精品解析：广东省揭阳市惠来县2020—-2021学年上学期九年级数学期中考试

2020-2021学年度第一学期期中质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时90分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡"考场号"、"考场座号"栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝50°，则∠ACD的度数为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 5. 某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有( ) A. 8000条 B. 4000条 C. 2000条 D. 1000条 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A. AC：EC＝2：5 B. AB：CD＝2：5 C. CD：EF＝2：5 D. AC：AE＝2：5 7. 如图，菱形OABC的边OC在y轴上，A点的坐标为（4，3），则B点坐标为（　　） A. （4，7） B. （4，8） C. （5，7） D. （5，8） 8. 某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于x的方程 ()的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 如图，在矩形 中，，，点 E 在边上，且 ．连接，将沿折叠，点 C 的对应点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 是一元二次方程的两个实数根，则___________． 12. 若，则的值为___________． 13. 已知方程的解是，则关于的方程的解为___________． 14. 同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是_____． 15. 如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为______. 16. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 17. 正方形、、，按如图放置，其中点、、在x轴的正半轴上，点、、在直线上，则点的坐标为_____________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. （1）计算：； （2）解方程： 19. 如图，在平行四边形中，． （1）尺规作图：在边上确定点E，使点E到边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 20. 钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 23. 在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元． （1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？ （2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 先阅读，再解决问题． 阅读：材料一  配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程可先配方，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题． 材料二  对于代数式，因为，所以，即有最小值，且当时，取得最小值为． 类似地，对于代数式，因为，所以，即有最大值，且当时，取得最大值为． 解答下列问题： 填空：①当________时，代数式有最小值为________； ②当________时，代数式有最大值为________． 试求代数式的最小值，并求出代数式取得最小值时的的值． （要求写出必要的运算推理过程） 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒． （1）当t＝　 　时，四边形ABQP是矩形； （2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由； （3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值； （4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是 　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年度第一学期期中质量监测 九年级数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时90分钟． 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、考场座号，填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔在答题卡"考场号"、"考场座号"栏涂上自己的考场号和考场座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； C、含有不等号，不是一元二次方程； D、含有分式，不是一元二次方程． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念（如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形的概念（如果某个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形），逐一判断即可． 【详解】① 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； ② 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； ③ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； ④ 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； 所以既是轴对称又是中心对称的图形有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． 4. 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝50°，则∠ACD的度数为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠ODC，求出∠COD＝∠AOB＝50°，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴∠ACD＝∠ODC， ∵∠COD＝∠AOB＝50°， ∴∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°； 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 5. 某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有( ) A. 8000条 B. 4000条 C. 2000条 D. 1000条 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条， ∴有标记的占到， ∵有200条鱼有标记， ∴该河流中有野生鱼200÷=4000（条）； 故选B． 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A. AC：EC＝2：5 B. AB：CD＝2：5 C. CD：EF＝2：5 D. AC：AE＝2：5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴AC：EC＝BD：DF＝2：5， AC：AE＝BD：BF＝2：7． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7. 如图，菱形OABC的边OC在y轴上，A点的坐标为（4，3），则B点坐标为（　　） A. （4，7） B. （4，8） C. （5，7） D. （5，8） 【答案】B 【解析】 【分析】延长BA交x轴于点D，过点A作AE⊥OC于点E，由菱形的性质可知AB∥OC，所以点B和点A的横坐标相等，利用勾股定理可求出AO的长，进而可得到BD的长，所以点B的横纵坐标也可求出，问题得解． 【详解】解：延长BA交x轴于点D，过点A作AE⊥OC于点E， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB∥OC， ∵OC⊥OD， ∴BD⊥OD， ∵A点的坐标为（4，3）， ∴OD＝4，AD＝3， ∴OA＝， ∴BD＝AB+AD＝5+3＝8， ∴B点坐标为（4，8）， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及坐标与图形的性质，求出OD，BD的长是解题的关键． 8. 某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格＝原价×（1−降低的百分率），第二次降价后的价格＝第一次降价后的价格×（1−降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程400（1−x）2＝256， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价，难度不大． 9. 已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于x的方程 ()的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 10. 如图，在矩形 中，，，点 E 在边上，且 ．连接，将沿折叠，点 C 的对应点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠DC'E=30°，则∠AC'B=60°，再由锐角三角函数定义得AB=即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=m，∠A=∠D=∠C=90°． ∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上， ∴BC'=BC=6，∠BC'E=∠C=90°，C'E=CE=m，DE=CD-CE=m-m=m， ∴DE=C'E， ∴∠DC'E=30°， ∴∠AC'B=180°-90°-30°=60°， ∴AB=BC'×sin∠AC'B=6×=， 即m=； 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的判定以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. 是一元二次方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，根据是一元二次方程的两个实数根，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 12. 若，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键． 根据比例的性质，可用b表示a，代入可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：5 13. 已知方程的解是，则关于的方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是方程的解．熟练掌握方程解的定义，解一元二次方程，是解题的关键．方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 根据方程解的定义，将代入方程列出关于k的方程，通过解方程求得k值；最后代入方程求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴． 去分母，得， 解得，符合． 代入， 得． 解得． 故答案为：． 14. 同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1， ∴恰好均为正面向上的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为______. 【答案】6 【解析】 【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案. 【详解】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F， 根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AB＝2AE，BC＝2CF， ∵AB2＝AE2+BE2， ∴AB＝2， 同理：BC＝2， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD＝2， ∴S菱形ABCD＝AD•BE＝6. 故答案为：6. 【点睛】此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线. 16. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 17. 正方形、、，按如图放置，其中点、、在x轴的正半轴上，点、、在直线上，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为t，，点在直线的图象上，得出，即，求出，设正方形的边长为a，得出，点在直线的图象上，可得，即，得出，同理求出点的坐标即可． 【详解】解：设正方形的边长为t，则，由点在直线的图象上，可得， ∴， 解得：，得到， 设正方形的边长为a，则，由点在直线的图象上，可得， ∴， 解得：， 得到， 设， 由点在直线的图象上，可得：， ∴， 解得：， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，按照先求，再求，最后求的顺序依次求出结果即可． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）7（2）， 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简算术平方根，绝对值，再运算加法，即可作答． （2）运用因式分解法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵ ∴， 则或， 解得，． 19. 如图，在平行四边形中，． （1）尺规作图：在边上确定点E，使点E到边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于E，则利用角平分线的性质可得到点E满足条件； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，然后计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点E为所作； ； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图－复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点． 20. 钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用树状图，把每种类型画出来，总共有12种，满足题意的有8种,计算概率. 试题解析： 解：将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2， 树状图如图所示： 由树状图知共有12种等可能结果，其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果， 所以抽取的2人来自不同班级的概率为. 点睛：（1）利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）. (2)定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P. (3)列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标. (4)树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率. 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）等腰三角形，理由： ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）直角三角形，理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把是一元二次方程，得出，，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理的应用，根据一元二次方程根的情况，得出a、b、c之间的关系，是解题的关键． 22. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 23. 在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元． （1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？ （2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？ 【答案】（1）商场每天的销量是60瓶；（2）这种酒精的销售单价应该定为20元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，每瓶降低1元，每天可多售10瓶，则单价21元时，多售10×（25﹣21）瓶，由此列式解答即可； （2）设酒精的销售单价应该定为x元，根据题意列出一元二次方程，解方程式取最小值即可． 【详解】（1）20+10×（25﹣21） ＝20+40 ＝60（瓶）． 故商场每天的销量是60瓶； （2）设这种酒精的销售单价应该定为x元， 依题意得：（x﹣15）[20+10（25﹣x）]＝350， 整理得：x2﹣42x+440＝0， 解得：x1＝22，x2＝20， ∵要把更多的优惠给顾客， ∴这种酒精的销售单价应该定为20元． 故这种酒精的销售单价应该定为20元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意关键词正确列出一元二次方程式是解题关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 先阅读，再解决问题． 阅读：材料一  配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程可先配方，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题． 材料二  对于代数式，因为，所以，即有最小值，且当时，取得最小值为． 类似地，对于代数式，因为，所以，即有最大值，且当时，取得最大值为． 解答下列问题： 填空：①当________时，代数式有最小值为________； ②当________时，代数式有最大值为________． 试求代数式的最小值，并求出代数式取得最小值时的的值． （要求写出必要的运算推理过程） 【答案】 ①. 0 ②. -1 ③. -1 ④. 1 【解析】 【分析】（1）根据材料二得出的规律，可直接得出答案； （2）先把代数式2x2-4x+1变形为2（x-1）2-1，再根据2（x-1）2≥0，得出2（x-1）2-1≥-1，即可求出代数式取得最小值时的x的值． 【详解】（1）根据题意得： ①当x=0时，代数式2x2-1有最小值为-1； ②当x=-1时，代数式-2（x+1）2+1有最大值为1； 故答案为0，-1；-1，1．     ∵， ， ∴， 即有最小值， 当时，取得最小值． 【点睛】考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒． （1）当t＝　 　时，四边形ABQP是矩形； （2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由； （3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值； （4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是 　 　． 【答案】（1）8， （2）四边形AQCP为菱形；理由如下： ∵t＝6， ∴BQ＝6，DP＝6， ∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10， ∴AP＝CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形， 在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10， ∴AQ＝CQ， ∴平行四边形AQCP为菱形， ∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形； （3）8﹣4或8+4； （4）64． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可； （2）t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，AP∥CQ，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论； （3）分两种情况：求出正方形的边长为4，则对角线PQ为8，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可； （4）连接AC、BD，AC、BD相交于点E，线段PQ扫过的面积＝△AED的面积+△BEC的面积，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16， ∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8， 由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC， 当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝16﹣t， 解得：t＝8， ∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形； 故答案为：8 （2）略 （3）∵正方形面积为96， ,∴正方形的边长为：4，∴PQ＝×4＝8； 分两种情况： ①如图1所示：作PM⊥BC于M， 则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， 由勾股定理得：QM＝＝8， BM＝BQ+QM， ∴t+8＝16﹣t， 解得：t＝8﹣4； ②如图2所示：DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t， ∵BQ＝BM+QM， ∴16﹣t+8＝t， 解得：t＝8+4； 综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8﹣4或8+4； （4）连接AC、BD，AC、BD相交于点E， 则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：△AED的面积+△BEC的面积，如图3所示： ∵△AED的面积+△BEC的面积＝矩形ABCD的面积， ∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB×BC＝×8×16＝64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $