第三章 整式及其加减 单元培优 练习2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第三章《整式及其加减》单元培优—2025-2026北师大版数学七年级上册 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．用下列各式分别表示下面几何图形的面积，其中表示正确的有（　　） ①② ③④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（　　） A．1 B．4 C．7 D．9 3．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式中各代数式前面数字的规律（按的指数由大到小的顺序依次排列，的指数由小到大的顺序依次排列）．观察这些数字的规律，求出的展开式中各代数式前面数字的和为（　　） A．32 B．64 C．128 D．136 5．观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑧个图形有（　　）个点． A．96 B．112 C．144 D．160 6．观察下列关于m，n的单项式的特点：m2n，m2n2，m2n3，m2n4，m2n5，……，按此规律，第n个单项式是（ ） A． B． C． D． 7．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 8．如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（　　） 上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：． A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知多项式 是二次多项式，则 　 　. 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为　 　． 　 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 …… 11．在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）． 12．下列说法： ①若，则； ②单项式和多项式都是五次整式； ③若，，则的结果有两个； ④若的运算结果中不含项，则常数项为．其中一定正确的结论是　 　(只填序号)． 13．某市用水进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是某户月份用水量和交费情况： 月份 1 2 3 4 用水量吨 4 价格元 8 那么每月用水量规定的吨数是　 　吨，若用水吨（大于规定吨数），则应交水费　 　元． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．（1）有这样一道题：“当，求代数式：7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ （2）小红做了一道数学题：“已知两个多项式为A、B，其中B=4a2﹣5a﹣6，求A+B的值．”粗心的小红误将“A+B”看成“A﹣B”，结果求出的答案是10a﹣7a2+12，请你帮助小红求出正确的A+B的结果． 15．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知． （1）请说明原点在第　 　部分； （2）若的长是多项式的一次项系数，的长是单项式的次数，是最大的负整数，求； （3）在（2）的条件下，若将点移动2个单位长度到达点，则点表示的数是多少？ 16．小明有以下8张卡牌，第一组卡牌上标有数，第二组卡牌上标有多项式，请你根据要求完成以下任务． 任务1：请在第一组卡牌中选择3张卡牌，使所标数的积最小，请列出算式并求得结果； 任务2：请在第一组中选择1张卡牌，在第二组中选择2张卡牌，使这3张卡牌上所标的数与多项式相加，化简后结果为二项式，请列出算式并求其结果． 17．阅读理解：蕊蕊是一个勤奋好学的学生，她常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是她从网络搜到的两位数乘的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”，例如：①．计算过程：两数拉开，中间相加，即，最后结果；②．计算过程：两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果． （1）计算：①______，②______； （2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（），将这个两位数乘，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______；（用含a、b的代数式表示） （3）请你结合（2），利用所学的知识解释其中原理． 18．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： （1）在下列多项式中，属于“标准多项式”的是　 　；（填写序号） ①；②；③． （2）若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． （3）已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 　 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米 超出10立方米的部分 8元/米 注：水费按月结算 　 （1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元． （2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ （3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 20．《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题． “聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题 （1）请按照“聪慧组”同学的思路填空 ； ________； 猜想： ； （2）为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； 进一步可猜想： ___________． 通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． （3）请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】13 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】①③④ 13．【答案】11；（3a﹣11） 14．【答案】（1）代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的；理由如下： ∵7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3 =（7+3-10）a3+(-6+6)a3b+(3-3)a2b+3 =0+0+0+3 =3， 化简后的代数式是一个常数3， ∴代数式的值与a，b无关，小明的说法是有道理的. （2）∵A﹣B=10a﹣7a2+12；且B=4a2﹣5a﹣6， ∴A=10a﹣7a2+12+B =（10a﹣7a2+12）+（4a2﹣5a﹣6） =10a-7a2+12+4a2-5a-6 =5a﹣3a2+6， ∴A+B=（5a﹣3a2+6）+（4a2﹣5a﹣6） =5a﹣3a2+6+4a2﹣5a﹣6 =a2． 答：A+B的结果是a2． 15．【答案】（1）③ （2）解：的长是多项式的一次项系数 ， 的长是单项式的次数， ， ， 是最大的负整数， ， ； （3）解：， ， ①当点向右移动2个单位长度到达点，则点表示的数为4， ②当点向左移动2个单位长度到达点，则点表示的数为0， 点表示的数是0或4． 16．【答案】解：任务1：根据题意得：； 任务2：． 17．【答案】（1）①；②； （2）a，，b； （3）解：两位数乘以可以看成这个两位数乘以再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则这个数为： 则 根据上述代数式，总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一． 18．【答案】（1）①③ （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式” （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式” 19．【答案】（1）8 （2）解：根据题意，得元， ∴该用户3月份应交水费元； （3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份）， ∴4月份的用水量少于6立方米， ∵4月份用水立方米， ∴5月份用水立方米， 当时，有， ∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元， ∴该户居民4，5月份共交水费元； 当时，有， ∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元， ∴该户居民4，5月份共交水费元； 综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元． 20．【答案】（1）； （2）；； （3）解：解法一：设，则， 化简得， 得：， ∴； 解法二：如图， 由图可知：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $