湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高三下学期临门一搏数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级临门一搏 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静规范答题端正考风严禁舞弊★ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项） 1.已知集合A={x0≤x≤2}，B={x2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为() A.{xr≤1或x>2 B.{r<0或l<x<2} C.{x1≤x<2} D.{xl<x≤2} 2.平面向量a=(m,2),b=（-2,4),若a/a-b),则m=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试， 数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为：】。 e2o,x∈R且P(70≤X≤110)=0.8， 0√2 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为() A.2000 B.3000 C.4000 D.5000 4若3ma+4oea-5,则ama =()A.-7 B.7 c D 5.已知a=243,b=log48,c=306,则() A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c 6已知R,上分别是椭圆C。+片@>>0的左，有熊点，P是椭圆C上一点.者 P:1BP到=3PF,则C的离心率为(）A.2 B. 3 7布数列和冲4=2，&=1，：=十为馆数，则的前20项和{) A.621 B.622 C.1133 D.1134 8.已知函数f(x)=x2-8x,且点P(x,y)满足f(x)+f(-y)≤32，f(y)≤0，若记点P构成的图形 为2，则2的面积是() A.64红-16N5 B.64+16N5 C.64π-16√3D.64π+16V3 3 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错得0分) 9.已知1,22互为共轭复数，则() A.子=号 B.5=2 C.1+z2∈R D.2∈R 10.已知函数f(x)=cos2x-sinx,则() A.f(x)是奇函数 Bf()最小的10个正零点之和为5 3 C.2π是f(x)的一个周期 D.f(x)在x=0处的切线方程为y=-x+1 11.如图，曲线y=√x下有一系列正三角形，设第n个正三角形2.-P2,（Oo为坐标原点)的边长为 a,则() A9=3 4 B.记Sn为{a}的前n项和，则Pn1为 1 Q s为数列Q的前”项和，则S心 D.数列{a}的前n项和为sn=n+n+ 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2芳”为-组从小到大排列的数1218910的第六十百分位数。则项式近+ 的展开式的常 数项是 13.在圆台OO,中，圆O2的半径是圆O半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面 积与球的表面积之比为 14、初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容 是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6=22+1+12+02.设 25=a2+b2+c2+d,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 (用数字作答) 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.如图所示，直线，2之间的距离为2，直线，之间的距离为1，且点A,B,C分别在1,2,3上运动， 3,令∠CAP=a ∠CAB-T 43 12 B A (1)判断△ABC能否为正三角形？若能，求出其边长的值；若不能，请说明理由： (2)求△ABC面积的最小值. 16.已知函数f(x)=h(x+1)+x2-x(a∈R) (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性：（2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围： 2+1=2. 17.记3为数列{a,}的前n项和，b,为数列s,}的前n项积，己知了+方 (1)证明：数列地}是等差数列：(2)求{a}的通项公式 18.近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁 的发生率，同时提高免疫力 (1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡.下表为 活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计， 月份() 1 2 3 睡眠质量显著改善人数(y) 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数(y)与月份变量(x)具有线性相关关系（月份变量x依次为1,2,3,4,5），请预测第 6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ (2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑 战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均 为片，若中挑战乙红，则下次桃战权在乙。若挑战权在乙组，则挑战中组、内的概率分洲为 若桃战权在内组，则挑战中红、乙组的桃率分圳为社 )经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望： (的定义：已知数列a},若对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N,使得当n>N,时， a,-A<e(A是一个确定的实数)，则称数列{a}为“聚点数列”，A称为数列{a}的聚点.经过次挑 战后，挑战权在甲组的概率为a,证明数列{a}为“聚点数列”，并求出聚点A的值. 附：回归方程=x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∑(x-x)y-）∑xy-四 6= j=1 a=y-bx - 19.如图，三棱锥A-BCD中，点B在平面ACD的射影H恰在CD上，M 为HC中点，∠BH=石，AB=2,S.m=Sn=1 (1)若CD⊥平面BAH,证明：M是CD的三等分点： (2)记D的轨迹为曲线W,判断W是什么曲线，并说明理由； A (3)求CD的最小值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A D B D A C BCD BCD AB 12.7 13.8 14.28 13 C 12 15.【详解】(1)过C作CD⊥I,过B作BE⊥I,垂足分别为D,E,如图， 由∠CMP=a,∠CiB-胥得0<a<,∠4E--a, 以 3 3 DA 在aACD中，AC=3 3 sina'在aABE中， AB= sin( 3 3 2 由VABC是正三角形，则AC=AB,即sia —,3sim(27-)）=2sina 3 35na,又sin2a+cosa=l,解得sina 1 3V3 整理得cosa= 2V方，所以4C:3=2v21 sina 3 (2白D知，84想4Cm子 135 1 32 sincsin()2 v3 -sinacosa+-sin 'a 2 2 而5 sinacosa+,snra=Ya 2 sin2a-1 4 0s2a+11 4 421 64 由0a答得名加名名则当加合子用a骨，马maao取品人位子所以e- 6 2 时，了©取得最小值35.42N5 23 2.1 17.（1)证明见解析：(2)4，= 1 n0m+1n≥2 【详解】(1)方法一1由己知S+方 受古2啊双染助0，友号 2b2b,26=b, 取n=1,由8=4得=，由于6，为数列5，}的前n项积，所以2b一2b,2b.-1 2-1 2b,2b三b,所以b1=6由于b1≠0所以2b—1b，即b-b.=5其中n∈ 所以2边-2h,-1“2边1-1 2 所以数列孤}是以与-为首项，以山为公差等差数列 [方法二]【最优解】： 由己知条件知b.=SS2·S,…Sn-1Sn①于是b-1=S·S2·S,…Sn-（n≥2).② 2+1=2, 0@相号-.@安+方 国由@8得6女，方令n=1,由8=6得4-号 所以数列，}是以为首项，为公差的等差数列， [方法三]： 2-2,得22且30.山0.81又因为6=999=86所以0号-5为 由sb, 所以b.-b1= 91781-m2).在员+6 2Sn-22Sn-22(Sn-1)2 在子+分=2中，当m-1时，4=S=多 故数列私是以为首项。}为公差的等差数列。 [方法四]：数学归纳法 由己知 212,得g2b S.b. 总4-子么=2，。-弓猎想数列0}是以为首项，为公差的等差数列， 1 且6，=”+1.下面用数学归纳法证明。当n=1时显然成立. 假改当a人时减立，购=宁+18品 那么当n=k+1时，b1=bS+1= 经+35*1 k+222 综上，猫想对任意的1N都成立。即数列私}是以为首项，；为公差的等差数列。 (2)由(1)可得，数列}是以4=为首项。以d=号为公差的等差数列， 成e-时1风-当a1叫4月子 3 3 当心2时A,=品-品日其”显然对于m1不成立 s1 1 (n(a+0）m≥2 16【详解】D由☏设f()=血(++，则f)-中+2x-12且x>1, x+1 当-1<-分()>0，即f八)在(1宁上单洞道增，当<0，了)0，即f()在（兮0上单调道 减，当x>0,f'(x)>0,即f(x)在(0，+w)上单调递增： (2)由题设r)=动+弧-1，令g-了儿.则g四=中少+2a. 对x≥0时，f()≥0恒成立，且f(0)=f"(0)=0,只需g'0)=-1+2a≥0，即a≥ 另一方面，a>时，g6国=+2a≥1中少y之0，所以&6)-f()在0+)上单湖透增，则 f)2f0=0,所以在0-0)上单洞谴增，则f)上0)=0，满足题设，综上，a (3)由(2)取a=5,在@+o)上f-n(x+1+号->0. 令=名eN,则n(层小是交，即2+0-n2 议收Dn先是+多++22油加*，得面 18.【详解11)解：元=1+2+3+4+5=3，万=280+250+200+160+110=200. 5 5 ∑xy=1×280+2×250+3×200+4×160+5×110=280+500+600+640+550=2570, 1= ②+2+3+f+5=55.6安网 2570-5x3x200_2570-3000-430=43, 55-5×32 55-45 10 à=-b=200-（←43)×3=200+129=329.所以回归直线方程为少=-43x+329,当x=6时， )=43×6+329=-258+329=71,即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人. (2)解：)X的可能取值为0,1,2 0合x-小-号好品 P(X=0)=5×2× 2442422424232 1111317 P(X=2)=片×元×+亏××， 24424232 所以X的分布列为： X 0 2 19 7 16 32 32 B(K)=0×3+1x19 +2x733 16 3 3232 ()第n次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为{b,},{cn},当n≥2时，a.+b.+cn=1 a,= 1 0-5a+②，②*国得：6+，=a+号0tc,@相：A+c1- 1 3 1 .1 1-风风：aa=…a号a多.其中40 .14 a争是以-为首现，子为公比的等比数列，所以a多（子双=子（字 3 41 由紧点数列的定义：弓一多（子一外子字，当→+o时，令1→0，所以，对于任意给定的正数c 177 (不论它多么小。总存在正整氨，使符当>心时，口引G,所以数列包)是聚点数列，且聚点A=号 19.【详解】(1)由于CD⊥平面BAH,作HG⊥AB,垂足为点G, 因为ABC平面BAH,则CD⊥AB, 又因为HG⊥AB,且GH∩MH=H,MH,GHc平面GMH, B 因此AB⊥平面GMH,因为GMC平面GMH,所以AB⊥GM, G 同理可证：AB LGD,-又因为Sw=S,可得AB-GM=AB-GD,所 以GM=GD,因为GH1面ABH,从而MD⊥GH, C 因此DH=MH=MC,进而M为DC的三等分点. A (2)椭圆，延长BA至K,使得AK=AB, 由于SABM=S△4BD=1,可得M,D到AB的距离为定值， 因此M,D应在以AK为高线的圆柱上运动，且上下底面与AK垂直， B 又因为M,D为平面ACD上两点，∠BAH=石， 从而M,D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， A 因而M,D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. (3)以A为原点，HA所在直线为x轴，过A点与HB平行的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为r=1,故由图可知椭圆的短半轴长为1， 由aA,从面陋的长鞋七2平，进调方程2： s 6 又由BMh-吾B朗L平面4AcD,从而M=A8cs名5，即8.Q0, 由定义知H为椭圆的左焦点，设E的右焦点为F(V3,0,0),则FD=4-DH, 设∠DHA=6,在△DHF中，由余弦定理，可得HF2+HD2-2FH.DH cos0=FD2, 解得DH= 2-√3cos6,同理可得：MH= 1 1 2+√3c0s0 解法1白cD=2MH+Dm55cog◆cs0=x(-1,则因=55，可得f倒=5+645 4-3c0s201 4-3x21 (4-3x2)2 令了倒=0，解得5=46+65.飞-4W6+65(含去)，当 3 3 xe(-1,),f'(x)<0:当x∈(，1)，f'(x)>0,因此x为f()的 极小值点，可得f)≥f化，)=3+25 4 A 11 解法2：由MDH =4,原题等价于求2MH+DH的最小值， 4 当且仅当DH=V2H时等号成立，因此CD的最小值为3+5 4