FAE中， AD=AF, ∠DAE=∠AE, AE=AE, .△DAE≌△FAE(SAS), ∴.∠AFE=∠ADE .AD/1BC,∴.∠ADE+∠C=180°. .∠AFE+∠EFB=180°，∴.∠EFB=∠C' :BE平分∠ABC,:∠EBF=∠EBC 13/32 ∠EFB=∠C, 在△BEF和△BEC中， ∠EBF=∠EBC, BE=BE, ∴.△BEF≌△BEC AAS,.BC=BF. AD=AF,..AD+BC=AF+BF=AB. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB, 求证：AC=AE+CD. 答案：如图，在AC上截取AF=AE,连接OF :AD平分∠BAC,.∠EAO=∠FAO, AE=AF, 在△AEO与△AFO中， ∠EAO=∠FAO, AO=AO, .△AEO≌△AFO|SAS,∴.∠AOE=∠AOF. :AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB, :∠ECA+∠DAC=克∠ACB+2∠BMC=∠ACB+∠BAC)=2180-∠B=60 则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°， 14/32 .∴.∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60, 则∠COF=60°，.∴.∠COD=∠COF, ∠COF=∠COD, 在△FOC与△DOC中， CO=CO, ∠FCO=∠DCO, .∴.△FOC≌△DOCASA,∴.DC=FC, AC=AF+FC,..AC=AE+CD 4.作垂线段构造全等 7.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB,把含30°角的三角尺的直角顶点放 在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点 E,F,PE与PF相等吗？请你给出证明. 答案：相等。 证明：如图，过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于，点N. 15/32 OC平分∠AOB: .∴.∠POM=∠PON, .PM⊥OB,PN⊥OA' .∴.∠PMO=∠PNO=90°， 在△POM和△PON中， ∠POM=∠PON, ∠PMO=∠PNO=90°， OP=OP, .△POM≌△PON (AAS), .'PM=PN, .:∠PMO=∠PNO=∠MON=90°， .∴.∠MPN=360°-3×90°=90°， .'∠MPN=∠EPF=90°，∴.∠MPF=∠NPE' ∠FPM=∠EPN, 在△PMF和△PNE中， PM=PN, ∠PMF=∠PNE=90°， 16/32 △PMF≌△PNE ASA),.PF=PE 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且BD=CD.求证：∠B=∠C. B D 答案：如图，过，点D作DE⊥AB于，点E,DF⊥AC于点F, D ∴.∠DEA=∠DFA=90°. :AD平分∠BAC ∴.∠BAD=∠CAD' :AD=AD,∠DEA=∠DFA' △ADE≌△ADF(AAS), DE=DF,又BD=CD, .Rt△DBE≌Rt△DCF(HL), 17/32 .∠B=∠C 三、等腰三角形分类讨论 1.腰和底不明确时需讨论 1.等腰三角形的两条边长分别为6cm和10cm,则周长为cm. 答案：26或22 2.顶角与底角不明确时需讨论 2.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于 答案：80°或50° 3.已知△ABC是等腰三角形，若∠A=20°，则∠B的度数为 答案：20°或80°或140° 3.三角形形状不确定时需讨论 4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其底角的度数为 18/32 答案：69°或21° 5.已知等腰三角形的周长为15cm,一腰上的中线把等腰三角形分成周长之 差为3cm的两个三角形，则腰长为 答案：4cm或6cm 4.图形分割问题中的分类讨论 6.已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶，点的一条直线，把△ABC 分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出△ABC各内 角的度数（写出所有的情况） 答案：一共有4种情况. ① ③ ④ 如图①，△ABC是等腰三角形，AB=AC,线段AD过顶，点A.根据题意，知 △ABD,△ACD是等腰三角形，且AD=BD,AD=CD, 19/32 那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C, 利用三角形内角和定理，可知 ∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， 解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∠BAC=90°. 如图②，AB=AC=CD,AD=BD, 设∠B=X,则∠BAD=∠ACB=X, ∴.∠ADC=2X,'AC=CD,∴.∠CAD=2x' ∠BAC=3x,x+3x+X=180°，解得x=36, .∴.∠B=∠C=36°，∠BAC=108° 如图③，AB=AC,AD=BD=BC, 设∠A=X,则∠ABD=X,∴.∠BDC=2X, .'BD=BC,AB=AC,.∴.∠ABC=∠ACB=2X' ∴.x+2x+2x=180°，∴.X=36, .∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 如图④，AB=AC,BC=CD,AD=BD 设∠A=x,则∠ABD=x, ∠BDC=∠DBC=2X' .∠ABC=∠C=3X,.x+3x+3x=180 20/32 x=180 7，.∠A=180 ，∠ABC=∠C=540 7 7.已知△ABC中，∠A=80°，过△ABC的顶，点B的直线将△ABC分割成两个 等腰三角形，求∠C的度数.（请画图分析） 答案：如图①，AB=BD=CD,∠A=80°， ∴.∠ADB=∠A=80°，∠DBC=∠C .∠ADB=∠DBC+∠C, ∠C=号∠ADB=40: 2 如图②，'AB=AD,CD=BD,∠A=80°， ∠ADB=∠ABD=80'-∠A=50,∠DBC=∠C, .∠ADB=∠DBC+∠C, 2C=ADB=25: 如图③，：'AD=BD=CD, ∴.∠A=∠DBA=80°， ∠C=∠DBC=180-2x80=10 2 综上所述，∠C的度数为40°或25°或10° 21/32 1 5.因动点引起的分类讨论 8.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射线BA上找一点D,使 △ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为一 答案：70°或40°或20° 9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠B=50°，D为BC的中，点，点E 在AB上，∠AED=70°，若P是等腰三角形ABC的腰上的一，点，则当△DEP是以 ∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是 答案：40°或100°或140° 10.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°，将一块足够大的三角尺 22/32 PMN∠M=90°，∠MPN=30)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三 角尺的直角边PM始终经过点C,并且与CB的夹角∠PCB=Q,斜边PN交AC于 ,点D.在点P的滑动过程中，△PCD可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理 由；若可以，请求出夹角的大小 答案：△PCD可以是等腰三角形 由题意知∠PCA=120°-a,∠CPD=30°. ①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形， ∠PCD=180.∠MPN2×180-301=75,即120-a=75,解得a=45: ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， ∠PCD=∠CPD=30°， 即120°-a=30°，解得a=90°： ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形， ∠PCD=180°-2×30°=120°， 即120°-c=120°，解得a=0°， 23/32 此时点P与点B重合，，点D与点A重合， 综上所述，当△PCD是等腰三角形时，Q的大小是45°或90°或0°」 11.在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点， 以每秒1个单位长度的速度从点A向，点B运动，设运动时间为t秒 (I)如图①，若BQ=6,PQ/1AC,求t的值： (②)如图②，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度 从点B经，点C向，点A运动，连接PQ,AQ,当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 答案： (1)'△ABC是等边三角形，PQ11AC, ∴.∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°， 又∠B=60°， .∴.∠B=∠BQP=∠BPQ △BPQ是等边三角形，BP=BQ 24/32 由题意可知，AP=t,则BP=9-t, ∴.9-t=6, 解得t=3' 故t的值为3. (2)①当点Q在边BC上时，∠BAQ<60, △APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时，如图， 若△APQ为等边三角形，则AP=AQ, 由题意可知，AP=t,BC+CQ=2t, .AQ=BC+AC-BC+CQ=9+9-2t=18-2t .18-2t=t,解得t=6 综上，当t=6时，△APQ为等边三角形. 12.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，将△ABC绕，点C逆时针旋 转x角(0°<a<90),得到△A1B,C,连接BB,设CB1交AB于点D,AB分别 交AB,AC于点E,F 25/32 (I)求证：△CBD≌△CA1F; (②)试用含C的代数式表示∠BBD: (3)当aα等于多少度时，△BBD是等腰三角形？ 答案： (I)证明：：AC=BC,.∠A=∠ABC :△ABC绕点c逆时针旋转a角0<a<90得到△A,B,C .∴.∠A1=∠A,A1C=AC=BC,∠ACA1=∠BCB1=a,.∴.∠A1=∠CBD ∠CBD=∠CA,F, 在△CBD与△CA1F中， BC=A C, BCD=∠A,CF, .∴.△CBD≌△CA1F(ASA) (2):在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， ∴.∠CAB=∠CBA=45°. 又由旋转的性质得到BC=BC, .∠CB,B=∠CBB,=180-a=90. 2 2 ∠BBD=∠CBB-∠CBA=9045=45-号 (6)(2)知∠CBB=∠CBB-180-a，∠BBD=45号 26/32 由题意知∠B1DB=45°+a ①若B1B=BD,则∠BDB=∠B1BD, 即45+a=45°.g a=0(舍)： ②：∠BBC=∠BBC>∠BBD, ∴BD>B,D,即BD≠B,D: ③若BB=BD,则∠BDB1=∠BBD, 即45+a=180-a,a=30 由①②③可知，当a=30°时，△BB1D为等腰三角形 综合与实践 1.【数学探究】折纸是我国的传统文化，在折叠的过程中可以开发人类大 脑智力，提高逻辑思维能力.数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折 纸探究活动 (I)探究一：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线，AB,将纸片沿 27/32 AB折叠，重叠的部分△ABC一定是 三角形 (②)探究二：你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗？ 甲小组使用长方形纸片，操作如下：如图②，把长方形纸片ABCD的宽对 折，然后展开，折痕记为EF,再将点D翻折到EF上的点M处，且使折痕过点A, 折痕与CD的交点为G,再沿GM折叠，折痕与AB的交点为H,则△AHG就是一 个等边三角形」 请你说明这样做的道理.（说明：M是GH的中，点，说理时可直接使用） (3)探究三：你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗？ 乙小组使用正方形纸片，操作如下：如图③，先把正方形纸片ABCD对折 后再展开，折痕为EF;再将点A翻折到EF上的点H处，且使折痕过，点B;最后 沿HC折叠，得到的△HBC就是一个等边三角形. 请你说明这样做的道理 【迁移应用】折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法： 例如，在△ABC中，AB>AC,怎样说明∠C>∠B呢？小亮发现，利用折纸 做一个轴对称变换，得到一对全等的三角形，从而可将问题解决： (4)请画图并说明小亮的解题思路. 28/32 D G E 、M H 答案： (1)等腰 (2)如图①，连接AM.在△AMG和△AMH中，AM =AM,∠AMG=∠AMH=90°，MG=MH' 所以△AMG≌△AMH SAS, 所以AG=AH,∠GAM=∠HAM 由折叠知∠DAG=∠GAM, 所以∠DAG=∠GAM=∠MAH. 所以∠GAH=60°，所以△AHG是一个等边三角形. (3)由折叠得BH=AB=BC, 由折叠得EF为BC的垂直平分线， 所以HC=BH,所以BH=HC=BC, 29/32 所以△HBC是等边三角形 (④)思路：如图②，把，点C翻折到AB上的点C处，折痕过，点A，,折痕与BC 交于点D G C C H ① ② 依据以上操作，可得△ACD≌△ACD, 所以∠ACD=∠C, 因为∠ACD>∠B,所以∠C>∠B. 2.【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽 火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题一将军饮马.如图①，将 军从山脚下的，点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才 能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：如图②，作点B关于直线I的对称，点B,连接AB与直线l交于点C, ,点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的. 30/32 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图③，在直线I上另取任意一点C,连接AC,BC,BC,我只 要说明AC+CB<AC+CB即可.因为直线l是，点B,B的对称轴，点C,C在直 线1上，所以CB= CB= 所以AC+CB=AC+CB= 在△ACB中，因为AB<AC+CB,所以<AC+CB,即 AC+CB最小 请完善小亮的说明过程， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的点A,B转化在直线的两 侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决 (在连接A,B两点的线中，线段AB最短). 【解决问题】 如图④，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然 后回到B处，请画出最短路径， 草地 ① ④ 31/32 答案： 【分析问题】CBCBABAC+CB两，点之间线段最短 【解决问题】如图，AC-CD-DB即为最短路径 草地 河 A' B 32/32