广东省深圳科学高中2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题

深圳科学高中2025-2026学年高二第一学期开学质量检测（数学答案) 1 2 3 5 6 8 9 10 11 A B 0 A BC AD BCD 12.（-m,-V2)U(V2,+0） 13.2 14.5 3 8.当xe(0,时，ox+∈匹 3(3,+ 由题意函数f(,=cos+3(o>0)在区间(0，)上恰好有3个零点， 则根据余居数的图象与性质如受<6+号=受，结合0>0解钓名。 19 65@s- 6 10对c由coC-可得mC-压 ,所以△ABC外接圆半径R=,c-8国 4 2sinC 15 对D由余弦定提得uoM-名，可行snM=小-csA- 8 ,则△ABC的面积 S=besinA=-)×3x4x5_35 1 1 2 2 84 设△ABC内切圆的半径为r,可得x(2+3+4:r=3下，解得r- 4 6 11.对于C,把三角形ABD与三角形B,CD置于同一平面内，连接AM, D 则AP+MP的最小值为AM, 在△ABM中，∠ABM=60+45°=105， AB =2V2,BM=1, B cos∠ABM=cos(60+45)=2-V6」 4 由余弦定理得AM 22+1P-2x2W2×1x5-6-+2万，C正确： 4 对于D,由正方体的性质知AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA⊥BD, 因为四边形ABCD为正方形，所以AC L BD, D AC∩AA=A,AC,AAC平面AA,C, 所以BD⊥平面AAC,ACC平面AAC, 所以BD⊥AC,同理可得BC⊥AC, G BC∩BD=B,BC,BDC平面BCD,故AC⊥平面BC,D;如图， 试卷第1页，共5页 取棱CD,DD,DA,AB,BB的中点分别为N,S,T,G,H, 连接MN,NS,ST,TG,GH,HM,可得六边形NMSTGH为正六边形， 而TGIIDB,TGa平面BC,D,DBC平面BCD,故TGII平面BC,D, 同理可证GH1/平面BC,D,TGOGH=G,TG,GHc平面NMSTGH, 故平面NMSTGH/平面BC,D,所以AC⊥平面NMSTGH, 即过点M且与A,C垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形NMSTGH,边长为√2， 其周长为6√2，所以点Q的轨迹为正六边形NMSTGH,则点Q的轨迹长度为6√2，D正确. 13.△ABC为圆锥的轴截面，其中BC=2,AB=AC=3,且点 M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O. 由于AM--下-2E,故5s2x25-25 设内切圆半径为I,则S△ABc=S△AOB+S△BOc+S△AOC B M =xABxr+xBC×r+)×AC×r=号×3+3+2)×r=25, 1 .1 1 2 2 解得r-5,其体积v=4=巨元 2 3 3 14.由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),则f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4， 可得f(x)的图象如图，方程3f(x)=x的解，即 v-f(x 为f(因)与y=背的交点横坐标， 1x8>2, 且当x>8时y=3X>3 由图可知两图象交点个数为5，即方程3f(x)=x的实数解的个数为5. 四、解答题 15.【答案】0 (2)a+c=V23 【详解】(1)因为在△ABC中，B∈(0，π)，(1分) cosB=4 3 则i血B=行(3分) 由sin2B=sin Asin C, 则、1 1 =cos Asin C+sin AcosC sin B sin B 5 .(6分) tan A tan C sin AsinC sin Asin C sin2B3 试卷第2页，共5页 （2)由题意cosB=号，ac=5,由余弦定理可得，csB=+c三-B,(9分) 4 2ac 由sin2B=sin Asin C得：b2=ac,(11分) 整理可得a+c2-5ac,即a+4-23。 ac=23,所以a+c=√23.(13分) 16.(1)取CD的中点E,连接PE、EM、EA. :△PCD为正三角形，PE⊥CD,(1分) 平面PCD⊥平面ABCD,.PE⊥平面ABCD .AM⊥PE（2分) ·:四边形ABCD是矩形 D .△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形 由勾股定理可求得：EM=√5，AM=√6，AE=3 .EM2+AM2=AE2 .AM⊥EM(3分)又PE∩EM=E(4分) .AM⊥平面PEM(5分)∴.AM⊥PM(6分) (2)由(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM :.∠PME是二面角P-AM-D的平面角(7分) tPME-PE M后1(9分) ∴∠PME=45°.二面角P-AM-D为45°(10分) (3)设D点到平面PAM的距离为d,连接DM,则 aw=,吉SwPE-吉awd(I2分) 而SAM=5AD-CD=2√2，(13分) 在RI-PEM中，由勾股定理可求得PM=6Spw=AM,PM=3, 25x5专3xd:d-2S,即点D到平面M的距离为 3 .(15分) 17.(1):函数f(x)=2+a2的定义域为x∈R,(1分) f(x)=2+a.2x,f(-x)=2+a.2.（2分) x,f(-x)+f(x)=0,x,(a+1)2+2)=0.(4分) .a=-1.(5分) 试卷第3页，共5页 (2)f(x)=2*+2*时，f(2x)=22+22r=(2+2)2-2 由题可得，(2+2)2-2-k(2+2)=3一(2+2)2-k(2+2)-5=0(8分) 令t=2+2,根据对勾函数的性质可知，2+2*∈ 即1e2月 (10分) 则有t2-kt-5=0→k=t- .(12分) 令80=1在2受上单润选馆，80e引 11 -sks- .15分) 18.(1)由频率分布直方图可得物理测试成绩在[50,60)的频率为 频率组距 f=1-10×(0.01+0.015+0.03+0.025+0.005)=0.15,(2分) 0.030 0.025 频数为1800x0.15=270,(3分) 0.020 0.015 所以1800名学生中物理测试成绩在[50,60)内的频数为270， 0.010 0.005 补全频率分布直方图如图所示.(4分) 0'405060708090100分数/分 (2)易得前两段频率之和为0.25<0.3，前三段频率之和0.4>0.3，则有a∈60,70)(5分) 满足(a-60)×0.015=0.3-0.25=0.05,所以a≈63.3（分）(8分) (3)成绩在[60,70)的为270人，元= 1是5，成绒在[080)的为540人，)40 270台 y, 所@的学车成的平约阳为：〔'孕) x+2) (10分) 由方差公式知，270-觉(g-.540-觉（-，所以该班成绩的方差为： 而x-+8x-列84-+x-旷+-+- 矿++2习-列-可 540 +2(5-)∑(y-川 -3id2n0+5an+270(-af+5a0(-j） ++--- 9 3 所以G的最大值为智17分) 试卷第4页，共5页 19.(1)在直三棱柱ABC-AB,C,中，设点A到平面ABC的距离为h, 3 解得h=√2，所以点A到平面ABC的距离为√2：(4分) (2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA=AB,所以AE⊥AB, 又平面ABC⊥平面ABB,A,平面ABC⌒平面ABB,A=AB, 且AEc平面ABB,A,所以AE⊥平面ABC,(6分) 在直三棱柱ABC-AB,C中，BB⊥平面ABC, 由BCC平面ABC,BCC平面ABC可得AE⊥BC,BB,⊥BC, 又AE,BBC平面ABBA且相交，所以BC⊥平面ABB,A,(8分) 所以BC,BA,BB,两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由(1)得AE=√2，所以AA=AB=2,AB=2W2,所以 BC=2, B D 则A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点 D(1,1,1) 则BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0),(9分) 设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z),则 m.BD=x+y+=0 mBA=2y=0 可取m=(1,0,-1),(12分) 设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c),则 n:D=a+b+c=0,可取n=(0,1-1),(15分) nBC=2a=0 m.n 则o(m丽2x万2,16分) 所以二面角A-BD-C的正弦值 (17分) 试卷第5页，共5页深圳科学高中2025-2026学年高二第一学期开学质量检测（数学） 命题人：李博 审题人：姚俊杰 一、单选题(40分) 1.已知复数z=(1-)1-2),其中i是虚数单位，则z的虚部为 A.-3 B.3 C.-3i D.3i 2.函数f(x)=ln(2x)-二的一个零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，其中OA'=3,OB=4,则△OAB的周长 是 A.10+4W13 B.10+213 C.35 D.12 B 4.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐 部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m 的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为 A.30 B.25 C.40 D.35 5.己知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为√2的正三角形， PA,PB,PC两两垂直，则球O的体积为 A.r B.√π C.3π D.4W3π 6.已知△ABC中，A= 3’ AB=2,若满足上述条件的三角形有两个，则BC的范围是 A.(W5,2 B.（5,2 C.（2,+o) D.（5,+∞) 7.已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且CE=2EB,点P是边DC上 的一点，则AP.EP的最小值为 B.17 C. 15 17 8 4 D. 8.已知函数f(x)=cos⊙x+二(o>O)在区间(0，上恰好有3个零点，则w的取值范围是 68)2 1319 319 6'6 6 试卷第1页，共4页 二、多选题(18分） 9.对于函数f)=sin2x和g()=sin2x-孕，下列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=3,c=4,下面说法正 确的是 A.sinA:sinB:sinC=2:3:4 B.△ABC是锐角三角形 C.△ABC的外接圆半径为165 15 D.△ABC的内切圆半径为 6 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D中，M为BC的中点，P为线段B,D,上动 D 点（包括端点），则下列说法中正确的是 C A.存在P点使得MP∥平面ADB B B.直线BM与平面BDD,B所成角正弦值为 10 D C.AP+MP的最小值为V7+2√3 B D.若点Q在正方体ABCD-AB,CD,表面上运动（包含边界），且MQ⊥AC,则点Q 的轨迹长度为62 三、填空题(15分) 12.若关于x的方程sinx-cosx=k无解，则实数k的取值范围是 13.己知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 2cos-x,-1<x≤1 14.己知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)= 2 则方程3f(x)=x 1-x-2,1<x≤3 的实数解的个数为一. 四、解答题(77分) 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2B=sin AsinC, 且oR专 )求1+ 的值： tan A tan C (2)若ac=5,求a+c的值. 试卷第2页，共4页 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,且△PCD是边长为2 的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC=2√2，M为BC的中点. (1)证明：AM⊥PM; (2)求二面角P-AM-D的大小： (3)求点D到平面APM的距离. D 17.(15分)已知函数f(x)=2+a·2"(a为常数，a∈R). (1)当a取何值时函数f(x)为奇函数： (2)当a=1时，若方程f(2x)-k·f(x)=3在x∈[0,1)上有实根，求实数k的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.（17分)某学校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测 试成绩（满分100分）按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，90,100]分成6组，制 成如图所示的频率分布直方图 频率组距 0.030-- 0.025- 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数/分 (1)求1800名学生中物理测试成绩在[50,60)内的频数并补全频率分布直方图； (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高 一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求4的估计值（结果精确到0.1）： (3)已知落在[60,70)的学生成绩的平均数为x,方差s2=4,落在[70,80)的学生成绩的平均 数为下，方差s=6,若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在[60,80)的学生成绩的 方差52的最大值. 19.(17分)如图，直三棱柱ABC-AB,C的体积为4，△ABC的面积为2√2. (1)求A到平面ABC的距离； (2)设D为AC的中点，AA=AB,平面ABC⊥平面ABBA, 求二面角A-BD-C的正弦值. 试卷第4页，共4页