湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

学 校 班级 姓名」 学号 密封线内不要答题 长沙市一中2026届高三月考试卷(-) 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={一4,0,1,2,8}，B={x|x3=x},则A∩B= A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 2.若复数x=-1十31，则2·- A-1+√3i B.-1-√1 c-3+9 D}- 3.(★)从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个 数字的乘积是奇数的概率为 A青 R号 D 4,函数f(x)=cosx一cos2x是 A.奇函数，且最大值为2 B偶函数，且最大值为号 C奇函数，且最大值为号 D.偶函数，且最大值为2 数学试题（一中版）第11页（共8页） 5.已知函数f(x)满足f(x十1)为奇函数，f(2x一1)为偶函数，则下列-定 成立的是 A.f(一3)=0 B.f(0)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB, AC于不同的两点M,N,若A店=mAM,A心=nAN,m>0,>0,则2十 月的是小值为 A.2 B.9 C.10 D.18 7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2十y2一8x十15=0，若 直线y=kx一2(k∈R)上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的 圆与圆C有公共点，则的最大值为 A者 B号 C.1 8.已知实数x,y,z满足e一e2=e(x一2)≠0，e一e=e(y一e)≠0，e一e =e(x一3)≠0，其中e为自然对数的底数，则x,y,z的大小关系是 Ax<y<z B.y<x< CZ<x<y D.<y< 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，至少有两项符合题月要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选 错或不选得0分) 9.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB1=|AD1=|AA1|=1, 且∠AAD=∠AAB=∠BAD=,M为AC与BD的交点，设AB =a,AD=b,AA1=c,则下列结论正确的是 数学试题（一中版）第2页（共8页） AAC=a十b十c RBi=a-b叶c C.ACl=√6 D.cos(A店，AC)= 3 10.(★)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于 A(x1,h),B(x2y2)两点，则 A抛物线C的准线方程为x=一4 B.若|AF=8,则=6 C.|AF!·|BF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC的中点，则 下列说法正确的是 A若AD=csin B,则△ABC是等腰三角形 B若AD-密会则△ABC是直角三角形 C,若AD<号，则△ABC是钝角三角形 D,若AD>号，则△ABC是锐角三角形 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列{a,}的通项公式为a,=2h5(n∈N),则数列(a}的最大项 为第 项， 13.若曲线y=(x十a)e有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围 是 14.已知5件产品中恰有2件次品，现逐一检测，直至能找出所有次品为 止，记检测的次数为X,则E(X)= 数学试题（一中版）第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.（本题满分13分) 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了 100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，试分析对机器人表演节目 的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件A=“选到的观众是男 性”，事件B=“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较 P(B引A)和P(BA)的大小，并解释其意义. n(ad-bc)2 附：t=a+bc+)a十c)6+dn=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 Ta 3.841 6.635 10.828 16.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC AB∥DC,AB=号CD=AD=1,M为棱PC的中点. (1)证明：BM∥平面PAD; (2)若PC=√5，PD=1,在线段PA上是否存在一点Q,使得点Q到平 面8BDM的距离是2？若存在，求出PQ的值，若不存在，请说明 理由， 数学试题（一中版）第5页（共8页） 17.(★)（本题满分15分） 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n十c,其中c为常数. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}为等差数列. (1)若6，=ag求数列G的前n项和： cn-1·CmJ (i)若数列6，}的前n项和为T,且6，=受，求证：T,<5。 数学试题（一中版）第6页（共8页） 18.(本题满分17分) 在平面直角坐标系0y中，已知椭圆C:三+芹=1(a>b>0)的焦点 与短轴两个顶点所成三角形的面积为，离心率为号 (1)求椭圆C的方程； (2)设A(4,0),B(0,2),点P是椭圆上且在第三象限内的一点. (I)当△PAB的面积取最大值时，求点P的坐标； (I)记直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四 边形ABNM面积的最大值 数学试题（一中版）第？页（共8页） 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=xlna,g(x)=alnx. (1)若Vx∈(0，十∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值集合； (2)在(1)的条件下，若函数C(x)=g(|x+2到)一x2+2x,G'(x)的两 个零点分别为与x2,且x1<x2,求证：G(x2)一4x2一4< -G(-01)-40; (③)已知正整数n清足e<山号<洁，试求出所有满足条件的元 (已知e≈2.718) 数学试题（一中版）第8页（共8页）