第3章 勾股定理 测试卷-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

第3章测试卷 一、选择题 1.(2024秋·泉港区期末)下列各组数中，属于“勾股数”的是 () A.2,4,6 B.4,6,8 C.6,8,10 D.8,10,12 2.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地 B,在AB间建一条直水管，则水管的长为 () A.45m B.40m C.50m D.56m 北 西0 东 A B'B. ---------0-------- 南 第2题 第6题 第7题 第8题 3.(2025春·长沙期中)下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是 ( A.1,√5,2 B.2,3,4 C.3,4,5 D.5,12,13 4.(2025春·东丽区期中)直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为 () A.26 B.13 C.8.5 D.6.5 5.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m,消防车的云 梯最大升长为13m,则云梯可以达到该建筑物的最大高度是 ( A.12m B.13m C.14m D.15m 6.如图，长方形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小长方形的周长之和为() A.14 B.16 C.20 D.28 7.(2025春·江汉区阶段考)如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚 好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为 () A.6 B.12 C.13 D.25 8.(2024秋·福山区期末)如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m, 某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C” 为8m,则BB'的长为 () A.1m B.2m C.3m D.4m 二、填空题 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=9,则AB= 10.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1，当它把绳子的下端拉开 5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 m, ·94· 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交 AB于点D,则BD= 10 第11题 第13题 第14题 12.已知△ABC的三边长为a,b,c,满足a十b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三 角形 13.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么两正方形的面积分别为 14.(2023·荆州改编)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若CE=4, CD=5,则BC= 15.(2024秋·双流区期末)我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另 一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形 分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾 股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6,CD=2, 则长方形的面积为 D E E B 图1 图2 图1 图2 第15题 第16题 16.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦 五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证 勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D,E,F,G, H,I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 三、解答题 17.如图，已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8.求BC的长. ·95· 18.(2024春·宣州区期中)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政 策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质， 学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地 (1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时，一边的小明很快 给出这块试验基地的面积.你求出的面积为 m2. (2)八(2)班的劳动实践基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m(如图)，你 能帮助他们求出面积吗？ 19.作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列 要求画出图形 (1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长 度为5； (2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上，请画出所有满足条件的 点C 20.(2025春·稷山县期中)2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日 在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天 和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路 线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160m,AC=200m,点C在点B的正东方 120m处，点D在点C的正北方50m处， (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较 谁跑的路线更短， 北 西 一东 南 人工湖 ·96· 21.(2023·长沙一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE. (1)若∠A=35°，求∠CBE的度数； (2)若AE=13,EC=5,求△ABC的面积. 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,若点P是边AB上的一个动点，以每秒 3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当 一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.在运动过程中，设运动时间为t,当t为 何值时，△BPQ为直角三角形？ p 23.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他 惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下 面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 证明：连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b一a. SBsB=S6Am十5ax=2b2+ab, 又C=Sus+Saxs=2c2+2a(b-a）, 262+1 1 ab 2c2+ 2a(6-a), C a B 图1 图2 ∴.a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2十b2=c2 ·97·CB,∴.∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO, 又.∠CAO+∠COB+∠COA+∠CBO=180°， ∴.∠CAO+∠CBO=∠COA+∠COB=90°，∴.AO⊥ OB,∴.MO⊥PN;(2)第三小组的测量方案是：如图 3,在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子 AB,AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长 度，若OC=OB,则墙体与地面垂直，即MO LPN于点 O,否则不垂直.证明：：AC=AB,∴.△ABC是等腰 三角形，若OC=OB,则OA是等腰△ABC的中线，根 据等腰三角形性质可知AO⊥BC,即MO⊥PN. B(A G H 第11题 第15题 图1 图2 -N PC O B 图3 第16题 第3章测试卷 1.C2.B3.B4.D5.A6.A7.B8.B 9.1510.1211.212.直角13.12,2414.6 15.4816.6017.2118.(1)30(2)如图，过A 作AD⊥BC交BC于点D.设BD=xm,则CD= (14-x)m,在Rt△ABD和Rt△ACD,由勾股定理得 152-x2=132-(14-x)2,解得x=9,在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD=√AB2一BD=√I52-92= 12(m,SAAm=号BC·AD=号X14X12= 84(m).19.(1)如图所示：由勾股定理得：AB= √32+42=5，即AB即为所求作的线段.(2)分两种 情况：①当AB为等腰三角形的一腰时，分两种情况： (a)以A为圆心，AB长为半径画弧，有3个格点； (b)以B为圆心，AB长为半径画弧，有2个格点；②当 AB为等腰三角形的底边时，顶角顶点C在AB的垂直 平分线上，交点不在格点处，不合题意.综上所述：满足 条件的点C有5个，如图所示.20.(1)AB⊥BC.理 由如下：由题意可知AB=160m,AC=200m,点C在 点B的正东方120m处，即BC=120m,,AB2+ BC2=1602+1202=2002=AC2,∴.△ABC是直角三 角形，∠ABC=90°，∴.AB⊥BC;(2)由题意可知 BC⊥CD,CD=50m.在Rt△BCD中，由勾股定理， 得：BD=√WBC2+CD2=√1202+502=130(m), .AB+BD=160+130=290(m),而AC+CD= 200+50=250(m),.'290>250,∴.AB+BD>AC+ CD..小亮跑的路线更短.21.(1)，∠C=90°， ∠A=35°，∴.∠ABC=90°-∠A=55°.DE是AB 的垂直平分线，∴.AE=BE,∴.∠EBA=∠A=35, .∠CBE=∠ABC-∠EBA=55°-35°=20°； (2)在Rt△ECB中，∠C=90°，EC=5,BE=AE=13, 由勾股定理得：BC=√BE2-EC2=12.,AE=13, EC=5,∴.AC=AE+EC=13+5=18,.△ABC的 面积是号×BC×AC=108.22.①如图1，当 ∠BQP=90时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ.,'BP= 12-3,BQ=112-3=2,解得2=号.②如图2， 当∠QPB=90°时，∠B=60°，∴.∠BQP=30°， ÷BQ=2BP,若0<4，则6=212-30）=号若 4≤6时，则：=23-12)，44放答案为号，号， .1224 头23.连接BD,过点B作DE边上的商BF,则 BF=b-a,:'S五边形ACBED=S△ACB十S△ABE十S△ADE= 号6+6+7b,又：Sa0m=S6a+ 1 Sm十Sae=合ab+22+号a(6-a), +2+h=7b+22+2a6-a 1 1 2b+2{ .a2+b2=c2. ·21· C B c D \C2 第18题 第19题 C 图1 图2 第22题 D A 6 E b C a B F 第23题 第4章平面直角坐标系 课时1点的位置与坐标表示(1) 1.A2.C3.B4.C5.(7,0)6.四 7.(1)A(-1,2),B(2,0);(2)如图所示：C,D点即 为所求.8.(1)，点P(2a-4,a-2)在y轴上， .2a-4=0,.a=2;(2)P(2a-4,a-2)在第 一象限，∴.点P到x轴的距离为a一2，到y轴的距离 为2a一4，.点P到两坐标轴的距离之和为9，.2a一 4+a-2=9,∴.a=5,∴.2a-4=6,a-2=3,∴.点P 的坐标为(6,3).9.B10.C11.B12.(3,30) 13.(1,一2)（答案不唯一）14.(1)已知点 P(-3a一4,2十a),点P在x轴上，则点P的纵坐标 为0，.2+a=0,解得，a=-2,.P(2,0). (2),点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相 等，.点P的横坐标与纵坐标的和为零，∴.一3a 4+2+a=0,解得，a=-1,把a=-1代入得：a225十 2025=2024.15.图略，yx16.(1)-3× (-2)一3=3，-2一(-3)×3=7，∴.点B的坐标是 (3,7).(2)设点E的坐标是(x,y),根据题意，得 |2x一y=4, x=5, 解得 .点E的坐标是(5,6). x-2y=-7, y=6, ·22· (3)-5(m-2)-m=-6m+10,m-2+5m=6m-2, .N(-6m+10,6m-2),当点N位于x轴上时，得 6m-2=0,解得m=号，-6m十10=-6×号+10= 1 8,则N(8,0);当点N位于y轴上时，得一6m十10=0， 解得m= 号，6m-2=6×号-2=8，则N0,8),点 N的坐标为(8,0)或(0,8). y个 43 B -321_9 .123x C42 3 0 第7题 课时2点的位置与坐标表示(2) 1.A2.C3.(3,-4)4.(1,3)5.略6.略 7.(1)B(-2,-3),C(4,-3),D(2,3)(2)(0,3)或 (10,3)或(0，-3)8.A9.(2,2)10.略 11.(1)建立平面直角坐标系，如图.(2)A(-2,3), D(6,1),E(5,3),F(3,2),G(1,5).12.由题意，当 △ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：如 图1所示，PD=OP=5,点P在点D的左侧.过点P 作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中，由勾 股定理得：DE=√PD2-PE2=√52-4=3， ∴.OE=OD-DE=5-3=2,∴.此时D不是OA的中 点，∴.不符合题意.如图2所示，OP=OD=5.过点P 作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中，由勾 股定理得：OE=√OP2-PE2=√52-4=3，∴.此时 点P坐标为(3,4).符合题意.如图3所示，PD=OD= 5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则 PE=4.在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE= √PD2-PE2=√52-4=3，.OE=OD+DE= 5十3=8，.此时点P坐标为(8,4).综上所述，点P的 坐标为(3,4)或(8,4).13.(1)如图直角坐标系即为 所求.(2)存在点C,使△ABC为等腰三角形，所有 满足条件的点C的坐标为C(7,0)或C(4,0)或 C"(-6,0).