期末专题01 全等三角形的七类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

期末专题01 全等三角形的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用全等三角形的性质求解 类型二、添加一个条件使两三角形全等 类型三、全等三角形的判定与性质 类型四、全等三角形中动点多结论问题 类型五、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 类型六、全等三角形中的动点综合问题 类型七、全等三角形中新定义型综合问题 压轴专练 类型一、利用全等三角形的性质求解 核心技巧：先准确判定全等，再直接应用“对应边相等、对应角相等”转移线段和角度。 分点说明： 1. 判定奠基：根据已知条件（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）严格证明两个三角形全等。 2. 性质转移：证明全等后，立即将待求的边、角标记为全等三角形的对应元素。 3. 结合图形：将转移后的等量关系，与图形中的其他条件（如平行、垂直、中点）结合，建立方程或推出新结论。 关键点：全等是工具，核心在于通过全等，将未知元素“转移”到已知或更易求解的位置上。 例1．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵， ． ， ． ， ． 故答案为：4． 【变式1-1】（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 类型二、添加一个条件使两三角形全等 核心技巧：分析已有条件，遵循全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），逆向补充缺失的对应关系。 分点说明： 1. 确定目标：观察图形，明确已知的两对对应相等元素（如边或角）。 2. 判断定理：根据已知条件，推断最可能适用的全等判定定理。 3. 补充条件：补充一个使该定理成立所需的对应相等元素，注意必须是“对应”边或角。 关键点：优先补充图形中“看起来”相等的元素，并确保所加条件与已知条件能构成完整的判定定理，避免SSA（边边角）等无效组合。 例2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．已知，公共边，只需要再添加一组对应边相等即可． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行线的性质得，，再由证明即可． 本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加，理由如下： ， ，， 又， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有 (填序号)． ；②；③；；⑤． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，利用角边角判定三角形全等即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 类型三、全等三角形的判定与性质 核心技巧：判定是前提，性质是工具。先严格依据判定定理证全等，再运用“对应元素相等”转移条件求解。 分点说明： 1. 判定方法：根据已知条件（边、角）选择合适的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），注意对应关系和图形位置。 2. 应用性质：全等后，立即标记所有对应边、对应角相等，作为后续推理的已知条件。 3. 解决问题：利用转移后的等量关系，结合其他几何性质（如平行线、中点等）进行计算或证明。 关键点：判定时确保条件充足且对应；应用性质时需准确识别对应元素，这是解题的核心桥梁。 例3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点，在上，，，且． (1)与全等吗？请说明理由： (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由得到，然后平行导角得到，再由，即可利用证明； （2）由，得到，即可证明平行． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，，根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】：如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，连接，点是延长线上一点，连接、，在上截取，连接． 【问题解决】 (1)若，求的度数； (2)若，，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）依据“”判定和全等得，再根据得，由此可得出的度数； （2）由和全等得，，根据，得，由此可依据“”判定和全等得，据此即可得出线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下： 由可知：， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类型四、全等三角形中动点多结论问题 核心技巧：锁定动态中的“不变关系”，通常是某一对基础三角形恒全等。 分点说明： 1. 找静制动：分析动点运动过程中，哪些边、角关系始终保持不变（如公共边、固定角、等长线段），它们是全等的固定条件。 2. 定基础全等：利用不变条件，证明一组基础三角形（常含动点）在任何位置都全等（如SAS型），这是后续所有结论的基石。 3. 由全等推结论：根据这组恒全等，推出对应边、对应角始终相等，进而判断线段长度、角度、面积等结论是否成立。 关键点：关键在于第一步识别出“不变条件”，并证明出一组核心的恒全等关系，后续结论均由此衍生。 例5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 由证明得出，，可判定②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，可判定①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，可判定④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故可判定③错误；即可得出结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确，符合题意； （已证）， ， 由三角形的外角性质得： ， ， 故结论①正确，符合题意； 作于，于，如图， 则， ， ， ∵，， （全等三角形对应边的高相等）， 平分， 故结论④正确，符合题意； 假设平分，则， 平分， ， ， 则， 即， 在与中， ， ， ， ， ， 而， 故结论③错误，不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 【变式5-2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题综合考查角平分线的性质与判定、平行线的性质及三角形内角和定理．解题关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合平行线的内错角关系推导角度与线段的等量关系． 通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、平行线的性质（内错角相等）以及三角形内角和定理，逐一分析四个结论的正确性，统计错误结论的个数． 【详解】解：过点P作于点G，连接， ∵平分平分于点N，于点M， ∴， ∴，故①正确； ∵，于点N，于点M， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴，由图可知，故③错误； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：A． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可. 【详解】平分， ，①错误； 平分， ， ， ， ， ， ②正确： ， ， ③正确； 当时， 不一定等于， ④错误； ，， ， ⑤错误． 综上，正确的结论有个， 故选D． 类型五、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 核心技巧：按动点的位置或运动轨迹可能引发的不同图形结构（如点在线段上、延长线上或不同侧）进行分类讨论。 分点说明： 1. 找分界点：分析动点运动过程中，哪些特殊位置会改变图形的相对关系（如使边或角的对应关系发生变化）。这些位置通常是分类的临界点。 2. 依类画图：对每一类情况，单独画出准确的示意图，避免想象造成的遗漏或混淆。 3. 逐类求解：在每一类图形下，重新判断全等的条件是否依然满足，并独立完成证明和计算。 关键点：分类的标准必须清晰、不重不漏。通常以动点与图形中其他关键点（如端点、交点）的相对位置作为分类依据。 例6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 【变式6-1】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为 秒． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键；根据题意，分、或、讨论，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∴与全等时，为的中点，则、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 故答案为：或． 【变式6-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 类型六、全等三角形中的动点综合问题 核心技巧：识别并利用“动态中的不变性”，通常是基于一组恒等的边或角，证明核心三角形在任何位置都保持全等。 分点说明： 1. 抓不变关系：在动点运动中，寻找始终保持不变的几何关系，如固定长度的边、固定度数的角、平行或垂直关系。 2. 证基础全等：利用这些不变关系，证明一组包含动点的基础三角形（如△APB与△CQD）在任何位置都全等。 3. 由静推导：基于这组恒等的全等关系，推导出结论中所需的对应边相等、对应角相等，进而解决线段、角度、面积或最值等问题。 关键点：解决问题的根本在于第一步——找到运动中那些像“锚点”一样的固定条件，这是全等关系得以在动态中成立的基础。 例7．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【详解】（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 【变式7-1】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由三角形的高的概念可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，于是得解； （2）由（1）得，，利用可证得，于是可得，由此即可求出的长； （3）由三角形外角的性质可得，，进而可得，依题意得，，然后分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：的两条高与交于点O， ， ，， 又， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得：，， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， ， 依题意得：，， 点F是射线上一点，且， 分以下两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， 当与全等时，点在的延长线上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； ②当点在线段的延长线上时， ， 当与全等时，点在线段上，如图所示： 此时， ，， ， ， 解得：； 综上，当与全等时，的值为或． 【变式7-2】（24-25八年级上·江西新余·期末）如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）； (2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】（1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后再分类讨论，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵，cm，cm，cm，动点速度为，设运动时间为秒． 点在边上，，点在边上，， 故答案为：；； （2）解：①如图1.1，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴ ， ， ②当P在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ， ； t的值为或； （3）在中，，cm，cm，．设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，①时，， ， 解得； ②时， ， ， 解得； 当点P在上，点Q在上，①时，， ∴， 解得， ， ②时， ， ∴， 解得， ， 综上所述， 运动的速度为或或或． 【变式7-3】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M，试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点D在射线上时，连接交直线于点M，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）理由：如图2，作交的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图3，点D在的延长线上，作交的延长线于点F，则，根据全等三角形 的判定和性质定理得到，得到，求得，设，则，得到，如图4，点D在线段上，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：， 理由：如图2，作交的延长线于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）解：当点D在的延长线上时，作交的延长线于点F，如图3， 则， ∴ 又∵，即 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ， ∴， ∴ 的值为； 当点D在线段上时，如图4， 由（1）知：， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 类型七、全等三角形中新定义型综合问题 核心技巧：将新定义准确转化为已知的全等判定条件或性质，并在图形中识别和构造对应的全等关系。 分点说明： 1. 阅读理解：精读定义，明确新概念（如“和谐三角形”、“共边角”）的具体几何条件与规则，并用图形和符号语言进行转译。 2. 条件关联：将新定义中的条件与全等三角形的判定定理（如SSS、SAS）或性质（对应边角相等）建立联系。 3. 应用模型：在图形中寻找或通过添加辅助线构造出满足新定义条件的三角形，并运用全等知识进行证明或计算。 关键点：不要被新名词迷惑，其本质往往是已知全等知识的变式或组合。解题的关键在于将陌生定义“翻译”成熟悉的几何语言和条件。 例8．（24-25七年级下·江苏南京·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)已知四边形是对补四边形．若，则___________°； (2)如图①，中，点、分别在、上，，为与的交点，的延长线与交于点．求证：四边形是对补四边形； (3)如图②，已知．求作对补四边形，使得点、分别在的边，点在的平分线上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据对补四边形的性质求解即可； （2）先证明，结合，求得，再根据三角形的外角性质求得，再利用邻补角的性质即可证明四边形是对补四边形； （3）先利用角平分线的尺规作图法作出的平分线，在角平分线取一点，在任取一点，以点为圆心，为半径作圆，与相交于点和，连接，则四边形为对补四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是对补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是对补四边形； （3）解：如图，四边形为对补四边形， 先利用角平分线的尺规作图法作出的平分线，在角平分线取一点， 在任取一点，以点为圆心，为半径作圆，与相交于点和，连接，则四边形为对补四边形， 作于点，作于点， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为对补四边形． 【变式8-1】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．由全等的性质可知，，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】根据平行线的性质得，结合已知条件可依据“”判定和全等得，由此得，则，再根据，得，据此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的长是 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 s时，． 【答案】6或2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 三、解答题 9．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 11．（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，使与重合，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∵， ∴，即点，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）； 证明将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ∴，，，， ∵，， ∴，即，，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 13．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题01全等三角形的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用全等三角形的性质求解 类型二、添加一个条件使两三角形全等 类型三、全等三角形的判定与性质 类型四、全等三角形中动点多结论问题 类型五、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 类型六、全等三角形中的动点综合问题 类型七、全等三角形中新定义型综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用全等三角形的性质求解 核心技巧：先准确判定全等，再直接应用“对应边相等、对应角相等”转移线段和角度。 分点说明： 1.判定奠基：根据已知条件(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)严格证明两个三角形全等。 2.性质转移：证明全等后，立即将待求的边、角标记为全等三角形的对应元素。 3.结合图形：将转移后的等量关系，与图形中的其他条件（如平行、垂直、中点）结合，建立方程或 推出新结论。 关键点：全等是工具，核心在于通过全等，将未知元素“转移”到已知或更易求解的位置上。 例1.(24-25七年级下·四川眉山期末)如图，△ABC≌△ADE,若AB=8,AC=4,则BE的长为 B 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25七年级下·福建宁德·期末)如图，△AOB≌△COD,∠AOB=110°，OB⊥OC,则 ∠DOB= B 【变式1-2】(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，已知△ABD≌aEBC,AB=3,BC=4.5,且点B在 线段AC上. D B (1)求DE的长： (2)求证：AC LBD 【变式1-3】(24-25八年级上·湖南衡阳·期末)如图，△ABC≌△ADE,点E在边BC上（不与点B,C 重合)，DE与AB交于点F. B E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和. 类型二、添加一个条件使两三角形全等 核心技巧：分析已有条件，遵循全等判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、L),逆向补充缺失的对应关 系 分点说明： 1.确定目标：观察图形，明确己知的两对对应相等元素（如边或角）。 2.判断定理：根据已知条件，推断最可能适用的全等判定定理。 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.补充条件：补充一个使该定理成立所需的对应相等元素，注意必须是“对应”边或角。 关键点：优先补充图形中“看起来”相等的元素，并确保所加条件与已知条件能构成完整的判定定理， 避免SSA(边边角)等无效组合。 例2.(25-26八年级上·全国期末)如图，已知AB=CB，要使△ABD≌aCBD,还需要添加一个条件，你 添加的条件是」 【变式2-1】(25-26八年级上·河北邢台期末)如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交 于点O,AD=AE,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是一·（只需写一个，不添加辅助线） B 【变式2-2】(24-25八年级上·黑龙江七台河·期末)如图，已知AB∥CD,在不添加任何辅助线的情况下， 请你添加一个条件_，使△AB2△C0D B 【变式2-3】(24-25八年级上江苏淮安·期末)如图，EB交AC于点M,交FC于点D,∠E=∠F=90°， ∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论：其中正确的结论有 (填序号) ①∠I=∠2；②BE=CF:③△ACN≌△ABM;④CD=DB;⑤△AFN≌△AEM. E 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、全等三角形的判定与性质 核心技巧：判定是前提，性质是工具。先严格依据判定定理证全等，再运用“对应元素相等转移条件求 解。 分点说明： L.判定方法：根据已知条件（边、角）选择合适的判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、HL),注意对 应关系和图形位置。 2.应用性质：全等后，立即标记所有对应边、对应角相等，作为后续推理的已知条件。 3.解决问题：利用转移后的等量关系，结合其他几何性质（如平行线、中点等）进行计算或证明。 关键点：判定时确保条件充足且对应；应用性质时需准确识别对应元素，这是解题的核心桥梁。 例3.(24-25七年级下·陕西宝鸡期末)如图，点E,F在AC上，AB∥CD,∠B=∠D,且AF=CE. (I)△ABE与△CDF全等吗？请说明理由： (2)BE与DF平行吗？为什么？ 【变式3-1】(23-24八年级上·河南安阳·期末)如图，在△ABC中，D是AC上一点，BF∥AC,DF交 BC于点E,DE=EF (I)求证：△CDE≌ABFE: (2)若AC=8,BF=6,求AD的长. 【变式3-2】(24-25七年级下·重庆江北期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CA的延长线上， BE⊥DF于点E,AB=DF,BC平分∠ABE· 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AC=CF; 2岩F是BC的中点，01=0F,Sam-5,求△1BC的面积 【变式3-3】(24-25七年级下·陕西西安·期末)【问题情境】：如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠BCD=90°，AB=BC,点E是AD延长线上一点，连接BE,点F是DC延长线上一点，连接BF、 EF,在AE上截取AM=CF,连接BM. y B D 【问题解决】 (I)若∠BFC=70°，求∠ABM的度数： (2)若∠EBF=60°，∠ABC=120°，求线段AE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由. 类型四、全等三角形中动点多结论问题 核心技巧：锁定动态中的“不变关系”，通常是某一对基础三角形恒全等。 分点说明： 1.找静制动：分析动点运动过程中，哪些边、角关系始终保持不变（如公共边、固定角、等长线 段)，它们是全等的固定条件。 2.定基础全等：利用不变条件，证明一组基础三角形（常含动点）在任何位置都全等（如SS型）， 这是后续所有结论的基石。 3.由全等推结论：根据这组恒全等，推出对应边、对应角始终相等，进而判断线段长度、角度、面积 等结论是否成立。 关键点：关键在于第一步识别出“不变条件”，并证明出一组核心的恒全等关系，后续结论均由此衍 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 生。 例5.(24-25八年级上·全国期末)如图，0A=OB,OC=OD,OA<0C,∠A0B=∠C0D=36°，连接 AC,BD交于点M,连接OM.下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD;③OM平分∠BOC;④MO平 分∠AMD中，正确的个数为() D A.1 B.2 C.3 D.4 【变式5-I】(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若∠DAB的 角平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC,得到如下结论：①∠AEB=90°；②AB-AD=BC: ⑨D-D5:@EC0,⑤若B-x,则的取值范国为0<B<,那么以上结论正确的个数是 2 () E A.2 B.3 C.4 D.5 【变式5-2】(23-24八年级上·山东滨州·期末)如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P, PW⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论：①PM=PN;②点P在 ∠CAB的平分线上：③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式5-】(2425七年级下全国期末)如图，在△18 ∠C=90°，AD∠BAC,DE⊥AB 中， 平分 于点E, 下列结论：OCD=BD,②1C+BE=AB:③∠BDE=∠B1C:④BE=DE,OS SABDE SAACD=BD:AC 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的个数为() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 类型五、利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 核心技巧：按动点的位置或运动轨迹可能引发的不同图形结构（如点在线段上、延长线上或不同侧）进 行分类讨论。 分点说明： 1.找分界点：分析动点运动过程中，哪些特殊位置会改变图形的相对关系（如使边或角的对应关系发生 变化)。这些位置通常是分类的临界点。 2.依类画图：对每一类情况，单独画出准确的示意图，避免想象造成的遗漏或混淆。 3.逐类求解：在每一类图形下，重新判断全等的条件是否依然满足，并独立完成证明和计算。 关键点：分类的标准必须清晰、不重不漏。通常以动点与图形中其他关键点（如端点、交点）的相对位 置作为分类依据。 例6.(24-25八年级上·甘肃张掖期末)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=5,延长边BC到点 E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动， 当△ABP和△DCE全等时，△DCE会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则△DCE首次闪烁与第二次 闪烁的时间间隔为秒， BP 【变式6-1】(24-25七年级下·河北保定·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm, 顶点C在直线MN上，点P以3cm/s的速度沿A→C→B向终点B运动，同时点Q以5cm/s的速度从点B 开始，在线段BC上往返运动（即沿B→C→B→C→…运动），当点P到达终点B时，P,Q同时停止运 动.过P,0分别作直线MN的垂线段，垂足分别为D,E,设运动时间为()，当△PCD与△OCE全等时， 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f= S B MD 【变式6-2】(24-25七年级下·安徽宿州期末)如下图，在四边形ABCD中，AD=BC=10,AD∥BC, 点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速 度，沿C→B→C做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.BD=14,点G为BD的 中点，两个点同时出发，设移动时间为t秒，在移动过程中，当△DEG与△BFG全等时，t的值为_秒. F 【变式6-3】(24-25七年级下·江西景德镇期末)如图，在Rt△DEF中， ∠E=90°，EF=3cm,DE=4cm,DF=5cm,在Rt△ABC中 ∠C=90°，∠A=∠D,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm.现有一动点P,从点C出发，沿着三角形的边 CB→BA→AC运动，回到点C停止，速度为3cm/s.若另外有一个动点Q,与点P同时出发，从点A开 AB→BC→CA 始沿着边 运动，回到点A停止.若在两点运动过程中的某一时刻，恰好 ABPO和ADEF全等， 设点Q的运动速度为cm/s,则v的值为一 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、全等三角形中的动点综合问题 核心技巧：识别并利用“动态中的不变性”，通常是基于一组恒等的边或角，证明核心三角形在任何位置 都保持全等。 分点说明： 1.抓不变关系：在动点运动中，寻找始终保持不变的几何关系，如固定长度的边、固定度数的角、平行 或垂直关系。 2.证基础全等：利用这些不变关系，证明一组包含动点的基础三角形（如△APB与△CQD)在任何位置 都全等。 3.由静推导：基于这组恒等的全等关系，推导出结论中所需的对应边相等、对应角相等，进而解决线 段、角度、面积或最值等问题。 关键点：解决问题的根本在于第一步找到运动中那些像“锚点”一样的固定条件，这是全等关系得以 在动态中成立的基础。 例7.(24-25七年级下·四川达州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,E为BC上一动点， 连接AE,AF⊥AE,垂足为A.过点F作FD⊥AC于点D,AD=EC. 图1 图2 (I)如图1，连接EF,试说明EC+CD=DF, (2)如图2，连接BF,交AC于点G,△FDG与△BCG全等吗？请说明理由. (3)在(2)的条件下，若△FDG的面积为2，求△ABE的面积 【变式7-1】(24-25八年级上·内蒙古乌海·期末)如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD, AC=6 备用图 (I若∠DB0=23°，则LDAC= (2)求B0的长： 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点F是射线BC上一点，且CF=AO,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终 点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时， PD两点同时停止运动，设运动时间为1（秒），当△1OP与△FC0金 与 全等时，直接写出t的值 【变式7-2】(24-25八年级上江西新余期末)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm, BC=12cm,AB=20cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A 停止，速度为4cm/s,设运动时间为t秒. D D 图① 图② (I)如图①，若点P在边AC上，AP= cm,若点P在边BA上，AP=cm(用t表示)： (2)如图①，当t= 秒时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； (3)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=8cm,DF=10cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一 个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一 △APQ 时刻，恰好 全等于aDEF 求点的运动速度 【变式7-3】(23-24七年级下·江苏泰州·期末)已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,D为直线BC 上一动点，连接AD,在直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD. A C D 6 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F,求证：△ACD≌△EFA: (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交直线AC于点M,试探究BM与EM的数量关系， 并说明理由. 10/17