精品解析：天津市南开中学2025-2026学年高三上学期数学统练1

南开中学数学统练 2026届高三数学统练1 一、单选题（每题6分，共54分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”的充要条件为（ ） A. 至少有一个为1 B. 都为1 C. 都不为1 D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. ，用表示中较大者，，若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 7. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则（　　） A. B. C. 2 D. 2 二、填空题（每题6分，共36分） 10. 若复数满足，则_____ 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 12. 已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则______，若变量，则______． 13. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 14. 关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 15. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________． 三、解答题（16题14分，17，18题，每题15分，19题16分，共60分） 16. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． （1）求的表达式； （2）求点处的公切线方程； （3）过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间 （2）若函数有两个极值点，，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学数学统练 2026届高三数学统练1 一、单选题（每题6分，共54分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意可得集合，集合， 所以. 故选：D． 2. 设，则“”的充要条件为（ ） A. 至少有一个为1 B. 都为1 C. 都不为1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及即可排除求解. 【详解】的定义域为， 且,故为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B， ，此时可排除AD, 故选：C 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将转化为，化简后利用基本不等式即可得求最小值. 【详解】∵，令，则 当且仅当时等号成立. 故选：C. 5. ，用表示中较大者，，若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据表示中较大者，求得的解析式，再分类解不等式，即可得到结果. 【详解】当时，若，则， 当时，若，则， 所以， 若，则当时，，即或， 当或时，，解得，又或， 所以或， 综上：或， 故选：B 6. 已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题，可知函数的周期性和对称性，结合已知求解即可. 【详解】由满足，得， 所以，所以， 所以是以4为周期的函数， 因为， 所以的图象关于直线对称， 因为当时，， 所以. 故选：C. 7. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质进行比较即可. 【详解】，， ，. 故选：D. 9. 已知实数满足，则（　　） A. B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，得， 得，故,再由，构造函数，由单调性求解． 【详解】， 则， 得，故, 由，得， 令， 因为都是增函数，所以在上是增函数， 由，得，故． 故选：A 二、填空题（每题6分，共36分） 10. 若复数满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项，令通项中的指数为0，从而可得答案. 【详解】展开式的通项为： 令 常数项为 故答案为： 12. 已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则______，若变量，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求出的值，求出的值，结合期望的性质可求出的值. 【详解】由题意可得， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以， 因为，故. 故答案为：；. 13. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题“，恒成立”是真命题. 当时，则有恒成立，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 14. 关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 15. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在上单调递减，可得出，求得，根据已知条件得出，即可解得实数的值. 【详解】由可得，可得，即， 因为，故函数在上单调递减， 所以，，所以，， 因为有且只有一个满足题意，则，解得. 故答案为：. 三、解答题（16题14分，17，18题，每题15分，19题16分，共60分） 16. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2） （3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. 【小问3详解】 当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，进而证明平面； （2）分别求出与平面的法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可； （3）求出，结合平面的法向量，应用点到平面的距离公式求值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为, 18. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． （1）求的表达式； （2）求点处的公切线方程； （3）过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个函数有公共点，以及导数的几何意义，列式求解； （2）由（1）可求得，利用直线的点斜式方程可求切线方程； （3）首先设切点为，再结合导数的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，得， 则，． 又在点处有公切线，故可得， 即，得，则， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，，所以点处的公切线方程为，即． 【小问3详解】 设切点为，则切线的斜率为， 故，解得或， 又点在第三象限，故解得，即． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间 （2）若函数有两个极值点，，求证： 【答案】（1） 当时，的减区间是，无增区间 当时，的增区间是，减区间是和 （2） 由知，当时，有两个极值点，，， 则，是方程的两个根，从而，， 由韦达定理，得，，所以， ． 令，，，则， 当时，，则在上是增函数，从而， 故 【解析】 【分析】（1）利用导数，对分类讨论，求函数单调区间； （2），是方程，即的两个根，有，，，，化简得，令，构造函数，利用导数，求的最值即可得证. 【小问1详解】 由，得， 令，则，， 当，即时，恒成立，则，所以在上是减函数． 当，即或． 当时，方程的两根均为负数，故在定义域内，恒成立， 从而，所以在上是减函数． 当时，函数有两个零点：，，列表如下： 综上，当时，的减区间是，无增区间 当时，的增区间是，减区间是和 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $