天津市南开中学2025-2026学年高三上学期数学统练1

南开中学数学统练 2026届高三数学统练1 一、单选题（每题6分，共54分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”的充要条件为（ ） A. 至少有一个为1 B. 都为1 C. 都不为1 D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. ，用表示中较大者，，若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足和，且当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 7. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则（　　） A. B. C. 2 D. 2 二、填空题（每题6分，共36分） 10. 若复数满足，则_____ 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 12. 已知盒中有个白球和个黑球，一次性不放回地任取个球，记是摸到黑球的个数，则______，若变量，则______． 13. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 14. 关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 15. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________． 三、解答题（16题14分，17，18题，每题15分，19题16分，共60分） 16. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． （1）求的表达式； （2）求点处的公切线方程； （3）过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间 （2）若函数有两个极值点，，求证： 南开中学数学统练 2026届高三数学统练1 一、单选题（每题6分，共54分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 二、填空题（每题6分，共36分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（16题14分，17，18题，每题15分，19题16分，共60分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） 当时，的减区间是，无增区间 当时，的增区间是，减区间是和 （2） 由知，当时，有两个极值点，，， 则，是方程的两个根，从而，， 由韦达定理，得，，所以， ． 令，，，则， 当时，，则在上是增函数，从而， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $