湖北省武汉市第六中学2025届高三下学期临门一脚数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一脚 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷船规范答题端正考风严集舞鲽★ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1.设集合A={xlog,(x-2)<,B={xy=V4-x,则() A.A=B B.A∈B C.BCA D.A∩B=O 2已知：=则月（) A.1 B.√2 C.2 D.4 3.根据深度求索(DeepSeek)的技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%.截至2025年，其算力已 提升至2250 PetaFL0PS,并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破 7500 PetaFL0PS?（)(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699) A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年 4.已知a,B∈R,则“cos2au=cos2B”是“B=(-1)a+m(k∈Z)”的（ A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知数列{a}满足：a=2,a+1=2a.-1,neN，且b,=log2(a,-1),则数列b}的前100项和为 ()A.4050 B.4950 C.5050 D.4450 6.已知风，乃是双曲线：若若1(a>0,60)的左，右焦点，点M在E上，且奶重直 轴，若tan∠FM=2W2,则E的离心率为() A.√2 B.2 C.5 D.2 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3-8,则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为 （）A.[-2,2] B.(-m,-2]U[1,2]C.[-2,0]U[1,2] D.[-2,1]U[2,+∞) 8.从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为 试卷第1页 9克的方法总数为m,下列各式的展开式中x’的系数为m的选项是() A.(1+x)1+x2)1+x2）(1+x） B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x) c.(1+x)(1+x2)(1+x）'(1+)21+xo)月 D.（1+x)(1+x+x2）(1+x+x2+x2)2…1+x+x2++0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分) 9已知抛物线cy-x,其焦点为双由线G若若a60)的岗心率为、5，其左、右焦点分 别为，F,已知C,C2在第一象限存在公共点P,则下列说法正确的是() A.曲线C的焦点坐标为(0，) B.曲线C,的渐近线为y=±2x C.存在C,使得P点的横坐标为10 D.若以PF。为直径的圆与x轴相切于点(2,0)，则a=2√5 10,在一个有限样本空间中，事件AB,C发生的概率满足PA)=P(B)=P(C)-},P(AUB)-),A与C 互斥，测下列说法正确的是() A.P(4C)-号B.A与B相互独立C.PBc)=司 D.P(AUBUC)≤号 11.己知函数f(x)=ln(4-x)-nr+ar,当且仅当1<x<3时，导函数f'(x)>0成立，则下列说法正确的 是() Aa= B.re)f2<居c.fe-+fa>D.别 =5400 507 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a,b的夹角为；且d=2,五=(，1)，则a在b上投影向量的坐标为 13.已知函数y=√3sim(ox+p)+1(o>0)的部分图象如图所示，若A,B,C,D四点在同一个圆上，则 试卷第2页 14.如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球 与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中 水的体积为 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan'C=1-cosB 1+cosB (1)证明：B=2C; 2)若b+c=a,求cosC 16.如图，在四棱台ABCD-AB,CD中，底面为矩形，平面A4DD⊥平面CCD,D,且 CC.-CD-DD-CD-1. (1)证明：ADL平面CC,DD; A B - (2)若4C与平面CCBD所成角为行，求二面角C-4-D的 余弦值 B 17.已知函数f(x)=xe-nx-x-1. (1)已知f(x)的导函数为f'(x),证明：f'(x)=0有唯一实数解. 2)若函数8=e，%cQ+),3∈R,)18(k),求m的取值范国。 试卷第3页 18.已知椭圆C的离心率为3，左、右焦点分别为E(-1,0),F(1,0) (1)求C的方程； (2)已知点M(-1,4),证明：线段F,M,的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点： (3)是否存在坐标平面上定圆D(M是定圆D上的动点)使得线段FM的垂直平分线与椭圆C恰 有一个公共点T,若存在，证明M、T、E三点共线：若不存在，说明理由. 19.不透明的口袋中装有编号分别为1,2，，n(n≥2，n∈N)的n个小球，小球除编号外完全相同.现 从中有放回地任取r次，每次取1个球，记取出的”个球的最小编号为随机变量X. (1)若n=3,r=2,求P(X=2)和P(X=1); (2)若n=4,r=m,且E(X)≤2，求m的最小值； (3)若r=,求证：n≥2且neN,E(x)>1+”- 22 试卷第4页答案 1.B2.A3.C4.B5.B6.A7.C8.C9.BD10.ABD11.ABD 12(,写13号14.72m 15.(1)由己知得tan2C+tam2C.cosB=1-cosB, .cosB=1-tan'C cos'C-sin'C =cos2C,又B,Ce(0,),且B+C∈(0，兀)，∴.B=2C: 1+tan2C cos2 C+sin2C (2)由正弦定理可得c=b sn2BsnB’2 sin BcosBsinB,化简得cosB= b 因为cosB=+c2-b_a+c+b)6-b)d+3a 2ac 人2’2一b) 2ac 2ac 2c 66m议以+6cc,Hcb, 2c 2c 2c 2b 部钓后-行片合去，故a8=元-名 16.(1)如图，在梯形CCDD中，因为CC=CD=DD=CD=1, 作DHL DC于H,则D,H=),所以co∠DDH=?,所以∠DDC=?,连结DG,由余 弦定理可求得DC=√5，因为DC+DD2=DC,所以DC⊥DD,因为平面AADD⊥平 面CCD,D且交于DD,所以DC1⊥平面AADD,因为ADC平面AADD,所以AD⊥DC, 因为AD⊥DC,DC∩DC=D,所以ADL平面CC,D,D: (2)连结AC,由(1)可知，AD⊥平面CCD,D,以D为坐标原点，建系如图所示，因 为AD⊥平面CC,DD,所以AC在平面CCD,D内的射影为D,C,所以AC与平面CCD,D 所成的角为∠ACD,即∠ACD-号在△4CD中，因为CD=5,所以4=3，则 n().cf .m 设平面AADD的法向量为m=(x,y=), 则有 mDD=0 v+ 即{2 mD4=0 +9-0.令y,则=0：-5，数m@3:设 2 3x=0 -3a+2b=0 平面AACC的法向量为n=(a,b,c),则有 iAC=0 n4c=0'即 31 -3a+-b+ c=0'令a=2, 2 则b-3,G=5,放i-(23,所以eos(m 6V3 2V3×44 ，由图可知，二 面角C-44-D锐二面角，故二面角C-A4-D的余弦值为 4 17))的定义装为Qm)f=a-小e1=+e-》 1 由x>0可知x+1>0,f'(y)=0等价于e-1-0.设函数h(x)=e-1 ,x>0,因为y=e, y=在(Q+)内单润遥增，所以在0)内单洞莲道因为)G-2<0, 0=6-10,所以4()在(Q+四)内存在准一安点=合校了=0有难一实数解 (2)由(1)知，当0<x<x时，(x)<0,即f(x)<0,f(x)单调递减， 当x>x时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)≥f(x)=e-lhx。-x。-1 因为”丈0，所以xe-1,=e”,e fx)=x。·1-血e。-。-1=0,即f()≥0.g'(x)=-1-u 令g'(x)=0,得x=m+1,令g'(x)>0,得x>m+1,令g(x)<0,得x<m+1, 所以8()≥g(m+1)=m-1-=-1 em+l 因为∈(0，+o),3x2∈R,f()-1≥g(x),所以f(x)mm-1≥8(x)m' 所以-1≥品解行m三-1，所以：的取位范时为，- 18.(1)因为椭圆左、右焦点分别为F(-1,0),F,(1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离 心率为；，得a=2,b=3,所以椭圆方程为+上=1。 43 (2)由M(-1,4),F(1,0)得直线MF,的斜率为k=-2,中点坐标为(0,2)， 1 所以线段F,M。的垂直平分线方程为y=一x+2,联立垂直平分线方程和椭圆方程 2 x2+y -=1 43,得x2+2x+1=0~△=4-4=0“所以直线与椭圆相切，且x=-1,y=3 y=2x+2 即线段F,M,的垂直平分线与C恰有一个公共点T(-1弓： (3)假设符合条件的圆D存在，由(2)知M(-1,4)在圆D上，由对称性知M(-1,-4) 也在圆D上，F,关于右顶点的对称点M,(3,0)也在圆D上 又过M(-1,4),M(-1,-4),M,(3,0)三点的圆的方程为(x+1)2+y2=16 下面证明此圆符合题目条件： 设M(3,6)在圆(+1)2+y=16上，c,+)+=16 当y。=0时，M的垂直平分线方程为x=-2或x=2与椭C圆相切，符合条件： 当，≠0时，PM的垂直平分线方程为y=--1x+。+8-】, 2y 设k=-。-1,b=+片-1 Yo 2y0 + 由4+3=1得(3+42)x2+8bx+4b2-12=0, y=hx+b △=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2) 4+362=4(y+3-(片-马=160-P-42)+12 2% 46 =160-x,)2-04-2x,)2+12(--2,+15)=0 4 ∴.MF,的垂直平分线与椭圆C相切 .满足条件的圆D存在，其方程为(x+1)2+y2=16 又由韦达定理得切点T的横坐标x,=一， 4b41-x) 3+4k2x。-7 T的纵坐标，=在，+b=,36=3小740-=，3)） 3+4h27-x…1x。-7’7-x 3y. 7-西一=3%，==k8 k三k所40-+L3x-3方t -7 .M,T,F三点共线 19.（1) rx---x--2- 321 (2) PX=)=PX≥k)-PX≥k+D=4-+-4-,k=23,4 =-(4-3)+2-(g-2)+3-(2-1r)+4.-0 4*+3+2+1++孕”+令 0+1侧=八g 在meN上单调 递减， /01r四)-名1/)品<l且对所有m≥3那有0m<1 故m的最小值为2. (3) PX=)=Px≥-PX≥k+D-0I-R+-I-k=12,n n 2=P(CX=)=-m-0m-)+2-(01-1-0m-2yr)++0m-)-2-1)+m-1] r+a-少+…+2+小1+分+分++ 设f(x)=x+1-x)”,x∈(0,1)，f"()=n(x-1-1-x)-1) 当r∈0，时，f)<0当x∈(，1)时，f()>0 -0-球≥-2 设w-分+日+…+“3)( M-,3+*+- 2M26m--2(等号不成立)M2 )>1+"-J 2