第1章 课时11 线段垂直平分线与角平分线(2)-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时11线段垂直平分线与角平分线(2) 二基础练习 1.(2024·青海)如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离 是 () A.4 B.3 C.2 D.1 B D B 第1题 第2题 第3题 第4题 2.(2024·绵阳)如图，在△ABC中，AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为 E,△ABD的面积为5，则DE的长为 () A.1 B.2 C.3 D.5 3.(2025·江城区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为点 E,AD=6,AC=10,则DE的长是 () A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2024秋·兰州期末)如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平 地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在 () A.△ABC三边中线的交点 B.△ABC三个角的平分线的交点 C.△ABC三边高线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 5.(2025·青秀区阶段考)如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应 设备，倍受大众喜爱.该太阳能安装后，我们可以将其看作△ABC(如图2).为了使其更加牢 固，安装工人增加了AE,DE两根支架.若支架AE与地面CE呈60°，支架DE⊥AB,∠C= 90°，∠BAC=2∠B,CE=0.8m,则DE的长为 () A.0.6m B.1.6m C.0.8m D.1m 图1 图2 D 第5题 第6题 第7题 第8题 6.(2025春·榆次区期中)如图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于 点D.若OD=3,△ABC的面积是50，则△ABC的周长为 () 入碧 B.25 c罗 D.50 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△AcD= 8.(2025·宁乡市模拟)如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E为射线BA上一动点，若 OD=3,则OE的最小值为 ·30· 9.利用网格作图： (1)在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等. (2)在射线AP上找一点Q,使QA=QB. 10.(2025春·武侯区阶段考)如图，BE,CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM 于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证：点E在∠NAM的角平分线上. B P M 售能力训练 11.(2024秋·合肥期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2,BC=5,BD是∠ABC的平分 线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1,S2,则S1:S2的值为 () A.5:2 B.2:5 C.1:2 D.1:5 l.cm d,cm D 701.cm d.cm D 第11题 第12题 第13题 第14题 12.(2024秋·莘县期末)如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角 平分线BE和CD,BE,CD相交于点P,连接AP,下列结论中错误的是 () A.∠BPC=120i B.AP平分∠BAC C.AD=AE D.S△PBA:S△PCA=AB:AC 13.(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在 ∠AOB的平分线上，则 () A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.L1与l2一定不相等 14.(2024秋·忻州期末)如图，在△ABC中，S△ABc=21,∠BAC的平分线AD交BC于点D, 点E为AD的中点.连接BE,点F为BE上一点，且BF=2EF.若S△Dr=2,则AB: AC= ·31· 15.(2024秋·宜兴市期末)如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于 E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问：BF与CG的大小如何？证 明你的结论 16.(2025春·城关区阶段考)如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E,F在AC上，BD=DF,证明： (1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB. 壁拓展提升 17.(2025春·新郑市阶段考)【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿 AF画一条射线AP,交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q,若PQ=4,AC=6,求△APC的 面积. AR(O) AR(O D D D E 0 F C B 图1 图2 图3 ·32·又：SaD=2AD·BD,SAM=2BC·AC,号 AD·BD=2BC·AC.:AD=BC,BD=AC. 0 0 A 第11题 12.证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AC=A'C', .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL), AD=A'D', ∴.CD=C'D'.,AD与A'D'分别为BC,B'C边上的 中线，∴.CB=C'B'=2CD,在Rt△ABC和Rt△A'B'C (AC=A'C', 中，∠C=∠C'=90°，.Rt△ABC≌Rt△A'B'C CB=C'B', (SAS).13.(1)根据AAS证明△AEF≌△AED (2)解：在Rt△ABF和Rt△ACD中， AB=AC,:.R△ABF2R△ACD(IH),BF= AF-AD, CD=7.DE=3,.CE=CD-DE=7-3=4. 14.(1)二(2)证明：，∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠BDC=∠CEB=90°，在△DOB和△EOC中， ∠BDO=∠CEO, ∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS), OB=OC, ∴.OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中， OD=OE, .Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),.∠1= OA=OA, ∠2. 课时10线段垂直平分线与角平分线(1) 1.D2.C3.A4.135.36.187.F 8.(1)证明：EF垂直平分AC,.AE=EC. AD⊥BC,BD=DE,.AB=AE,∴.AB=EC; (2)解：，△ABC的周长为19cm,.AB+BC+ AC=19 cm..AC=8 cm,.'AB+BC =11 cm. AB=EC,BD=DE,.AB+BD=DE+EC= DC..AB+BC=AB+BD+DC=2DC=11 cm, ·6· &DC=号cm 9.略10.证明：在△AOB与 ∠A=∠C, △COD中，3OA=OC, ∴.△AOB≌△COD ∠AOB=∠COD, (ASA),∴.OB=OD,∴.点O在线段BD的垂直平分 线上.BE=DE,∴.点E在线段BD的垂直平分线 上，.OE垂直平分BD.11.C12.B13.C 14.715.证明：，DE∥BC,.∠CDE=∠DCF. ,CD平分∠EDF,∴.∠CDF=∠CDE,∴.∠CDF= ∠DCF,.DF=CF,∴.点F在线段CD的垂直平分 线上.，AD=AC,∴.点A在线段CD的垂直平分线 上，.AF垂直平分CD.16.证明：，DE⊥AB, AC⊥BC,.∠AED=∠ACB=90°.又，AD平分 ∠BAC,,∴.∠DAE=∠DAC.,·AD=AD,在△AED ∠AED=∠ACD, 和△ACD中，∠DAE=∠DAC,∴.△AED≌△ACD AD=AD, (AAS),.AE=AC,DE=DC,∴.AD平分线段EC, 即直线AD是线段CE的垂直平分线.17.(1)AC⊥ BD,AO=CO(2)①EG垂直平分HF;②证明： ,EG垂直平分HF,.EH=EF,GH=GF,.四边 形EHGF是个“筝形”；(3)，四边形EHGF是筝 形，.EG⊥HF,.“筝形”风筝EHGF的面积= △EHF的面积十△HGF的面积=号HF·EI+ 合HP·1G=号HF·(EI+1G)=合HF·BG= 合×40X60=120(cm. 课时11线段垂直平分线与角平分线(2) 1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.18.3 9.略10.证明：：BE,CE分别为△ABC的两个外 角∠CBM,∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥ BC于点D,EQ⊥AN于点Q,.EP=ED,EQ=ED, .EP=EQ,又EP⊥AM,EQ⊥AN,∴.点E在 ∠NAM的平分线上.11.B12.C13.A 14.4:315.相等.证明如下：连接EB,EC,AE 是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G, .EF=EG.:ED⊥BC于D,D是BC的中点， .EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中， EB=EC, .Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),∴.BF= EF=EG, CG.16.证明：(1)：AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB,DC⊥AC,∴.DE=DC.在Rt△CDF和Rt (DF=BD, △EDB中， ∴.Rt△CDF≌Rt△EDB DC=DE, (HL),∴.CF=EB;(2).AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB,DC⊥AC,.CD=DE.在Rt△ADC与Rt ICD=ED,:.R△ADC≌R△ADE △ADE中，AD=AD, (HL),..AC=AE,..AB=AE+BE=AC+EB= AF+CF+EB=AF+2EB.17.(1)AP是∠BAC 的平分线，理由如下：如图1，在△ADF和△AEF中， (AD=AE, AF=AF,∴.△ADF≌△AEF(SSS),∴.∠DAF= DF=EF, ∠EAF,∴.AP平分∠BAC;(2)如图2，过点P作 PM⊥AC于点M,,AP平分∠BAC,PQ⊥AB, PM-PQ-4.SAweACPM6X 4=12. A(0) A(0) D D 0 F P 图1 图2 第17题 课时12等腰三角形(1) 1.C2.A3.B4.C5.B6.1007.30° 8.,AB∥CD,∴.∠MFD=∠1=122°，∠MFD= ∠AEF,∠2=∠AEG.,GE=GF,∴.∠GFE= ∠GEF=180°-∠MFD=180°-122°=58°，.∠2 180°-58°-58°=64°.9.证明：过点A作AF⊥BC 于点F,AD=AE,∴.DF=EF.:BD=CE, .BF=CF,.AB=AC.10.C11.D12.100° 13.(1)证明：，AC=BC,∠ACB=120°， .∠CAB=∠CBA=30°.，BE⊥AB,.∠CBE= 30°+90°=120°，∴.∠ACB=∠CBE,在△ACD和 (AC=CB, △CBE中，∠ACB=∠CBE,.△ACD≌△CBE CD=BE, (SAS);(2)解：∠APC=60°，理由如下： '△ACD≌△CBE,∴.∠CAP=∠PCD. .∠ACP+∠PCD=120°，∴.∠CAP+∠ACP= 120°，.∠APC=180°-120°=60°.14.证明：如图， 连接DF,,∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE十 ∠CAE=90°，.∠BCE=∠CAE.:'AC⊥BC,BF∥ AC,∴.BF⊥BC,.∠ACD=∠CBF=90°.AC= CB,∴.△ACD≌△CBF,.CD=BF.'CD=BD= 合BC,BF=BD,△BFD为等股直角三角形 ∠ACB=90°，CA=CB,.∠ABC=45°. :∠FBD=90°，.∠ABF=45°，∴.∠ABC= ∠ABF,即BA是∠FBD的平分线，∴BA是FD边 上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分 DF.15.(1)①40②∠C=2∠D,理由如下： :AD∥BC,.∠D=∠DBC,又AB=AD, .∠D=∠ABD,∴.∠ABC=2∠D.AB=AC, ∴.∠C=∠ABC=2∠D;(2)平行，如下：AB= AC,.∠ABC=∠C=2∠D,又AB=AD, .∠ABD=∠D,.∠DBC=∠D,.AD∥BC. 16.(1)50°(2)证明：，AB=AC,∴.∠ABM= ∠C,由旋转得：∠AEN=∠C,∠BAM=∠EAN=a, AD=AE=AB,∴.∠ABM=∠AEN,在△ABM和 ∠ABM=∠AEN, △AEN中，AB=AE, ∴.△ABM≌△AEN ∠BAM=∠EAN, (ASA),∴.AM=AN;(3)解：①如图1，当MD= MO时，由旋转得：∠MDO=40°，.∠MOD=40°， ∴.∠AMO=2∠MDO=80°.，∠AMO=∠ABM+ ∠BAM,.∠BAM=80°-40°=40°，∴.a=40°；②如 图2，当DM=DO时，由①得：∠MDO=40°， ·∠DOM=180'-)MD0=70.·∠AM0= 2 ·7·