第3章 实数（复习课件）数学浙教版2024七年级上册

单元复习课件 第三章 实数 浙教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1 . 理解实数的概念与分类，能准确区分有理数与无理数，掌握按“正负”和“有理/无理”的两种分类方式，体会实数系的整体联系；理解实数与数轴的一一对应关系。 3 . 运用实数知识解决实际问题，体会数形结合、分类讨论、转化与化归的数学思想，提升数学思维的灵活性与应用能力。 2 . 掌握平方根、算术平方根及立方根的核心性质，能判断其存在性并熟练进行开方运算；掌握实数运算规则，能准确进行含开方、乘方和四则的混合运算，发展运算能力。 单元学习目标 实 数 平方根 算数平方根 立方根 性质 实数与数轴 平方根 若=a（），则正数x叫做a的算数平方根，记为 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；0的算数平方根与平方根是零；负数没有算数平方根和平方根 定义 有关概念 分类 若，则x叫做a的立方根 实数 若=a，则x叫做a的平方根，记为 正的平方根 性质 开平方 求一个数a的平方根的运算叫开平方 开立方 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0 求一个数a的立方根的运算叫开立方 有限小数和无限循环小数 无限不循环小数无理数的和、差、积、商不一定是无理数 有理数 无理数 相反数、绝对值 运算 实数的运算性质、运算法则、运算律与有理数相同 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 数轴上的每一个点都表示一个实数 数形结合思想体现 单元知识图谱 考点一、实数的基本概念 （一）平方根 1．一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫作a的 ，也叫作a的 。一个正数a的正平方根用“”表示（读作“根号a”；a的负平方根用“-”表示（读作“负根号a”），一个正数的平方根就用表示（读作“正、负根号a”），a叫作 。 2．一个正数有 平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根。 3.求一个数的平方根的运算叫作 。开平方是平方运算的逆运算。 平方根 平方 二次方根 正、负两个 没有 相反数 开平方 0 被开方数 考点串讲 考点一、实数的基本概念 （二）算数平方根 1. 正数的正平方根称为 。 2. 0的算数平方根是 。 3. 一个数a（a）的算数平方根记作“”。 算数平方根 0 考点串讲 考点一、实数的基本概念 （三）立方根 1．一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫作a的 ，也叫作a的 。记作，其中a叫作 ，3是根指数，符号“”读作“三次根号”。 2．一个正数有 的立方根，一个负数有 的立方根；0的平方根是 。 3.求一个数的立方根的运算叫作 。开立方是立方运算的逆运算。 立方根 立方 三次方根 1个正 开立方 1个负 0 被开方数 考点串讲 考点一、实数的基本概念 （四）实数定义和分类 1．________与________统称实数． 2．像这种无限不循环小数叫作无理数 有理数 无理数 （1）按定义分： （2）按符号分： 考点串讲 考点二、实数的性质 （一）相反数 1．像与-，与这样的两个数，它们的________不同、数量________，我们称这两个数互为相反数． 2．数a的相反数是________，0的相反数是________． 3．互为相反数的两个数到原点的距离________． 符号 相等 -a 0 相等 考点串讲 考点二、实数的性质 （二）绝对值 1．一个数的_______大小叫作这个数的绝对值，如和-的绝对值都等于_______，0的绝对值等于_______．通常用|a|表示数a的绝对值． 2．一个数的绝对值就是这个数所对应点到原点的________． 3．一个数的绝对值与这个数的关系： 正数的绝对值是它________，负数的绝对值是它的________，0的绝对值是________． 4．一个数的绝对值是________数． 数量 0 距离 本身 相反数 0 非负 考点串讲 考点二、实数的性质 （三）倒数 1．乘积为 两个数互为倒数。若实数a，b互为倒数，则ab=1。 2. 非0实数a的倒数为， 没有倒数， 的倒数是本身。 1 0 1、-1 考点串讲 考点二、实数的性质 （四）实数的大小比较 1．正数________0，负数________0，正数________负数． 2．两个负数，绝对值大的反而________． 3. 在数轴上表示的两个实数， 的数总比 的数大。 4.求差法（两数相减），求商法（两数相除）。 5. 实数和数轴上的点一一对应。 大于 小于 大于 小 右边 左边 考点串讲 考点三、实数的运算 （一）加法运算 1．同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________． 2．异号两数相加，绝对值相等时和为________，绝对值不等时，取绝对值较大的数的________，并用较大的绝对值_______较小的绝对值． 3．一个数同0相加，仍得________． 4．加法运算律： 加法交换律：____________；加法结合律：____________ 相加 相同 0 符号 减去 这个数 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 考点串讲 考点三、实数的运算 （二）减法运算 1．减一个数，等于加上这个数的________，即a-b=a+________． 2．有理数的加减混合运算可以统一成________运算． 相反数 （-b） 加法 考点串讲 考点三、实数的运算 （三）乘法运算 1．两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值________． 2．任何数与0相乘，积仍为________． 3．如果两个有理数的乘积为1，那么这两个有理数互为________． 4．乘法运算律： 乘法交换律：______________ 乘法结合律：______________ 乘法对加法的分配律：______________ 正 负 相乘 0 倒数 ab=ba (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 考点串讲 考点三、实数的运算 （四）除法运算 1．两数相除，同号得____，异号得_____，并把绝对值________． 2．0除以任何非0的数都得________． 注意：________不能作除数． 3．除以一个数等于乘这个数的________，即a÷b=________（b≠0）． 正 负 相除 0 0 倒数 a× 考点串讲 考点三、实数的运算 （五）乘方运算 1．求n个相同因数a的________的运算叫乘方，记作，a是________，n是________，乘方的结果叫作________． 2．正数的任何次幂都是________，负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________，0的任何正整数次幂都是________． 3．一个数的偶次幂是________数． 积 底数 指数 幂 正数 负数 正数 0 非负 考点串讲 考点三、实数的运算 （六）混合运算顺序 先算_ _______，再算________，最后算________；如果有括号，先算________里面的． 乘方和开方 乘除 加减 括号 考点串讲 考点四、二次根式非负性 （一）二次根式双重非负性 1．形如（a0），有意义条件： 。 2. 双重非负性：； 3. 最简二次根式： （1）开方开不尽 （2）分母中不含根号 （3）被开方数不含分母 a 考点串讲 题型一、平方根、算数平方根、立方根 例1：（1）4的平方根是 ；4的算数平方根是 ；-1的立方根是 。 （2）若一个正数的两个平方根是2-3a和1-2a，则a的值为 ； 解：（1）因为所以4的平方根是2，即=； 因为，所以4的算数平方根是2，即=2； 因为，所以-1的立方根是-1，即=-1； （2）因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（2-3a）+（1-2a）=0，解得a=故答案为（1）2；-1（2）。 2 -1 题型剖析 题型一、平方根、算数平方根、立方根 一：注意区分算数平方根与平方根． 二：注意双重运算 ． 三：在求含参数平方根时注意有相等或互为相反数两种情况. 题型剖析 题型一、平方根、算数平方根、立方根 变式：(1)的平方根 ；= ；= . (2)已知2a-1与-a+2是正数m的平方根，则m的值是 . 解：(1)因为一个正数的算数平方根有一个立方根 =4，4的平方根为 因为一个正数有两个平方根，所以9的平方根为 16的负的平方根为-4. （2）因为2a-1与-a+2是正数m的平方根，所以2a-1与-a+2相等或互为相反数，所以2a-1=-a+2或（2a-1）+（-a+2）=0，解得a=1或a=-1. ①当a=1时，-a+2=1所以m==1； ②当a=-1时，-a+2=3所以m==9.综上m为1或9. 故答案为：；-4.（2）1或9 题型剖析 题型二、实数的性质 例2：1-的相反数 ；1-的绝对值 ；的倒数 。 解：因为，所以1-， 1-的相反数为-1, 1-的绝对值为-1； =1. 故答案为：-1；-1；． -1 -1 求一个数的相反数只需要在这个数前面加“-”号，再化简；负数的绝对值是它的相反数；不为0的两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数． 技巧点拨。。。。。 题型剖析 题型二、实数的性质 一要：明确相反数、绝对值、倒数的概念. 二要：要注意一个负数的绝对值是它的相反数，涉及含有开方开不尽的需要对正负进行判断，在进行求取． 题型剖析 题型二、实数的性质 变式：2-的绝对值是 ； ; 的相反数是 ； 解：因为2，所以，根据负数的绝对值是它的相反数， 2-的相反数是-（2-）=-2； 因为，所以-根据负数的绝对值是它的相反数， -的相反数是-（-）=-；的相反数为-. 故答案为：-2；-；- 题型剖析 题型三、无理数的概念 例3：下列各数：、、0.001、、中有几个无理数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 C 解：=4，4是有理数，不符合题意；，符合题意有限小数，是有理数，不符合题意；3是无限不循环小数，是无理数，符合题意；是开方开不尽的数，是无理数，符合题意。 故选：C． 题型剖析 题型三、无理数的概念 一要明确无理数概念． 概念：无限不循环小数． 二要注意常见类型． （1）开方开不尽的数，如 （2）化简后含有的数，如-1； （3）有规律但不循环的小数，如0.010010001... 题型剖析 题型三、无理数的概念 变式：下列说法错误的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．－和互为相反数 C．是无理数 D．任何无理数都可以用数轴上的点表示 A 解：A、正实数和负实数，零统称实数，故A不正确，符合题意； B、－和互为相反数，故B正确，不符合题意； C、2是无理数，故C正确，不符合题意； D、任何实数都可以用数轴上的点表示，故D正确，不符合题意； 故选：A． 题型剖析 题型四、非负数的性质 例4：已知+=0，则x+y= . 分析：利用算数平方根和绝对值的非负性解题即可求得答案． 解：因为=0， 所以x-1=0，y-2=0 所以x=1，y=2 所以x+y=3 故答：3． 3 题型剖析 题型四、非负数的性质 一要理解算数平方根的双重非负性． （1）被开方数大于等于0（2）结果的非负性 二要注意常见类型． 将偶次方和绝对值以及算数平方根进行结合混合考查，解题思路都是运用算数平方根、偶次方、绝对值的双重非负性++ 题型剖析 题型四、非负数的性质 变式：如果，那么是 . 36 分析：本题考查是偶次方的非负性，算数平方根的非负性，乘方的运算，根据两个非负数相加得0，则每个加数均为0，得到x-2=0；3x-y=0，求出x，y值，代入结论求解即可。 解：根据题意得x-2=0，3x-y=0 解得x=2，y=6 所以=36 故答：36． 题型剖析 题型五、利用平方根与立方根的定义解方程 例5：解方程： 125 （2）=8 分析：本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，根据平方根、立方根的意义求出未知数的值. 解： =8 =25 x+2=2 所以x=0 所以x=6或x=-4 答案：（1）x=6或x=-4 ；（2）x=4 题型剖析 题型五、利用平方根与立方根的定义解方程 解题技巧： （1）先将方程化为“”或者 “=”的标准形式，再根据平方根或者立方根的定义求解. （2）对于含完全平方或者完全立方的方程，先通过开平方转化为一次方程求解. 题型剖析 题型五、利用平方根与立方根的定义解方程 变式：解方程： 1 （2）=-27 解： =-27 =8+1 1-2x=-3 所以x=2 所以x=4或x=-2 题型剖析 题型六、平方根与立方根的综合 例6：已知3a+2的立方根是-1，2a+b-1的算术平方根是3,c满足 (1)求a,b,c的值； (2)求2b-4a-c的平方根． 解:（1）由题可得解得 因为c满足=0， 所以c-3=0， 所以c=3， 所以a=-1，b=12，c=3. 题型剖析 题型六、平方根与立方根的综合 例6：已知3a+2的立方根是-1，2a+b-1的算术平方根是3,c满足 (1)求a,b,c的值； (2)求2b-4a-c的平方根． 解:（2）解：由（1）得a=-1，b=12，c=3， 所以2b-4a-c= 因为25的平方根是， 所以2b-4a-c的平方根是. 题型剖析 题型六、平方根与立方根的综合 解题技巧： （1）先利用算数平方根、平方根、立方根定义列方程，将题目文字转化为方程，进而求未知数. （2）当题目涉及绝对值或者平方等具有非负性的条件时，利用非负性进行求解，再代入代数式计算. 题型剖析 题型六、平方根与立方根的综合 变式：已知2b-2的立方根是-2,4a+3b算数平方根是3 （1）求a，b的值 ；（2）求2a-b的平方根. 解：（1）因为2b-2的立方根是-2，4a+3b算数平方根是3 所以 解得，b=-3 （2）解：由（1）可得，b=-3 所以2a-b= 所以2a-b的平方根为= 题型剖析 题型七、实数与数轴及比较大小 例7：若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 . 0 1 2 A 解：设点A在数轴上表示的数为a，由数轴可得，1<a<2,,所以1<<2 。故答案为：（答案不唯一）. 题型剖析 题型七、实数与数轴及比较大小 实数大小比较的方法 1.借助数轴：画数轴时需明确三要素，确保数的位置准确，右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 2. 两个负数大小比较：先求绝对值，绝对值大的负数反而小． 3.差值比较法，商值比较法：大-小>0,反之小于0；反之小于1. 题型剖析 题型七、实数与数轴及比较大小 变式：比较大小：6 分析：本题主要查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则解答，即可求解．6=√36,√36<√37,6<√ 解： 故答：< < 题型剖析 题型八、实数的混合运算 例8：计算题： (1)(2)）． 解：（1）原式4+5-4=5； （2）原式） =1+（1）1=3． 题型剖析 题型八、实数的混合运算 实数混合运算要注意 1.严格遵循运算顺序，先乘方、开方，再乘除，最后加减。避免 “先加减后乘除” 的错误． 2.注意符号规则：乘方的符号、开方的符号、同号相乘（除）得正，异号得负；乘方运算中，负数的偶次幂为正，奇次幂为负． 题型剖析 题型八、实数的混合运算 变式：计算. (1)；(2) 解:(1)原式= 解： 题型剖析 1．下列说法中，正确的是（ ）. A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 C 解：A.实数分为正实数、负实数、0，不符合题意； B.无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不符合题意； C.无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，符合题意； D.带根号的有可以化简的，如=2,2是有理数，不符合题意。 故选：C． 针对训练 2．在-1.5，，2，，0.1中，无理数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 解：=4，无理数有三类形式: （1）开方开不尽的数，如 （2）化简后含有的数; （3）有规律但不循环的小数， 所以、是无理数． 故选B． 对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断 针对训练 3．在一条数轴上四个点A，B，C，D中的一个点表示实数，这个点是（    ） A. A B.B C.C D.D D 解：因为8， 所以， 所以点D表示， 故选D． 针对训练 4．位于相邻整数 和 之间. 6 解：因为 所以， 故答案为6、7． 7 针对训练 5. 计算： （1） （2）) 解：原式=16+2 =18 解：原式=3) = = 先乘方，再进行加减法运算 先开方，再算乘法，最后算减法 针对训练 6. 解方程： （1） （2） 解： 解： =9 或 针对训练 7．已知 x - 1 的算术平方根为 2，3x + y -1 的平方根 为 ±4，求 3x + 5y 的平方根. 解·：由题意，得 ， 解得 x = 5，y = 2. ∴ 3x + 5y = 25. ∴ 3x + 5y 的平方根为±5. 故答：3x + 5y 的平方根为±5. 针对训练 8．若 |a - 1| += 0，求 a + b的值. 解：因为 所以a-1=0，b-5=0 所以a=1，b=5 所以a+b=6 故答案：a+b的值为6。 针对训练 9．观察下图，每个小正方形的边长均为1. (1) 图中阴影部分(正方形)的面积是多少？ 他的边长是多少？ (2) 阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间？ 解：(1) 阴影部分的面积为- ， 它的边长为. (2) 因为 5 在 4 与 9 之间，所以在 2 与 3 之间. 即阴影部分的边长在 2 与 3 之间. 要确定阴影正方形的面积，可利用“大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积”这一思路。 针对训练 ✅ 知识构建：实数及其运算 实数概念→平方根、算数平方根、立方根→实数的运算→实数的比较大小 ✅ 思想方法： 类比、转化与化归、数学结合、分类讨论、类比迁移、非负性应用 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $