广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期开学考试高二数学答案 1.C【详解】命题：“x∈(0，+w),x-2>0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：x∈(0，+∞)，x-2≤0.故选：C 2.A【详解】Z=1+i(2-i)=2-i+2i+1=3+i,则Z的虚部为1.故选：A 3.D【详解】B={xx=x}={0,-1,},故A∩B={0,1,故选：D. 4.D.【详解】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65 对于A:极差为3.65-3.61=0.04，故A正确；对于B:众数为3.62，故B正确；对于C:中位数为 362+3.63=3625,故C正确，对于D:因为8×30%=64，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到 大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确故选：D 5.D【详解】对于A,如图a⊥B,m/1,l11B,但直线，l平行，A错误： 对于B,如图mca,lcB,l11m,但是平面a,B不平行，B错误； 对于C:若a/1B,mca,lcB,则m/l或，l异面，C选项错误； 对于D,由a/IP,⊥a,可得⊥B,又‖B,所以l⊥，D正确：故选：D 6.B【解析】AD=Ac+CD=4c+写CB=Ac+-4C)写8+号Ac 另解：而-丽+D=A0+号8c=亚+aC-丽)西+4C放选：B x y 4 x v 又因为x>0,y>0, 当且仅当x=y=2时取等号，故选：A. 8.B【详解】设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为√~2+3，而它们的侧面积相等， 所以2加x5=xVB+r即25=3+r,故r=3,故圆锥的体积为}x9×√3=3√5元. 故选：B. 3 9.ACD【详解】因为a=1,2),b=(2,4),所以a+b=(3,6),A选项正确：ab=1×2+2×4=10,所以a1b 不成立，B选项错误；D选项正确；b=(2,4)=2ā，C选项正确；故选：ACD 10D【详】对F由r[2x引2[引 因为y=sinx在 。引上不年湖.所以在 5mπ 上不单调，所以A错误： 对于B, 对Tc因%〔）m(管引利，房以发的图象夫r点（沿小中心对形所 以C正确： 对于D因为/2x引所以ye40)-[2x0引m2x20 因为y=f(x+)的图像关于y轴对称，所以y=f(x+0)为偶函数，所以20+匹=亚+m,k∈乙，得 62 0=+,k∈乙，所以正数8的最小值为石，所以D正确故选：BCD 62 11.ABD【详解】对于A,因为BC/AD,BC1不在平面ADDA内，AD,C平面ADDA, 所以BC//平面ADDA,又P∈BC,所以点P到平面ADDA的距离为1， 又S4D为定值，故V-APD=V,-4,D=定值，A正确： 对于B,因为AD/IBC1,ADC平面ADC,BC寸平面AD,C,所以BC,/平面ADC, 同理可知AC1I/平面AD,C,，又BC⌒AC1=C1,BC,AC1C平面ACB, 所以平面ACB∥平面ACD,由于APC平面ACB,故AP∥平面ACD,B正确. 对于C,展开两线段所在的平面，得矩形ABC,D及等腰直角三角形BBC1, W… 连接AB,交BC于点P,此时AP+B,P最小，最小值即为AB,的长， 过点B,作BN⊥AB,交AB的延长线于点N, B 其中AB=l,AD=C,=V5,BN=AN=Y5,故AW=1+5 又勾股定理得AB=√B,W+AW2 2 】=V2+V,c正确： 对于D,点P在点B处，A,C,D,P四点共面，四面体BPAC的外接球即正方体的外接球， 救外接球的半径为下++5，所以该球的体积为号R=5 2 2 3 元，D正确故选：ABD 12.【解析】由三-i=1+i可得z=1+2i,所以 之-1+2i_(1+2i)ii+2i E =-i+2=2-i. ii i2 -1 13【详解】因为P(®)=}所以P国)=1-P(®)=子故 p P4n到4+月-4周专令 B 14.【详解】取CD的中点E,连结PE,在△PDC内使用极化恒等式得 pcD.Pc+PD-(Pc-PD=|Pm-网Pm可-|Pm-4 易知P园∈[2,2V5,故pcPD∈[0,16].故答案为：[0,16] 15.【详解】(1)a2-b2=ac-c2变形为：2+c2-b2=ac,…2分 所以cosB=+c2-b21 …4分 2ac21 因为B∈(0，π，…5分 所以B= 3:…6分 (2)因为cosC=2,且C∈0,0)，…7分 所以simC=-cosc-75 …9分 10 5 由正弦定理得： b sinB sinc’l 即simπ7√2，…11分 'S1n- 310 解得：c=7V6 …13分 16.【详解】(1)由题可得10×(0.01+0.03+0.04+m+0.005)=1→m=0.015.…5分（列式3分结果2分） (2)这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65]内的人数为500×10×(0.04+0.015+0.005=300人 (3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为 10×(0.01×20+0.03×30+0.04×40+0.015×50+0.005×60)=37.5. 17.【详解】(1)如图，连BD,…1分 .PE=DE,BF =DF,..EF//PB,...... E PBC平面PAB,EF丈平面PAB,…5分 EF/I平面PAB;…6分 （2)片PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,…7分 PA⊥BD,…8分 菱形ABCD,AC,BD为菱形的对角线，AC⊥BD,…9分 B AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,PA⊥BD,AC⊥BD,…11分 .BD⊥平面PAC.…12分 (3)由（②）知BD1平面PAC,BDC平面PBD,故平面PBDL平面PAC…15分（每点1分） 18.【小问1详解】 记A部门的3名领导为41，☑2,4，B部门的3名领导为b,b2,b3,…2分 从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有： 4142,414,4243,4b,a4b2,4b3,42b1,a2b2,a2b3,4,b1,4b2,4,b3,bb2,bb3,b2b3，共15种，…4分 选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：4142,44,4243，共3种，…6分 31 所以全部来自A部门领导的概率为 5-5 …8分 【小问2详解】 记C=“每位员工经过培训合格”，A=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3),…10分 则4)-P4)-号A)- 1 ，…11分 2 C=AAA3UAA,A3UA1A,A3UAA2A3,…12分 依题意，P(C)=P(AA,A)+P(AA,A3)+P(AA,A)+P(AA2A)…13分 =P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A:)+P(A)P(A.)P(A )P(A P(A P(A )...........15 +12121122 3323323323323 2 所以每位员工经过培训合格的概率为二.…17分 19.【详解】(1)因为BC∥AD,BC丈平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD,…3分 因为BCc平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,故II/BC.…5分 (2)过点A在平面PAB内作AH⊥PB,垂足为点H,如下图所示： 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PABO平面PBC=PB,AHC平面 PAB, AH⊥PB,故AH⊥平面PBC, 因为BCc平面PBC,所以AH⊥BC, 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥PA, 因为PA∩AH=A,PA、AHc平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为ABC平面PAB,所以BC⊥AB,…8分 因为II/BC,故1与AC所成的角为∠ACB或其补角，…9分 又因为AB=BC=2,则VABC为等腰直角三角形，则∠ACB=匹， Γ41 即1与AC所成的角为…10分 41 (3)取AD的中点O,连接CO, 因为AD=4,BC=2,AD/BC,故AO=2=BC, 所以，四边形ABCO为平行四边形，所以CO∥AB,CO⊥AD, 由PA⊥平面ABCD,COC平面ABCD,则COL PA, 而PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,于是CO⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,则PD⊥CO,过O作OE⊥PD于E,连接CE, 显然CO⌒OE=O,CO、OEc平面COE,因此PD⊥平面COE,…14分 而CEc平面COE,则PD⊥CE,即∠OEC是二面角C-PD-A的平面角，…15分 由PA=AD=4,PA⊥AD,得∠ADP=45°， 则OB=ODsin.∠ADP=V2,CE=V6,cos∠OBC=Og-5 ΓCE3 所以二面角C-PD-A的余弦值是5…17分 3湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期开学考试 高二数学 考试时间：120分钟，满分150分： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.命题：“3x∈(0，+o),x-2>0的否定是() A.Vx∈(0+0，x-2<0 B.3x∈(0，+w),x-2≤0 C.x∈(0，+0)，x-2≤0 D.x∈(-0,0)，x-2≤0 2.已知复数Z=Q+)(2-i),则Z的虚部为() A.1 B.i C.2 D.2i 3.已知集合A={-4,0,12,8,B={xx=x,则A∩B=() A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1 4.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依 次为3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62，3.64（单位：cm),则下列说法不正确的是（） A.铁棍的长度的极差为0.04cm B.铁棍的长度的众数为3.62cm C.铁棍的长度的中位数为3.625cm D.铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm 5设α，B是两个平面，，1是两条直线，则下列命题为真命题的是() A.若a⊥B,m‖a,lI‖B,则⊥1B.若mca,1cB,m/l,则a/IB C.若a/1B,mca,1cB,则m/1lD.若m⊥a,I‖B,a/IP,则m⊥1 6.己知VABC,点D为边BC上一点，且满足BD=2DC,则向量AD=() A54+写4C 3 B. 3 c.+ac 11 7.已知x+y=4,且x>0,y>0,则三+二的最小值是() x V A.1 B.√2 C.2 D.2N2 8.己知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为() A.23π B.3N3π C.63元 D.9W3π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分 9.己知a=1,2),b=(2,4)则() A.a+b=(3,6)B.a1b C.b=2a D.a.b=10 10.已知函数f(y=sin2x+亚 则下列结论中正确的有() 6 A.函数f(x)在区间 上单调递增 2'6 B.直线x=-亚是函数f(x)的一条对称轴 3 C.函数f(x)的图象关于点 沿中心对 D.若函数)=f(《+9)的图像关于y轴对称，则正数0的最小值为 11.如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，P是线段BC上的动点，则下列结论正确的是() D A.三棱锥A-APD的体积为定值 B B.AP∥平面ACD C.AP+BP的最小值为2W2 D.当4，C,D,P四点共面时，四面体RP4,C的外接球的体积为V3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12设复数：满足：-i=1+i,则三= 1 1B设4B是随机事件，且P)-=PB)=子PaUE行，则P叱1n- 14.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的AB上，如右图， 则PC.PD的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、 B 证明过程或演算步骤 15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2-b2=ac-c2 (1)求B:(6分) a若b=5,c0sC-5,求cQ分) 10 16.(15分)中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI 大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15,65]内）， 按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.040 0.030 2 0.010 0.005 152535455565年龄/岁 (1)求m的值；(5分) (2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65]内的人数；(5分) (3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）.(5分) 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,E是PD的中点，F是 AC的中点. D C (1)证明：EF/1平面PAB;(6分) (2)证明：BDL平面PAC.(6分) (3)证明：平面PBDL平面PAC.(3分) l8.(17分)DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制 造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员 工参加DeepSeek培训. (1)己知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人 负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率：(8分) 221 (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀'的概率分别为 332 每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到优秀'的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率.(9分) 19.(I7分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BCAD, 平面PAB⊥平面PBC,且AB=BC=2,PA=AD=4. B (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线1，求证：BCl;(5分) (2)求1与AC所成的角；(5分) (3)求二面角C-PD-A的余弦值.(7分)