2.1 认识有理数 　课件-2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 22201 第二章 有理数及其运算 2.1 课时1 有理数的概念与分类 22201 1.在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义； 2. 经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要； 3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类. 学习目标 22201 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．下表是用下图所示的表情表示的两个参赛队的答题情况.： 答对 不回答 答错 探究一：认识负数 新知探究 22201 答对题的得分 答错题的得分 不回答题的得分 第一队 第二队 -3 0 +8 (1)你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表： (2)如果用“+1”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写(1)中的表？ +6 -2 0 22201 吐鲁番盆地 (2)珠穆朗玛峰的海拔大约是8848.86m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31m. 8848.86 m，-154.31m的实际意义分别是什么? (1)下表是 2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗? 气温为零下7℃~零上5℃. 低于海平面154.31米. 尝试·交流 22201 (3)下图展示了2023年7月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况.请你说一说-0.5%，2.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流. 食品烟酒同比下跌0.5%. 教育文化娱乐同比上涨2.4%. 22201 “加分与扣分”““零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面” “上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。例如,“加3分”记为+3分,“扣2分”就记为-2分。 22201 正数和负数的概念 1.像+3,+15,+2.4%，...都是正数，正数前面的“+”可以省略不写. 2.像-2，-8，-0.5%，…都是负数. 3.0既不是正数,也不是负数. 注意：负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反. 知识归纳 22201 1.（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作＋0.02克，那么﹣0.03g表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：10kg±50g”， 这里的“10kg±50g” 表示什么？ 解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈； （2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g； （3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有50g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+50g，最少是10kg-50g。 练一练 22201 (1)选定一个高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗？ 提示：比如设定160cm为标准，则高出的记作＋，低于的记作－. (答案不唯一) (2)你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流. 探究二：有理数的概念与分类 思考·交流 22201 整数 分数 负分数：-，-3.5，-… 正分数：如，，5.2… 有理数 负整数：-1，-2，-3… 正整数：如1，2，3… 零：0 整数和分数统称为有理数。 有理数的概念 按定义分类. 知识归纳 22201 （3）有理数还可以进行其他分类吗？ 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 还可以按性质分类. 22201 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}． 总结：大于0的数都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限. 2.把下面各数填在相应的括号里. 练一练 22201 有理数分类的“三性” 相对性 正数是相对于负数而言的，整数是相对于分数而言的. 特殊性 0既不是正数也不是负数，但0是整数和自然数. 多属性 同一个数可能属于多个不同的集合，如－3既是负数，也是整数. 在进行数的分类时，要先确定分类标准，分类的标准不同，其结果一般也不相同，注意分类时要做到不重不漏． 知识归纳 22201 例1：(1)转动转盘时，若规定顺时针转动为正，则逆时针转动5圈表示为________． (2)若把后退规定为负，则＋102米表示___________，0米表示__________． (3)如果正午12时记作0时，午后3时记作＋3时，那么上午8时记作________． －5圈 前进102米 原地不动 －4时 典例分析 22201 例2：把下列各数填入相应的集合中： 22201 1．如果收入100元记作＋100元，那么支出100元记作(　　) A．－100元 B．＋100元 C．－200元 D．＋200元 A 2．如果汽车向东行驶30米记作＋30米，那么－50米表示(　　) A．向东行驶50米 B．向西行驶50米 C.向南行驶50米 D．向北行驶50 3.在一次数学测试中，七(2) 班的平均分为 85 分，把高于平均分的高出部分数记为正数，老师将某一小组的美美、多多、田田、乐乐四位同学的成绩记为+7，-4，-11，+13，则这四位同学实际成绩最高的是 ( ) A.美美 B.多多 C.田田 D.乐乐 B D 随堂练习 22201 4．下列说法中，正确的是(　　) A．正整数和负整数统称整数 B．整数和分数统称有理数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 B 5．某食品包装袋上标有“净含量(385±5)克”，这包食品合格的净含量范围是____________． 380～390克　 随堂练习 22201 6．将下列各数填入相应的集合内： －2,3.5,0，－，4，，0.010010001…，31% (1)整数集合：{                   } (2)正分数集合：{              } (3)有理数集合：{              } －2,0，4 3.5,31% －2,3.5,0，－，4，31% 随堂练习 22201 按照定义分为：整数和分数. 认识有理数 认识负数 有理数的概念 有理数的分类 按照性质分为：正有理数、0和负有理数. 为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示． 整数和分数统称为有理数. 1.像+3,+15,+2.4%，...都是正数，正数前面的“+”可以省略不写. 2.像-2，-8，-0.5%，…都是负数. 3.0既不是正数,也不是负数. 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.1 课时2 相反数与绝对值 22201 1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数。 2.初步理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，体会 数形结合的思想方法。 3.会利用绝对值比较两个负数的大小。 学习目标 22201 新课导入 如图，两位同学背靠背站好(分左右),规定向右为正，以两位同学未走时的位置为原点，两人各自向前走3步。则：右边同学所在位置，记作 ,左边同学所在位置，记作 。 0 原点 ＋3 －3 －3 ＋3 正方向 22201 问题：3与-3，与-，5与-5这三组数有什么共同特点？你还能列举几组具有这种特点的数吗？与同伴进行交流. 它们的符号不同，数量相等. 探究一：相反数与绝对值 新知探究 22201 特别地，0的相反数是0. 我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. 理解：一个正数的相反数是一个 ;一个负数的相反数是一个 ;一个数的相反数是它本身的数是 。 负数 正数 0 像3与-3，与－，5与-5这样的两个数，它们的符号不同，数量相等. 1.相反数的概念 新知探究 22201 1.判断题，看谁回答的又对又快！ (1)－6是6的相反数.(　　) (2)30是30的相反数.(　　) (3)1.2与－1.2互为相反数.(　　) (4)－3是相反数.　　　(　　) × √ √ × 注意：相反数是成对出现的 练一练 22201 求一个数的相反数，就是在这个数的前面添上“-”号。 一般地，a的相反数是 ；-a的相反数是 。 即a和-a互为相反数。 -a a 相反数的求法 典例分析 22201 2.(1)如果a＝13，那么－a＝____； (2)如果a＝－5.4，那么－a＝____； (3)如果－x＝－6，那么x＝____； (4)如果－x＝9，那么x＝_____． -13 5.4 6 -9 练一练 22201 一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，如3和-3 的绝对值都等于3，0的绝对值等于0。通常用|a|表示数a的绝对值，如3的绝对值记作|3|=3，-5 的绝对值记作|-5|=5。 2.绝对值的概念 知识要点 22201 3.求下列各数的相反数和绝对值：-2，，0，-3.8，30. 解：-2，，0，-3.8，30的相反数分别是2，-，0，3.8，-30. 一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 练一练 观察·思考 22201 正数的绝对值是它本身. 负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0. 绝对值的性质 如果a＞0，那么|a|＝a; 如果a＜0，那么|a|＝－a;　　 如果a＝0，那么|a|＝0.　　 典例分析 22201 4.(1) 绝对值是7的数是 ， （填“有”或“没有”） 绝对值是－2的数。 (2) 绝对值是0的数有 个，是 。 7与－7 1 没有 0 练一练 22201 探究二：有理数的大小比较 思考·交流 （1)下表是2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温。你能将这四个城市的最低气温从低到高进行排列吗？你是怎样比较的？ 结合生活常识可知， 最低气温由低到高依次是-19 ℃，-7℃，-2 ℃，7 ℃ 。 新知探究 22201 （2)你能仿照气温的比较将下列这组数按照从小到大的顺序进行排列吗? -1，0，-3，2.5，-1.5，4。 从小到大依次为 -3，-1.5，-1，0，2.5，4。 (3)你认为负数和正数应怎样比较大小?负数和0呢?两个负数呢?与同伴进行交流。 新知探究 22201 有理数大小比较的法则： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 两个负数，绝对值大的反而小. 典例分析 22201 5.比较下列每组数的大小： （1）-2，6； （2）0，-1.8； （3）-，-4. 解:(1)因为正数大于负数，所以-2<6； (2)因为负数小于0，所以 0>-1.8; (3)因为两个负数，绝对值大的反而小， 而 所以 练一练 22201 例1：求下列各数的相反数和绝对值. 2，-，3，0，-0.4. 典例分析 22201 例2：比较下列每组数的大小：(1)－2和－5；(2)－1.2和－. 解：(1)因为|－2|＝2，|－5|＝5，2＜5，所以－2＞－5. 22201 例3：已知某零件的规定直径是10 mm，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm ＋0.1 －0.15 －0.2 －0.05 ＋0.25 (1)试指出哪件样品的大小更符合要求； 解：(1)因为|-0.05|<|+0.1|<|－0.15|<|－0.2|<|+0.25|， 所以第4件样品的大小更符合要求． 分析：判断哪个产品更符合标准的问题，关键是求各数据的绝对值，绝对值越小的越接近标准． 22201 (2)因为|＋0.1|＝0.1<0.18，|－0.15|＝0.15<0.18，|－0.05|＝0.05<0.18， 所以第1，2，4件样品是正品； 因为|－0.2|＝0.2，0.18<0.2<0.22，所以第3件样品为次品； 因为|＋0.25|＝0.25>0.22，所以第5件样品为废品． (2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm之内是正品，误差的绝对值在0.18 mm～0.22 mm之间的是次品，误差的绝对值超过0.22 mm的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品？ 22201 1.下列说法中，正确的是 ( ) A. 正数与负数互为相反数 B. 符号不同的两个数互为相反数 C. 0 没有相反数 D. 任何一个有理数都有相反数 D 2．下列几对数中互为相反数的一对为（ ） A．+(-8) 和 -(+8) B．-(-8) 与 +(+8) C．-(-8) 与 -(+8) D．-[-(-8)] 与 +(-8) C 随堂练习 22201 3. 化简： | x | = (x ＜0)； | m – n | = (m＞n)。 | 0 | = ； m - n -x 0 4.（1）若 a = 3.2，则 -a = ； （2）若 -a = 2，则 a = ； （3）若 -(-a) = 3，则 -a = ； （4） -(a - b) = 。 -3.2 -2 b - a -3 随堂练习 22201 5．比较下列各组数的大小： （1）- ，- ； （2）-0.5，- ； （3）0，|- |； （4）|-7|，|7|。 |-7| = |7| 随堂练习 22201 解：根据题意可知 6. 已知 | x - 4 |+| y - 3 | = 0，求 x + y 的值。 分析： | a |≥0 | x - 4 |≥0； | y - 3 |≥0 | x - 4 | = 0； | y - 3 | = 0 所以 x＝4，y＝3，故 x＋y＝7。 x－4＝0，y－3＝0。 课堂拓展 22201 相反数与 绝对值 相反数 绝对值 比较数的大小 一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，通常用|a|表示数a的绝对值. 正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0. 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是0. 正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 两个负数，绝对值大的反而小. 课堂小结 22201 第二章 有理数及其运算 2.1 课时3 数轴 22201 1.掌握数轴的三要素，能正确画数轴； 2.能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数; 3.会用数轴比较有理数的大小. 学习目标 22201 1.（1） 和 统称为有理数； （2）整数包括 、0、 ； （3）分数包括 、 . 2.把下列各数填入相应的集合内：5，-2，，0，1.5，，-3.14. 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …};整数集合：{ …}； 分数集合：{ …};正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …} 整数 分数 正整数 负整数 正分数 负分数 5 -3.14 新知探究 22201 问题：（1）图中温度计上显示的温度各是多少？ （2）温度计上的刻度有什么特点？ ﹢5℃ ﹣10℃ 0℃ (2)温度计上的刻度有正数、负数和0，刻度之间的距离是均匀的。 知识归纳 22201 0 思考：(1)如果把温度计平放，我们能从中发现什么？ 零下 零上 分刻度 (2)你能类比温度计，用直线上的点表示有理数吗？ 探究一：数轴 典例分析 22201 在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。 用直线上的点表示有理数的方法 知识要点 22201 如图，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向. 三者称为“数轴三要素”，缺一不可. 数轴 规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴. 原点 正方向 单位长度 像一个平放的温度计. 22201 2.定原点：在这条直线上的适当位置取一点作为原点(如图)，原点表示0; 0 3.定方向：确定正方向，用箭头表示出来（一般规定从原点向右的方向为正方向）; 4.定单位长度：确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数.  0 0 1 2 3 -1 -2 -3   1.先画一条水平的直线； 思考：(3)如何画一条数轴呢？ 22201 练一练 1.判断下面所画数轴是否正确,并说明理由。 × × × × × × × √ 22201 你能用数轴上的点来表示有理数吗？ (1)在数轴上，+3可以用位于原点 边 个单位长度的点表示，-4可以用位于原点 边 个单位长度的点表示. 右 3 左 4 (2)用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？ -1.5 探究二：用数轴上的点表示有理数 典例分析 22201 用数轴上的点表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 正有理数用原点右边的点表示（在数轴上要画出实心的小圆点），负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示。 知识要点 22201 2.(1)指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数． 解：（1）点A表示1.5；点B表示－0.5； 点C表示－3；点D表示3；点E表示－2. 练一练 22201 (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，-3，0，5，-4，-，3，-5. 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 （2）如上图所示. 22201 观察下图中表示3，-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示与-的两个点呢？表示5与-5的两个点呢？ 3个单位长度 3个单位长度 观察·思考 22201 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等.一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离. 绝对值的几何意义 知识要点 22201 将下列各数：，-3，0，5，-4，-，3，-5，按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置(如下图)，你有什么发现?与同伴进行交流。 越来越大 归纳：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. 探究三：利用数轴比较有理数的大小 典例分析 22201 解：（1）－2＜＋6 (正数大于负数）； （2）0＞－1.8 (负数小于零）； 3.比较下列每组数的大小： （1）－2和＋6;　 （2）0和－1.8; （3）－和4.　 （3）－＞－4(数轴上，－所对应的点在－4所对应点的右侧）. 练一练 22201 解：如图所示： 典例分析 22201 例2：一只蚂蚁从原点出发，先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C. (1)写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 解：(1)点A表示2，点B表示5，点C表示－4； (2)蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 A B C 22201 2.如图，在数轴上点M表示的数可能是(　　) A．1.5　   B．－1.5　   C．－2.4　   D．2.4 1.如图所示的图形为四名同学画的数轴，其中正确的是(　　) D C 随堂练习 22201 3.如图所示，点A，B，C，D所表示的数分别是： ____，____，_____，_____． 4.与原点的距离为3个单位长度的点所表示的有理数是_____． ±3 0 －1 －4 －2.5 22201 22201 正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示。 数轴 数轴 用数轴上的点表示有理数 利用数轴比较有理数的大小 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴.通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向. 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大. 课堂小结 22201 |2|＝2，＝，＝3，|0|＝0，|－0.4|＝0.4. 解：2，－，3，0，－0.4的相反数分别是－2，，－3，0，0.4， (2)因为|－1.2|＝1.2，＝＝0.7， 1.2>， 所以－1.2<－. 用“<”连接：－3＜－2＜－1.5＜0＜＜3. 例1：将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接． －2，－3，3，，－1.5，0. 5.如图，指出数轴上点A，B，C所表示的数，并把－4，，6这三个数分别用点D，E，F在数轴上表示出来． 解：由数轴可得，点A，B，C所表示的数分别是－2.5，0，4； －4，，6这三个数分别用点D，E，F在数轴上表示如图所示． $