四川省绵阳市平武县四校联考2025-2026学年上学期开学考试数学练习卷

2025-2026学年四川省绵阳市平武县四校联考 九年级上学期开学考试数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，▱的对角线交于点，的中点是，下列说法不正确的是(    ) A. 当时，▱是矩形 B. 当时，▱是菱形 C. 当▱是矩形时，平分 D. 当时，▱是正方形 2.使有意义的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.学校足球队有名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清岁和岁队员的具体人数． 年龄岁 岁 岁 岁 岁 岁 人数个 下列统计量中，不受影响的是(    ) A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 4.一次函数的图象不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.在▱中，，，一组对边之间的距离为，则另一组对边之间的距离为(    ) A. B. 或 C. D. 无法确定 6.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，数轴上的点所表示的数为(    ) A. B. C. D. 8.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. B. C. D. 9.周末小海：从家出发，步行前往距家米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的倍，：到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了(    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 10.如果，且，那么直线不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11.如图，在中，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在平行四边形中，，，为的中点，为上一点，连接交于点，若，则的长是  【    】 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.若最简二次根式和是同类二次根式，则      ． 14.已知，，是某三角形三边的长，则           ． 15.如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则的长为______． 16.如图，，是正方形的边上的点，且，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是      ． 17.一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，把绕点旋转后得到，则点的坐标是      ． 18.某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是______万元． 年薪万元 员工数人 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.计算：；． 四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． 求证：四边形为平行四边形； 连接交于点，若，，，求，的长． 21.本小题分 灞桥樱桃是陕西省西安市特产，因其颗粒饱满，色泽艳丽，果肉质地细腻，富含多种矿物元素，有“中华名果”之称号．近日樱桃进入了销售旺季，某水果商计划从果农蒋大爷的樱桃园购进一批樱桃进行销售，从已采摘好的、两个品种的樱桃中各随机抽取颗，称量了单果重量单位：，现将称量结果记录如下： 【信息一】两个品种樱桃单果重量统计表： 果类 一等果 二等果 三等果 单果重量 品种颗数颗 品种颗数颗 【信息二】两个品种樱桃单果重量的众数、中位数、平均数和方差如下： 众数 中位数 平均数 方差 品种 品种 根据以上信息，解答下列问题： 填空：表中，________，________，________； 根据该水果商的要求，从、两个品种中选择一个单果重量较均匀的品种购进，则该水果商应该购进________品种的樱桃；选填“”或“” 若本次已采摘好的品种樱桃共有颗，请你估计这颗中一等果有多少颗？ 22.本小题分 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米 问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明． 求原来的路线的长． 23.本小题分 已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： 填表： 离开家的时间 离家的距离                                  填空： 李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； 李华在书店学习的时间为________； 书店到公园的距离为________； 当时，请直接写出关于的函数解析式． 当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？直接写出结果即可 24.本小题分 【问题情境】 如图，是外一点，直线交于，两点，则的长是点到上的点的最短距离． 【初步探究】 如图，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点不与，两点重合，连接，请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值． 【构造运用】 如图，在正方形中，，点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接，交于点，连接，由于点，的移动，使得点也随之移动，请求出线段长度的最小值． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点． 求直线的解析式； 求四边形的面积； 若点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点若，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、正确．当时，可以推出，故▱是矩形． B、正确．当时，，，，故▱是菱形． C、正确．当▱是矩形时，，，平分． D、错误．当时，无法判断▱是正方形． 故选：． 根据平行四边形的性质、进行的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识一一判断即可． 本题考查平行四边形的性质、进行的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2.【答案】  【解析】解：由有意义可得：， 解得：， 要使有意义，必须使， ， 解得：， 的取值范围是，故A正确． 故选：． 根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，再解不等式，即可得到答案． 本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握使分式和二次根式有意义的条件． 3.【答案】  【解析】解：学校足球队有名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，由表可得： ， 从高到低的顺序排列，处在第名和第名的年龄分别为岁，岁， 中位数为岁， ， 岁的人数和岁的人数之和为人， 岁的人数最多， 众数为岁， 平均数与其他年龄的人数有关， 平均数受影响， 方差受影响， 故选：． 由于岁和岁的人数之和为人，则可确定中位数，再由岁的人数和岁的人数之和为人，可确定众数，平均数与其他年龄的人数有关，则方差也会受影响，据此可得答案． 本题主要考查了中位数，方差，平均数和中位数，正确记忆相关知识点是解题关键． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：此题分两种情况： 若与之间的距离为， 由于与之间的距离大于，不符合垂线段最短，故舍弃； 若与之间的距离为， 设对边和间的距离是， 根据平行四边形的面积公式可得：，可得， 所以另一组对边之间的距离为． 故选：． 直接利用平行四边形的面积求法进而得出答案． 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积，“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系． 6.【答案】  【解析】解：、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； B、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意． 故选：． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：被开方数的因数不含完全平方数；分母不含根号． 本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点是关键． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， 是弦的垂直平分线， 圆心在直线上， 又是弦的垂直平分线，， ，， 设圆形工件的半径为，则， ， ， 在中，，即， ， ， 解得， 圆形工件的半径为， 故选：． 设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：根据图象计算出小海去超市前的速度，再计算出小海出超市后到社区所用的时间，可得： 小海：从家出发，：到达集合地，则总用时， 由图象可知，小海去超市前的速度为， 小海出超市后到社区所用的时间为， 小海在超市购物用的时间为， 故选：． 先根据图象计算出小海去超市前的速度，再计算出小海出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时分钟，可以计算出小海在超市购物用的时间． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：由条件可知与异号，与同号；或，． 又， ，， 函数图象不经过第三象限， 故选：． 先根据，且，得出，，再结合一次函数的性质进行作答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】  【解析】解：把沿的方向平移到的位置，，， ，，故选项AC正确，不符合题意； ， ，选项B正确，不符合题意； 长度不能确定；故选项D错误，符合题意； 故选：． 根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解． 本题考查了图形的平移，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 12.【答案】  【解析】【分析】本题考查了相似三角形判定与性质和勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形判定与性质和勾股定理是解题关键，由，，为的中点，得出的长度，由得出与的比值，由平行四边形得出，得出的长度，进而可以得出的长度． 【解答】解： 为的中点，， ， ，， ， ，， ， 故选B． 13.【答案】或  【解析】解：根据同类二次根式的定义得， 解得，， 故答案为：或． 根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：由旋转得，， ． 故答案为：． 根据旋转的性质可得，再利用勾股定理即可求解． 本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图所示，在上截取，过点作交于，连接，连接交于， 由题意可得：，，，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； ，，， ≌， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 当有最小值时，点与点重合， ， ∽， ， ； ， ∽， ， ， ， 故答案为：． 在上截取，过点作交于，连接，连接交于，可证明是等腰直角三角形，得到；证明≌，得到，则当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故当有最小值时，点与点重合，证明∽，推出；证明∽，推出，则． 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的中与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】或  【解析】解：当时，，则， 当时，，解得，则， 当绕点顺时针旋转后得到，如图， 则，，，， 轴， 点坐标为． 当绕点逆时针旋转后得到，如图， 则，，，， 轴， 点坐标为． 故答案为：或． 先根据坐标轴上点的坐标特征求出点和点坐标，得到和的长，再根据旋转的性质得到，，，，则轴，然后根据第一象限点的坐标特征写出点坐标． 本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 18.【答案】  【解析】解：员工人数为：人， 则中位数为：万元， 故答案为：． 根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案． 本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义． 19.【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】证明见解答；   的长是，的长是．  【解析】证明：， 是的中点， 是的中点， ， 点在的延长线上， ， ， 四边形为平行四边形． 解：，，， ，且，， ， 于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 的长是，的长是． 由，是的中点，得，而点在的延长线上，则，因为，所以四边形为平行四边形； 由，，，，由，于点，得，则，所以，求得，由平行四边形的性质得，则，求得． 此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，且是解题的关键． 21.【答案】解：颗， ， ， 颗 故答案为：，，； ，得平均数和中位数都相同，但是的方差小于的方差，选A合适， 故答案为： 颗 估计这颗中一等果有颗  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22.【答案】解：是， 理由是：在中， ， ， ， ，即， 所以是从村庄到河边的最近路； 设千米， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得： ， 解这个方程，得， 答：原来的路线的长为千米．  【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可； 根据勾股定理解答即可． 此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 23.【答案】【小题】 【小题】 解：李华从家到书店提速后的速度为； 故答案为：； 李华在书店学习的时间为， 故答案为：； 书店到公园的距离为， 故答案为：； 当时，设， 把，；，，代入得 解得 ； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得 解得 ； 综上，； 【小题】 解：当时爸爸到达公园， 当时爸爸离开公园返回， 当时爸爸返回家中， 则爸爸离家距离与李华离开家的时间之间的图象如下图所示： 当时，爸爸的速度为：， ， 途中两人相遇时，得 解得 途中两人相遇时离家的距离是．   【解析】  本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： 直接根据函数图象即可得出答案； 【详解】解：由图可知：当时，， 李华从家到书店提速后的速度为， 当时，则； 当时，李华停留在书店，则； 故答案为：，，；   直接根据函数图象即可得出答案； 根据速度、路程、时间的关系求解即可； 直接根据函数图象即可得出答案； 分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可；   先求出爸爸的速度为，进而求出关系式，联立组成方程组求解即可． 24.【答案】【小题】 证明：因为，，，所以． 【小题】 解：取的中点，连接，交半圆于点由【问题情境】中给出的结论，易得的长是长的最小值．在中，因为，，，所以，所以，即线段长度的最小值为． 【小题】 解：因为四边形是正方形，所以，由题意可知，，易证≌，所以，因为，所以，所以设的中点为根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，所以点在以为直径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时的长度最小．在中，，所以，即线段长度的最小值为．   25.【答案】解：直线：与相交于点， ，解得， ， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 当时，， 直线与轴的交点的坐标为， ， 当时，， ， 直线与轴的交点的坐标为， ， ， ， ． 过点作垂直于轴的直线，与直线交于点， 点的坐标为， ， ， 当点在点的上方时，如图所示： ， 解得：， 此时点的坐标为； 当点在点的下方时，如图所示： ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上分析可知，点的坐标为或．  【解析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 先求出点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； 先求出点、的坐标，得出，然后根据求出结果即可； 先求出点的坐标为，利用，求出，分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，分别求出点的坐标即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $