第2章解直角三角形巩固训练2025-2026学年青岛版数学九年级上册

第2章解直角三角形巩固训练2025-2026学年 青岛版九年级上册 一、选择题 1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（ ） A． B． C． D．以上都不对 2. cos 60°的值等于(　　) A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sin B=,则AB等于(　　) A.15 B.12 C.9 D.6 4．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：�①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（ ）21cnjy.com A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如果∠A为锐角,cos A=,那么(　　) A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　) A. B. C. D．1 7. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75° 8.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为(　　)21·世纪*教育网 A.12 B.12 C.24 D.54 9．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　） A．8米 B．米 C．米 D．米 10.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )21cnjy.com A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)www-2-1-cnjy-com 二、填空题 11.在中，，，，则的值为 ． 12．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为______． 13.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为________.  14.在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是____cm2. 15．如图1所示，在离地面高度为5m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，�则拉线AC的长为_____m（用α的三角函数表示）． 16.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 三、解答题 17.计算：． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长. 19.如图，在每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和，点、、、都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出一个以线段为边的正方形，所画的正方形的各顶点必须在小正方形的顶点上． (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且． (3)在（1），（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 20.如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米,参考数据:≈1.4,≈1.7) 21.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处. (1)求该轮船航行的速度(结果保留根号); (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由. 【答案】 一、选择题 1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 2. cos 60°的值等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sin B=,则AB等于(　　) A.15 B.12 C.9 D.6 【答案】A 4．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：�①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（ ）21cnjy.com A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 5.如果∠A为锐角,cos A=,那么(　　) A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° 【答案】D 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　C　) A. B. C. D．1 【答案】C 7. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 8.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为(　　)21·世纪*教育网 A.12 B.12 C.24 D.54 【答案】C 9．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　） A．8米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 10.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )21cnjy.com A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)www-2-1-cnjy-com 【答案】D 二、填空题 11.在中，，，，则的值为 ． 【答案】 12．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为______． 【答案】 13.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为________.  【答案】24 14.在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是____cm2. 【答案】60 15．如图1所示，在离地面高度为5m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，�则拉线AC的长为_____m（用α的三角函数表示）． 【答案】 16.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 【答案】７米 三、解答题 17.计算：． 【答案】 【详解】原式 ． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长. 解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, ∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=, ∴=. ∴AB=10. ∴AC==8. ∴AD=AC-CD=8-6=2. 19.如图，在每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和，点、、、都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出一个以线段为边的正方形，所画的正方形的各顶点必须在小正方形的顶点上． (2)在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且． (3)在（1），（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：正方形如图所示， （2）以为腰画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上， 如图所示，,． （3）连接如图， 20.如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米,参考数据:≈1.4,≈1.7) 解:在Rt△ADB中,tan 60°=, ∴DB==41. CF=DB-FB+CD=41+30. ∵∠α=45°, ∴EF=CF=41+30≈100. 答:点E离地面的高度EF约为100米. 21.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处. (1)求该轮船航行的速度(结果保留根号); (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由. 解:(1)如图,∵∠1=30°,∠2=60°,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形. ∵AB=40 km,AC=8 km,∴BC===16(km). ∴航行速度为×60=12(km/h). (2)轮船能正好行至码头MN靠岸.理由如下:如图,作BR⊥l于R,作CS⊥l于S,延长BC交l于T.21cnjy.com ∵∠2=60°,∴∠4=90°-60°=30°. ∵AC=8km,∴CS=8sin 30°=4(km). AS=8cos 30°=8×=12(km). ∵∠1=30°,∴∠3=90°-30°=60°. ∵AB=40 km,∴BR=40·sin 60°=20(km). AR=40×cos 60°=40×=20(km). 易得,△STC∽△RTB, ∴=,=, 解得:ST=8 km. ∴AT=12+8=20(km). 又∵AM=19.5 km,MN=1 km,∴AN=20.5 km, ∵19.5<AT<20.5, ∴轮船能够正好行至码头MN靠岸. 学科网（北京）股份有限公司 $