第04讲 角平分线和垂直平分线的性质与判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第04讲 角平分线和垂直平分线的性质与判定 知识点1：角平分线的性质和判定 知识点2：垂直平分线的性质和判定 知识点3：尺规作图-角平分线和垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1：利用线段垂直平分线的性质求角】 【典例1】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2：利用线段垂直平分线的性质求边长】 【典例2】如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【变式3】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3：线段垂直平分线的判定】 【典例3】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【变式1】已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【变式2】如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【变式3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型4：角平分线的性质定理】 【典例4】如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1】在Rt中，，的角平分线交于点D，，则点D到的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式2】如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．120 B．60 C．45 D．30 【题型5：角平分线的判定定理】 【典例5】如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【变式1】如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是∠BAC的平分线． 【变式2】如图，已知垂足为，垂足为，，．    (1)求证：平分； (2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程． 【变式3】如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【题型6：角平分线性质的实际应用】 【典例6】如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【变式2】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．   （一）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （二）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型7：尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【典例7】如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【变式1】商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【变式2】如图所示，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【变式3】如图，物流超市A，B在街道m和n之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站到物流超市A，B的距离相等，且到街道m和n的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站Q的具体位置．（不写作法，保留作图痕迹） 一、单选题 1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 3．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（      ） A．3 B． C．4 D．6 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的长等于27，则的长是（    ） A．50 B．27 C．23 D．25 二、填空题 6．如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 7．如图，中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 8．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 9．如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 三、解答题 10．尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 11．如图，已知． (1)在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，且，求的长． 12．如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 13．综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的（几何原本）第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：_______________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由． 14．如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 角平分线和垂直平分线的性质与判定 知识点1：角平分线的性质和判定 知识点2：垂直平分线的性质和判定 知识点3：尺规作图-角平分线和垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1：利用线段垂直平分线的性质求角】 【典例1】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， ，， 周长为． 【变式1】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及中垂线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，先由中垂线性质得到，再结合等边对等角确定，再由直角三角形两锐角互余得到，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握中垂线的性质及三角形的相关知识是解决问题的关键． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，，则， ， 故选：C． 【变式3】如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可； 【详解】解：， ， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：B 【题型2：利用线段垂直平分线的性质求边长】 【典例2】如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可. 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴， ∴ 的周长， ∵， ∴ 故选：A． 【变式2】如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 【变式3】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图可知，直线是线段的垂直平分线，即得，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【题型3：线段垂直平分线的判定】 【典例3】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【答案】详见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据题意易证，得出，即又可证，得出，，说明直线是线段的垂直平分线． 【详解】证明：如图，设，交于点O， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，即， ∴直线是线段的垂直平分线． 【变式2】如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型4：角平分线的性质定理】 【典例4】如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， 是的角平分线，， 故选：C． 【变式1】在Rt中，，的角平分线交于点D，，则点D到的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点D作交于点E，利用角平分线性质即可得到本题答案． 【详解】解：过点D作交AB于点E， ∵， ∴， ∵AD是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点D到的距离是3， 故选：A． 【变式2】如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，过作交的延长线于，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握角平分线的性质定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过作交的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∴四边形的面积， 故选：． 【变式3】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．120 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到为的角平分线，进而得到点到的距离相等，再利用三角形的面积公式进行计算即可，掌握角平分线的作图方法，以及角平分线上的点都角两边的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：由作图方法可知：为的角平分线， ∵点在上， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∵，即， ∴的长即为点到的距离， ∴， ∴的面积是； 故选B. 【题型5：角平分线的判定定理】 【典例5】如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 【变式1】如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD． 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是∠BAC的平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可； （2）由全等三角形的性质得DE=DF，再由角平分线的判定即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）； （2）由（1）得：△BDE≌△CDF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键． 【变式2】如图，已知垂足为，垂足为，，．    (1)求证：平分； (2)丁丁同学观察图形后得出结论：，请你帮他写出证明过程． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得平分； （2）首先用判断出，根据全等三角形的对应边相等得，结合，根据线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 平分； （2）解：， 在和中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． 【变式3】如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 【题型6：角平分线性质的实际应用】 【典例6】如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 【变式1】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 【变式2】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系． 【详解】解：∵由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∵，且点在第二象限， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． （一）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （二）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型7：尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【典例7】如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】见解析，分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 【变式1】商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式2】如图所示，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点，交于D，交于点E即可； （2）等边对等角，易得，进而得到平分，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴． 【变式3】如图，物流超市A，B在街道m和n之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站到物流超市A，B的距离相等，且到街道m和n的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站Q的具体位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握尺规作角平分线，尺规作线段的垂直平分线． 作的线段的垂直平分线，再作出街道m和n构成的角的平分线，与的线段的垂直平分线的交点Q即为所求． 【详解】解：如图所示，中转站Q即为所求． 一、单选题 1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 3．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（      ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边距离相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 5．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的长等于27，则的长是（    ） A．50 B．27 C．23 D．25 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，的长等于27， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 二、填空题 6．如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，垂足为O， ∴， ∴． 故答案为：10． 7．如图，中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键．过点作,如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形面积公式得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作,如图所示： ，平分， ， ， , 故答案为：． 8．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 9．如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线、垂直平分线等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由P到的两边的距离相等，根据角平分线的性质得到P点在的角平分线上；由，得到，根据垂直平分线的性质得到点P在的垂直平分线上．据此作的角平分线与的垂直平分线交与点P即可． 【详解】解：点到边的距离相等， P点在的角平分线上； ， ， 点P在的垂直平分线上； 点P为的角平分线与的垂直平分线的交点， 如图所示，点P为所求． 11．如图，已知． (1)在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，且，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作， （1）作的平分线交于点； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，再根据角的直角三角形即可得出答案； 掌握基本作图，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质和角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于点， ∵平分， ∴点到，边的距离相等， 则点为所作； （2）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴的长为． 12．如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 13．综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的（几何原本）第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：_______________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 14．如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：在与中， ， ， ， ，， 由（1）知，， ， ∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$