第22章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级上册

第22章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 3．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如果三角形有两边的长分别是方程的两根，得到的三角形的周长可能是（　） A．8 B．10 C．12 D．17 7．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 8．能说明命题“关于x的方程一定有实数根”是假命题的m的值是（    ） A． B． C． D． 9．实数a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 10．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 12．若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 13．甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为 ． 14．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 15．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题8分）解方程： (1) (2) 17．（本题6分）用公式法解方程： 18．（本题8分）先化简，再求值：．其中是方程的根． 19．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 20．（本题10分）如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象．为线段，为反比例函数的一部分．已知，过轨道图象上一点分别作轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和（用S表示）取最小值的点称作最佳支撑点． (1)求直线的解析表达式及值． (2)求的值． (3)求轨道图象的最佳支撑点． 21．（本题10分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22．（本题11分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 23．（本题12分）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 3．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 4．如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，运用图形平移的方法得到草坪的长和宽是解题的关键． 根据题意，利用平移的方法，得到长为，宽为，由此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，将道路平移，如图所示， ∴长为，宽为， ∴， 故选：A ． 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于的一元二次方程及对求出的进行估值是解题的关键． 将方程的根代入方程，解关于的一元二次方程并估值即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 又 所以． 又因为， 所以， 即． 故选：B． 6．如果三角形有两边的长分别是方程的两根，得到的三角形的周长可能是（　） A．8 B．10 C．12 D．17 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边a的长为，然后确定三角形的周长l的范围． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， ∴三角形的第三边a的长为， ∴三角形的周长l的范围为， ∴四个选项中只有选项C符合题意． 故选：C． 7．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选： 8．能说明命题“关于x的方程一定有实数根”是假命题的m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出方程有实数根时m的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】解：∵若关于x的方程有实根， ∴， ∴， ∴当时，方程没有实数根， ∴“关于x的方程一定有实根”是假命题的反例为， 故选： A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，举反例证明命题真假等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9．实数a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；掌握一元二次方程根的判别式是关键；考虑一元二次方程，由，表明一元二次方程有一个实数根，从而得判别式非负即可；当时，，，最后综合越来即可判断． 【详解】解：考虑一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程有一个实数根， ∴， 即； 当时，，； 综上，； 故选：D． 10．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 12．若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【详解】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13．甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用根与系数的关系：，是方程的两根时，，．首先根据根与系数的关系求得一次项系数和常数项的值，再进一步得到方程即可． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系， 由甲看错了一次项系数，解得根为4和，得， 乙看错了常数项，解得根为2和3，得． 则得出方程：， 故答案为：． 14．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查根的判别式和因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 总有两个不相等的实数根， ， 解得， 是正整数， ，2，3，4，5，6， 方程是“倍根方程”， 能被整除或能被3整除， ∴或6或 或5或0(舍去)． 故答案为：2或5． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是利用配方法和因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即， ∴， 解得：，；.............................4分 （2）解：， 整理得， ∴， ∴， 解得：，．.............................4分 17．（本题6分）用公式法解方程： 【答案】，． 【详解】解：方程化为 ，，，.............................2分 ， 方程有两个不等的实数根.............................4分 ，．.............................6分 18．（本题8分）先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ．.............................4分 ∵是方程的根， ∴， ∴原式．.............................8分 19．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为．.............................5分 （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ．.............................10分 20．（本题10分）如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象．为线段，为反比例函数的一部分．已知，过轨道图象上一点分别作轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和（用S表示）取最小值的点称作最佳支撑点． (1)求直线的解析表达式及值． (2)求的值． (3)求轨道图象的最佳支撑点． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式及一次函数、反比例函数的性质，（3）中对点的位置进行讨论是解题的关键． （1）设过、的直线解析式为，将、两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；将代入，即可求出的值； （2）将代入即可求解； （3）设点是轨道图象上的任意一点，其横坐标为，那么分两种情况：①点在线段上；②点在双曲线上．针对这两种情况，分别求出与的函数解析式，再根据函数的性质，求出取最小值时，自变量的值，然后比较即可得出轨道图象最佳支撑点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析表达式为． 将代入， 得， 解得， ； 反比例函数经过点， ；.............................3分 （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴；.............................5分 （3）解：分两种情况： ①设是线段上任意一点， 则，到、轴距离分别为，， ， ， 随自变量的增大而增大， 当时，取最小值，此时；.............................7分 ②设是曲线上任意一点，则，到、轴距离分别为，， ， 当，即时，取最小值，此时，． ， 最佳支撑点为．.............................10分 21．（本题10分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)200套 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的32万人增加到2024年的50万人列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为．.............................4分 （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，符合题意； 当时，售价元（不符合题意，故舍去）． 答：购买的这种健身器材的套数为200套．.............................6分 22．（本题11分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②；.............................3分 [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：；.............................6分 [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或．.............................11分 23．（本题12分）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4；.............................4分 （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形．.............................8分 （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是．.............................12分 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $