专题 第3章实数章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册 第3章：实数章末重点题型复习 题型一 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（2024春•浏阳市期末）下列各数中，没有平方根的是（　　） A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．23 【分析】根据平方根的性质进行解题即可． 【解答】解：A、2＞0有平方根，不符合题意； B、（﹣2）2＝4＞0有平方根，不符合题意； C、﹣22＝﹣4＜0没有平方根，符合题意； D、23＝8＞0有平方根，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，解题的关键是掌握负数没有平方根 2．（2024•单县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【分析】利用算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵4，4的算术平方根为2， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 3．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3； ②﹣m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方根的定义逐个判断即可． 【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误； 当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误； 正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误； 负数没有平方根，则④正确； 0的平方根等于本身，则⑤错误； 综上，正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】本题考查平方根，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 4．（2024春•商南县期末）下列说法正确的是（　　） A．4是的算术平方根 B．平方根等于它本身的数是0和1 C．9的平方根是±3 D．﹣4的平方根是±2 【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、2是的算术平方根，选项错误，不符合题意； B、平方根等于它本身的数只有0，选项错误，不符合题意； C、9的平方根是±3，正确，符合题意； D、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根． 6．求下列各数的平方根： （1） （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4） 【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果； （3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果； （4）先求出7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果． 【解答】解：（1）的平方根是±； （2）0.36的平方根是±0.6； （3）∵（﹣9）2＝81， ∴（﹣9）2的平方根是±9； （4）∵7， ∴的平方根是±． 【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键． 7．求下列各数的立方根： （1）﹣216； （2）； （3）﹣0.008； （4）106． 【分析】根据立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）﹣216的立方根为﹣6； （2）的立方根为； （3）﹣0.008的立方根为﹣0.2； （4）106的立方根为102＝100． 【点评】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 题型二 平方根、算术平方根、立方根的计算 1．（2024秋•金东区期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、9，故本选项错误； D、13，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，对各选项分别计算即可判断，是基础题，难度不大． 2．（2023秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（　　） A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6 【分析】依据平方根和立方根的定义求得这两个数，然后利用加法法则计算即可． 【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3， ﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握立方根和平方根的定义是关键． 3．（2024春•民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【分析】根据平方根的定义可得出关于m的方程，据此可求出m，进而可求出这个数． 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方根，熟知正数的平方根有两个，且它们互为相反数是解题的关键． 4．（2024春•鼓楼区校级月考）的值是 　 　． 【分析】利用平方根的含义计算即可． 【解答】解：， 故答案为：±7． 【点评】本题考查的是平方根的含义，熟练的求解正数的平方根是解本题的关键，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．（2024春•邵东市月考）的平方根是 　 ． 【分析】根据平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵， ∴的平方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 6．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 【分析】（1）根据题意可得4a+1＝32，b﹣5＝0，c+1＝0，再进行解题即可； （2）先将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 【解答】解：（1）∵4a+1的算术平方根是3， ∴4a+1＝32＝9， ∴a＝2， ∵b、c满足， ∴b﹣5＝0，c+1＝0， ∴b＝5，c＝﹣1； （2）由（1）可知a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴（a+b+c）2＝（2+5﹣1）2＝36， ∴36的平方根是±6． 【点评】本题考查算术平方根的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2024秋•碑林区校级期中）若x，y为实数，且满足，求的平方根． 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入进行计算，最后根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵， 又∵，|y3+1|≥0， ∴2x﹣1＝0，y3+1＝0， ∴x，y＝﹣1， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，正确求出x、y的值是解题的关键． 题型三 利用平方根或立方根解方程 1．求下列式子中的x： （1）25（x）2＝49； （2）（x+1）2＝32． 【分析】（1）根据平方根的概念解方程； （2）根据平方根的概念解方程． 【解答】解：（1）25（x）2＝49， （x）2， x±， x或x， 解得：x1＝2，x2； （2）（x+1）2＝32， （x+1）2＝32， （x+1）2＝32×2， （x+1）2＝64， x+1＝±8， x+1＝8或x+1＝﹣8， 解得：x1＝7，x2＝﹣9． 【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键． 2．求下列式子中的x的值： （1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0． （3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64． 【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案； （2）直接利用立方根的定义计算得出答案． （3）直接利用平方根的定义计算得出答案； （4）直接利用立方根的定义计算得出答案． 【解答】解： （1）18﹣2x2＝0， 则2x2＝18， 故x2＝9， 解得：x＝±3； （3）（x+1）3+27＝0， 则（x+1）3＝﹣27， x+1＝﹣3， 解得：x＝﹣4． （4）∵4（x﹣2）2＝49， ∴， ∴， ∴， ∴或． （2）∵（x﹣1）3＝64， ∴x﹣1＝4， ∴x＝5． 【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根、立方根，正确化简各数是解题关键． 3．（2023秋•驻马店期中）求下列各式中的x （1）（x+2）3+1＝0 （2）9（3x﹣2）2＝64． 【分析】（1）开立方根得出方程x+2＝﹣1，求出即可； （2）开平方得出方程3（3x﹣2）＝±8，求出即可． 【解答】解：（1）（x+2）3＝﹣1， x+2＝﹣1， 解得：x＝﹣3． （2）开平方得：3（3x﹣2）＝±8 解得：x1，x2． 【点评】本题考查了立方根和平方根的应用，关键是能得出一元一次方程． 4．（2023秋•凤城市期中）解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【分析】（1）利用开平方解方程； （2）利用立方根解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0， x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， x＝6或x＝﹣4； （2）， （2x+3）3＝64， 2x+3＝4， 2x＝1， ． 【点评】本题考查利用平方根、立方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 5．（2023秋•喀什市期中）求下列各式中x的值． （1）（x﹣3）2﹣4＝25； （2）27（x+1）3+8＝0． 【分析】（1）由原式得（x﹣3）2＝25，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式可得（x+1）3，根据立方根定义可得． 【解答】解：（1）移项得（x﹣3）2＝29， ∴x﹣3或x﹣3， ∴x＝3或x＝3． （2）移项整理得（x+1）3， ∴x+1， ∴x． 【点评】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 题型四 无理数的识别 1．（2023秋•西安期末）实数﹣3，0.1，，中，四个数中是无理数为（　　） A．﹣3 B．0.1 C． D． 【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．0.1是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数． 2．（2024秋•芗城区校级月考）下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，3是整数，属于有理数； 在实数，0，，，，，0.101001中，是无理数的有：，，，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数称为无理数是解题的关键． 3．下列语句正确的是（　　） A．3.78788788878888是无理数 B．无理数分正无理数、零、负无理数 C．无限小数不能化成分数 D．无限不循环小数是无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A、3.78788788878888是有限小数，是有理数，故选项错误； B、0是整数，是有理数，故选项错误； C、无限小数中的循环小数是分数，是有理数，无限不循环小数是无理数，不能写成分数，故选项错误； D、正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 4．（2023秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7，，，0.66666…，0，2，0.080080008…，其中是无理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：，0.080080008…是无理数， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．（2023春•邹城市期中）在实数：3.14159，，，4.，π，，有理数的个数是 　 　． 【分析】根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【解答】解：有理数有：3.14159，，4.，， 无理数有：，π， ∴有理数的个数是4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查对有理数、无理数的定义．正确理解无理数的定义是解题的关键，注意无理数包括三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：0.2020020002…（相邻两个2之间依次多1个0）；③含有π的数，如：﹣2π． 6．（2024春•墨竹工卡县校级期末）在下列实数①，②3.1415926，③，④﹣8，⑤，⑥1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），⑦π中，无理数有 　 　（填序号）． 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：①是分数，②是有限小数，④⑤是整数，它们不是无理数； ③⑥⑦是无限不循环小数，它们是无理数； 故答案为：③⑥⑦． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 题型五 实数的分类 1．（2024•龙沙区校级开学）下面7个数：，3.14，π﹣1，，，其中是有理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据有理数的定义判断即可． 【解答】解：有理数有：3.1416，3.14，，共3个， 故选：D． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•西湖区校级期中）在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 　 　；无理数有 　 　.（填写序号） 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 【解答】解：非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 【点评】本题考查实数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2023秋•中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）． （1）负数集合{ 　 　…}； （2）有理数集合{ 　 …}； （3）无理数集合{ 　 　…}． 【分析】负数、有理数、无理数的定义逐一判断即可． 【解答】解：，， （1）负数集合{①④⑥…}； （2）有理数集合{①③④⑤…}； （3）无理数集合{②⑥…}． 故答案为：①④⑥；①③④⑤；②⑥． 【点评】此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0． 4．（2023春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：，3.14，，﹣8，，0.6，0，，． 【分析】根据有理数的分类标准解决此题． 【解答】解： 【点评】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类标准是解决本题的关键． 5．（2024秋•十堰期中）将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112⋯，，﹣0.． 正数集合：{ 　 　…}； 有理数集合：{ 　 　…}； 负数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【分析】直接利用正数、有理数、负数、无理数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：正数集合：{8，，，…}； 有理数集合：{﹣2.5，0，8，，﹣0.，…}； 负数集合：{﹣2.5，﹣1.121121112⋯，﹣0.，…}； 无理数集合：{，﹣1.121121112⋯，…}． 故答案为：8，，；﹣2.5，0，8，，﹣0.；﹣2.5，﹣1.121121112⋯，﹣0.；，﹣1.121121112⋯． 【点评】此题主要考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题关键． 6．（2023秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：1、3.1415、、、、、﹣0.、、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解答】解：有理数集合：{3.1415、、﹣0.、、0、（﹣2）3、…}； 无理数集合：{1、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}； 正实数集合：{1、3.1415、、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}； 分数集合：{3.1415、、﹣0.、…}． 故答案为：3.1415、、﹣0.、、0、（﹣2）3；1、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；1、3.1415、、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；3.1415、、﹣0.． 【点评】此题主要考查了有理数、无理数及实数的定义，用到的知识点为：有理数和无理数统称实数；整数和分数统称有理数；无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键． 题型六 实数的相反数、倒数、绝对值 1．（2024春•江岸区校级月考）　 　，的相反数是 　 　，的绝对值是 　 　． 【分析】直接利用算术平方根的性质、相反数的定义、绝对值的定义分别得出答案． 【解答】解：2，的相反数是，的绝对值是 ． 故答案为：2，，． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（2024春•蔡甸区校级月考）　 　；|2|＝　 　；（π﹣3.14）的相反数是 　 　． 【分析】根据平方根的定义、绝对值的性质和互为相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：，，π﹣3.14的相反数是﹣（π﹣3.14）＝3.14﹣π， 故答案为：±9，． 【点评】本题主要考查了实数的性质和平方根的定义，解题关键是熟练掌握平方根定义、绝对值性质和互为相反数的定义． 3．（2023春•甘井子区期末）若|x|，则x的值是（　　） A．100 B． C．±100 D．± 【分析】根据绝对值的性质求解即可． 【解答】解：∵|x|， ∴x＝±． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（2023春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论． 【解答】解：∵绝对值是的数是或， ∴A选项的结论不正确； ∵的相反数是， ∴B选项的结论不正确； ∵1的绝对值是1， ∴C选项的结论正确； ∵2， ∴的相反数为2． ∴D选项的结论不正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数的性质，绝对值的意义，立方根，相反数的意义，正确利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义进行解答是解题的关键． 5．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数， ∴ab＝1，c+d＝0， 则1 ＝﹣1+0+1 ＝0． 故选：C． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键． 6．（2023秋•龙亭区校级期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值． 【分析】直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出ab＝1，c+d＝0，e＝±2，进而代入求出答案． 【解答】解：由题意可得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2， （1）原式12 2 ； （2）原式12 2 ， 综上所述：原式的值为或． 【点评】此题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 题型七 实数与数轴 1．（2024秋•菏泽期中）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|b|＜|a| 【分析】由图可判断a＝﹣2，b＝1，再逐项计算，即可解答． 【解答】解：根据数轴可知：a＝﹣2，b＝1， ∴a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2＜0，|b|＜|a|． 所以只有选项D成立． 故选：D． 【点评】此题考查了数轴的有关知识，有理数的加法与乘法运算，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数． 2．（2023秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【分析】设点A表示的数是a，求出BC之间的距离，求出AB，即可得出关于a的方程，求出即可． 【解答】解：设点A表示的数是a， ∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C， ∴B、C之间的距离是BC2， ∵B是AC的中点， ∴AB＝BC2， ∵B点表示的数是2，A点表示的数是a， ∴2﹣a2， 解得：a＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是AB＝|xA﹣xB|． 3．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 4．（2024春•齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 　 　（填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【分析】首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案． 【解答】解：设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是xA，xB，xC，xD， 则﹣2＜xA＜﹣1，0＜xB＜1，2＜xC＜3，xD＞3， ∵9＜11＜16， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 5．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）请你求出数x的值． （2）若m为的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值； （2）根据题意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是1和， ∴， ∴， ∴点C表示的数； （2）由（1）知， ∴，， ∴m＝﹣（﹣1）＝1，， ∴， ∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，其立方根为． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，数轴上两点的距离，相反数和绝对值，正确估算12及2＜43是解题的关键． 6．（2024春•乌兰察布期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求|m﹣1|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值； （2）根据数轴得到m的取值范围，去绝对值化简即可得到答案； （3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴m， 故答案为：； （2）由数轴可知：0＜m＜1， ∴m﹣1＜0，1﹣m＞0， ∴|m﹣1|﹣|1﹣m|＝1﹣m﹣（1﹣m）＝0； （3）由|2c+4|与互为相反数，可得， 又|2c+4|，均为非负数，故2c+4＝0且d﹣4＝0， 即c＝﹣2，d＝4， 所以2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16，所以2c+5d的平方根为±4． 【点评】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 题型八 实数的非负性的应用 1．（2024春•凉州区校级期末）|x﹣3|＝0，则xy＝（　　） A．81 B．64 C．27 D．63 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣y+1＝0，x﹣3＝0， 解得x＝3，y＝4， 所以，xy＝34＝81． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．（2024春•界首市期末）若|x+y﹣5|0，则x2+y2的值为（　　） A．19 B．31 C．27 D．23 【分析】根据非负数的性质可得x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0， ∴x+y＝5，xy＝3， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， ∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19． 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助． 3．（2024春•顺河区校级期末）若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵且， ∴x+2＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣2，y＝2， ∴（﹣1）2024＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．（2024秋•西安月考）已知x，y满足，求﹣10x﹣y的平方根． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴x+1＝0，y﹣3x﹣1＝0， ∴x＝﹣1，y＝﹣2， ∴﹣10x﹣y＝12， ∵12的平方根是±， ∴﹣10x﹣y的平方根为±． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 5．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知， ， 解得， 则a＝﹣2，b＝4． （2）2a+10b＝﹣2×2+10×4＝36， 故2a+10b的平方根为±6． 【点评】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型九 实数的大小比较 1．（2024秋•雁塔区校级月考）下列四个数中，最大的实数是（　　） A．π B． C． D．0 【分析】根据实数的大小比较法则，即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴最大的数是π． 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，正实数大于零大于负实数． 2．（2024春•恩施州期末）在实数，﹣2，，中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】根据π≈3.14，得到，即可得到结果． 【解答】解：∵π≈3.14， ∴， ∴， ∴最小的数是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查的是实数的大小比较，解题的关键是掌握相关知识的运算． 3．（2023秋•榆中县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B．﹣π＜﹣3.14 C． D． 【分析】两个负数比较，绝对值大的反而小，由此比较每个选项即可作出判断． 【解答】解：A、∵，， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， 又∵π＞3.14， ∴﹣π＜﹣3.14， 故此选项符合题意； C、∵，|﹣3|＝3， 又∵， ∴3， 故此选项不符合题意； D、∵，， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 4．（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的意义进行比较，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2024春•河西区期中）比较下列各组数的大小： （1） 　 　； （2）1 　 　 ； （3） 　 　． 【分析】（1）根据2＜3，可得； （2）应用放缩法，判断出1与的大小关系即可； （3）首先分别求出与的平方的值，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的这个数反而小，判断出与的大小关系即可． 【解答】解：（1）∵2＜3， ∴． （2）∵1＜2﹣1，2﹣1＝1， ∴1＜1， ∴1． （3）3，， ∵3， ∴． 故答案为：＜、＞、＜． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数，平方大的这个数反而小． 6．（2024春•乌鲁木齐月考）比较大小（要有具体过程）． （1）和4； （2）和0.5． 【分析】（1）先计算两个数的平方，再比较大小即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【解答】解：（1），42＝16， ∵15＜16， ∴． （2）， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较大小的方法是解本题的关键． 题型十 实数的规律探究问题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数． 【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根， ∵2021÷3＝673…2， ∴这一列数中的第2021个数应是， 故选：A． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 2．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成下列形式．按照上述规律排下去，那么数﹣2021是第 　 　行从左边数第 　 个数． 【分析】由题可得每一行最后一个数是（﹣1）n×n2，第n行（2n﹣1）个数，又由442＜2021＜452，即可确定﹣2021的位置． 【解答】解：第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，…，第n行（2n﹣1）个数， ∵每一行最后一个数的绝对值是对应行数的平方， ∴每一行最后一个数是（﹣1）n×n2， ∵442＜2021＜452， ∴﹣2021在第45行， ∵45行第一个数是﹣1937， ∴﹣2021时第85个数， 故答案为：45，85． 【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索出数字的排列规律是解题的关键． 3．（2023春•海拉尔区期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第101个数是 　 　． 【分析】先通过观察分析得出这一列数的规律是，再根据这一列数的变化规律求解即可． 【解答】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， 第5个数是， 第6个数是， …… 第n个数是， ∴当n＝101时， ∴第101个数是． 故答案为：． 【点评】本题考查探究数字规律，根据已知数归纳总结出这一列数变化规律是解题的关键． 4．（2024春•庆云县期末）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵1440＝14.4×100， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 5．（2024秋•管城区校级期中）根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是 　 ． （2）　 　， 　． （3）若13.513.6，求满足条件的整数n的值． 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为10，再根据表格中的对应值得出的值即可； （3）根据13.513.6，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据的对应值可知， ∵（±13.8）2＝190.44， ∴190.44的平方根为±13.8， 故答案为：±13.8； （2）∵13.32＝176.89≈176.9， ∴13.3， ∵10＝137， 故答案为：13.3，137； （3）由表格中的对应值可知， 当13.513.6时，182.25＜n＜184.96， ∴整数n的值为183，184， 答：满足条件的整数n的值为183或184． 【点评】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键． 题型十一 实数的新定义运算问题 1．（2024秋•兰州期中）现定义运算“※”：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b2，如3※4＝32﹣42＝﹣7，若x※3＝16，则实数x的值为（　　） A．4或﹣4 B．7或﹣1 C．19或﹣13 D．±5 【分析】根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【解答】解：由新定义可知，x※3＝x2﹣33＝16， ∴x2＝25， ∴x＝±5， 故选：D． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算，熟练掌握运算法则是关键． 2．（2023春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 【分析】（1）根据定义的新运算a*b，进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算，先算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）8*7 ； （2）6*（5*4）＝6* ＝6*3 ＝1． 【点评】本题考查了实数的运算，理解并应用定义的新运算是解题的关键． 3．对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 【分析】（1）将a＝﹣2，b＝3代入公式计算可得； （2）依据公式计算出3#（﹣2）的值，比较大小即可得； （3）由原等式得出关于x的方程，解之可得答案． 【解答】解：（1）（﹣2）#3＝（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣1 ＝﹣6+2﹣1 ＝﹣5； （2）3#（﹣2）＝3×（﹣2）﹣3﹣1 ＝﹣6﹣3﹣1 ＝﹣10， 而（﹣2）#3＝﹣5， ∴3#（﹣2）＜（﹣2）#3； （3）∵x#（﹣4）＝9， ∴﹣4x﹣x﹣1＝9， 解得：x＝﹣2． 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握新定义及实数的混合运算顺序和运算法则，也考查解一元一次方程的能力． 4．（2023春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1，求： （1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 【分析】（1）根据题目给出的信息列式计算即可； （2）根据题目给出的信息列式计算即可． 【解答】解：（1）； （2）5⊗2． 【点评】本题主要考查了新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键． 5．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b． （1）计算：•； （2）填空：*（）　 　（）*（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【分析】（1）••即可计算 （2）根据题意的运算规则，即可进行判断 （3）对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a，则交换a，b位置有，b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b． 【解答】解： （1）••3×（﹣5）＝﹣15 （2）由运算规则得， *•2 *•2 故** 故答案为：＝ （3）满足 理由如下 ∵对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a ∴b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b＝a*b ∴这种运算“*”满足交换律 【点评】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． 题型十二 实数的估算 1．（2024春•如皋市期末）与最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平方数，进行计算即可解答． 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴34， ∵3.52＝12.25， ∴12.25＜15， ∴3.5， ∴与最接近的整数是4， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 2．（2024春•金寨县期末）估计的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而估算2的大小即可． 【解答】解：∵82＝64，92＝81，而64＜72＜81， ∴89， ∴62＜7， 故选：B． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 3．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵34，而mn，其中m，n为两个连续的整数， ∴m＝3，n＝4， ∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 4．（2024春•秀山县期末）已知a﹣1的平方根是±6，b的立方根是﹣3，c是的整数部分． （1）直接写出a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的大小的方法即可求出a、b、c的值； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵a﹣1的平方根是±6， ∴a﹣1＝36， 解得a＝37， 又∵b的立方根是﹣3， ∴b＝﹣27， ∵c是的整数部分，而23， ∴c＝2， 答：a＝37，b＝﹣27，c＝2； （2）∵23， ∴的整数部分是2，小数部分是2，． ∴22＝4， ∴的算术平方根为2． 【点评】本题考查平方根、立方根以及估算无理数的大小，掌握平方根、立方根的定义以及估算无理数大小的方法是正确解答的关键． 5．（2024春•柳州期末）阅读材料，解答问题： 材料：∵，即：， ∴的整数部分为2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，b+2的算术平方根是2，c是的整数部分． （1）的小数部分为 　 ． （2）求2a+b﹣c的平方根． 【分析】（1）根据，即34，因此的小数部分为：3； （2）根据题意可知，5a+2＝27，b+2＝4，即可求出a＝5，b＝2，因此2a+b﹣c＝2×5+2﹣3＝9，再求得2a+b﹣c的平方根为±3． 【解答】解：（1）∵， ∴4， ∴的小数部分为：3， 故答案为：． （2）依题意，5a+2＝27，b+2＝4， ∴a＝5，b＝2， ∴2a+b﹣c＝2×5+2﹣3＝9， ∴2a+b﹣c的平方根为±3． 【点评】本题考查的是无理数的估算和平方根，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 6．（2024春•忻州期末）下而是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为 　　． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且0＜y＜1，求2x﹣y的相反数． 【分析】（1）估算无理数的大小即可确定整数部分和小数部分； （2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）估算无理数的大小，求出x、y的值，再代入计算，求出相反数即可． 【解答】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：； （2）∵，即， ∴的小数部分， ∵， 即， 的整数部分b＝3， ∴； （3）∵， 即， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， 又∵， ∴， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴， ∴2x﹣y的相反数． 【点评】本题考查估算无理数的大小，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 题型十三 实数的运算 1．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断； 根据二次根式的加减法对B进行判断； 根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【解答】解：A．原式＝0.8，所以A选项不符合题意； B． 3，所以B选项不符合题意； C．5，﹣|﹣5|＝﹣5，所以C选项不符合题意； D．原式＝3﹣7＝﹣4，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，立方根，掌握相应的运算法则是关键． 2．（2024春•彭阳县期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝﹣1，符合题意； B、原式＝2，不符合题意； C、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意； D、原式＝5，不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了实数的运算，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024春•城厢区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的混合运算、立方根、绝对值、有理数的乘方运算法则即可求解； （2）二次根式的混合运算及绝对值的运算法则即可求解． 【解答】解：（1）原式＝1+5﹣4﹣2 ＝0； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 4．（2023春•潮阳区校级期中）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ＝3﹣（﹣5） ＝3+5 ＝3 ； （2） ＝﹣1﹣3+（﹣2）+2 ＝﹣4﹣2+2 ＝﹣4． 【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2024春•源汇区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先去括号同时去绝对值，再合并即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查实数的运算，掌握相应的运算法则是解题的关键． 题型十四 实数的实际应用 1．（2023秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 　 　cm． 【分析】根据8个小正方体的体积之和等于大正方体的体积64cm3，列方程可求出答案． 【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，由题意得， 8x3＝64， 解得x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查立方根，利用体积公式得出8x3＝64是解决问题的关键． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 【分析】因为正方形的面积与长方形的面积相等，可知正方形的边长． 【解答】解：∵长方形的长为2，宽为1， ∴长方形的面积：2×1＝2， 设正方形的边长为a，则可得：a2＝2， ∴， ∵a是正方形的边长，即a＞0， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了长方形和正方形的面积，平方根的定义，掌握等积变形是解题的关键． 3．（2023春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解． 【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝2s，Q＝40J， ∴40＝I2×5×2， ∴I2＝4， ∴I＝±2（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是2A． 【点评】本题考查了二次方程的实际应用，解题关键在于能够分析题目列出方程式． 4．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为2xcm，根据题意列等式，解出即可． 【解答】解：设小长方形的宽为xcm，长为2xcm． 根据题意得2x•x＝162， 解得x＝±9， ∵x＞0， ∴x＝9， 2x＝18（cm）， 答：正方形纸板的边长18cm． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义，根据题意列出等式是解题关键． 5．（2023春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（cm）， 则原来正方体钢铁的棱长为 cm． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 6．（2023春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3 厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解． 【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3﹣33＝189， ∴a3＝189+27＝216， a3＝216＝63 ∴a＝6cm． 【点评】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 7．小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 【分析】设长方形纸片的长为4a，宽为3a，根据面积计算出长和宽，在求出原正方形的边长，比较大小即可得出结论． 【解答】解：∵30（cm）， ∴原正方形纸片的边长为30cm， 设长方形纸片的长为4a，宽为3a， 由题意知4a×3a＝600， 解得a＝5（舍负）， ∴长方形纸片的长为54＝20（cm），宽为515（cm）， ∵2030， ∴同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【点评】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册 第3章：实数章末重点题型复习 题型一 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（2024春•浏阳市期末）下列各数中，没有平方根的是（　　） A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．23 2．（2024•单县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 3．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3； ②﹣m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•商南县期末）下列说法正确的是（　　） A．4是的算术平方根 B．平方根等于它本身的数是0和1 C．9的平方根是±3 D．﹣4的平方根是±2 6．求下列各数的平方根： （1） （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4） 7．求下列各数的立方根： （1）﹣216； （2）； （3）﹣0.008； （4）106． 题型二 平方根、算术平方根、立方根的计算 1．（2024秋•金东区期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（　　） A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6 3．（2024春•民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 4．（2024春•鼓楼区校级月考）的值是 　 　． 5．（2024春•邵东市月考）的平方根是 　 ． 6．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 7． （2024秋•碑林区校级期中）若x，y为实数，且满足，求的平方根． 题型三 利用平方根或立方根解方程 1．求下列式子中的x： （1）25（x）2＝49； （2）（x+1）2＝32． 2．求下列式子中的x的值： （1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0． （3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64． 3．（2023秋•驻马店期中）求下列各式中的x （1）（x+2）3+1＝0 （2）9（3x﹣2）2＝64． 4．（2023秋•凤城市期中）解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 5．（2023秋•喀什市期中）求下列各式中x的值． （1）（x﹣3）2﹣4＝25； （2）27（x+1）3+8＝0． 题型四 无理数的识别 1．（2023秋•西安期末）实数﹣3，0.1，，中，四个数中是无理数为（　　） A．﹣3 B．0.1 C． D． 2．（2024秋•芗城区校级月考）下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列语句正确的是（　　） A．3.78788788878888是无理数 B．无理数分正无理数、零、负无理数 C．无限小数不能化成分数 D．无限不循环小数是无理数 4．（2023秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7，，，0.66666…，0，2，0.080080008…，其中是无理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2023春•邹城市期中）在实数：3.14159，，，4.，π，，有理数的个数是 　 　． 6．（2024春•墨竹工卡县校级期末）在下列实数①，②3.1415926，③，④﹣8，⑤，⑥1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），⑦π中，无理数有 　 　（填序号）． 题型五 实数的分类 1．（2024•龙沙区校级开学）下面7个数：，3.14，π﹣1，，，其中是有理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023秋•西湖区校级期中）在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 　 　；无理数有 　 　.（填写序号） 3．（2023秋•中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）． （1）负数集合{ 　 　…}； （2）有理数集合{ 　 …}； （3）无理数集合{ 　 　…}． 4．（2023春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：，3.14，，﹣8，，0.6，0，，． 5．（2024秋•十堰期中）将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112⋯，，﹣0.． 正数集合：{ 　 　…}； 有理数集合：{ 　 　…}； 负数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 6．（2023秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：1、3.1415、、、、、﹣0.、、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 题型六 实数的相反数、倒数、绝对值 1．（2024春•江岸区校级月考）　 　，的相反数是 　 　，的绝对值是 　 　． 2．（2024春•蔡甸区校级月考）　 　；|2|＝　 　；（π﹣3.14）的相反数是 　 　． 3．（2023春•甘井子区期末）若|x|，则x的值是（　　） A．100 B． C．±100 D．± 4．（2023春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 5．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 6． （2023秋•龙亭区校级期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值． 题型七 实数与数轴 1．（2024秋•菏泽期中）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|b|＜|a| 2．（2023秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 4．（2024春•齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 　 　（填“A”或“B”或“C”或“D”）． 5．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）请你求出数x的值． （2）若m为的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根． 6．（2024春•乌兰察布期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求|m﹣1|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 题型八 实数的非负性的应用 1．（2024春•凉州区校级期末）|x﹣3|＝0，则xy＝（　　） A．81 B．64 C．27 D．63 2．（2024春•界首市期末）若|x+y﹣5|0，则x2+y2的值为（　　） A．19 B．31 C．27 D．23 3．（2024春•顺河区校级期末）若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．（2024秋•西安月考）已知x，y满足，求﹣10x﹣y的平方根． 5．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 题型九 实数的大小比较 1．（2024秋•雁塔区校级月考）下列四个数中，最大的实数是（　　） A．π B． C． D．0 2．（2024春•恩施州期末）在实数，﹣2，，中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C． D． 3．（2023秋•榆中县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B．﹣π＜﹣3.14 C． D． 4．（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•河西区期中）比较下列各组数的大小： （1） 　 　； （2）1 　 　 ； （3） 　 　． 6．（2024春•乌鲁木齐月考）比较大小（要有具体过程）． （1）和4； （2）和0.5． 题型十 实数的规律探究问题 1．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（　　） A． B． C． D．2021 2．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成下列形式．按照上述规律排下去，那么数﹣2021是第 　 　行从左边数第 　 个数． 3．（2023春•海拉尔区期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，则第101个数是 　 　． 4．（2024春•庆云县期末）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 5．（2024秋•管城区校级期中）根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是 　 ． （2）　 　， 　． （3）若13.513.6，求满足条件的整数n的值． 题型十一 实数的新定义运算问题 1．（2024秋•兰州期中）现定义运算“※”：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b2，如3※4＝32﹣42＝﹣7，若x※3＝16，则实数x的值为（　　） A．4或﹣4 B．7或﹣1 C．19或﹣13 D．±5 2．（2023春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 3．对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 4．（2023春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1，求： （1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 5．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b． （1）计算：•； （2）填空：*（）　 　（）*（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 题型十二 实数的估算 1．（2024春•如皋市期末）与最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•金寨县期末）估计的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 4．（2024春•秀山县期末）已知a﹣1的平方根是±6，b的立方根是﹣3，c是的整数部分． （1）直接写出a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 5．（2024春•柳州期末）阅读材料，解答问题： 材料：∵，即：， ∴的整数部分为2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，b+2的算术平方根是2，c是的整数部分． （1）的小数部分为 　 ． （2）求2a+b﹣c的平方根． 6．（2024春•忻州期末）下而是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为 　　． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且0＜y＜1，求2x﹣y的相反数． 题型十三 实数的运算 1．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•彭阳县期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•城厢区校级期中）计算： （1）； （2）． 4．（2023春•潮阳区校级期中）计算： （1）． （2）． 5．（2024春•源汇区校级月考）计算： （1）； （2）． 题型十四 实数的实际应用 1．（2023秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 　 　cm． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 3．（2023春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 4．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长． 5．（2023春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的 棱长． 6．（2023春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3 厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 7．小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$