专题24.1 测量与直角三角形的性质（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题24.1 测量与直角三角形的性质 1.长度与角度的准确测量及基础计算;（重点） 2.直角三角形的核心性质内容及直接应用；（重点） 3.含 30° 角的直角三角形的特殊性质（30° 角对边等于斜边一半）；（重点） 4.间接测量的原理转化（如利用几何知识测不可直接到达的距离）；（难点） 5.斜边中线性质的推导过程及复杂图形中的应用；（难点） 6.勾股定理的灵活应用（含折叠、动态问题）（难点） 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题，常用的测量方法如下: （1）影子测量法:利用太阳光是平行光线，构造相似三角形进行测量.如图测量同一时刻人的高度、人的影长和旗杆的影长 （2）镜子反射法:利用镜子的反射原理--反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量.如图，测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离 （3）标杆测量法:利用视线与标杆,通过从人的眼睛处向物体作垂线,构造相似三角形进行测量.如图，人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线,且旗杆的顶端、标杆的顶端与人的眼睛恰好在同一条直线上. 1.用影子测量法求物高的两种方法 一是直接根据线段的比例关系计算； 二是利用相似三角形的性质计算. 2.在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度 3.在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差 1.数学中的测量与物理中的测量属于同一概念，但数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有:刻度尺、测角仪等 应用此种方法的前提是在直角三角形中 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学表达式 1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形, 2.此性质适用于所有直角三角形，具有一般性，是解决线段倍分问题的重要依据 1.性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 数学语言：如图，在Rt 中， 2．作用 应用于证明线段的倍分关系和计算角度． 应用此性质，必须满足两个条件: (1)在直角三角形中; (2)有一个锐角为30°，二者缺一不可. 题型一、测量 例1如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为，则电线杆的高是（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若AB＝4，AC＝3，则BD为（　　） A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（    ）尺    A． B． C． D． 4．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 5．如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为 ． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 例2（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 7．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 9．如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作等边，连接，交于点F，若，则的长为 ． 10．如图，在中，是边上的高，，分别是边，的中点，，，．求的周长． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 题型三、含30度角的直角三角形 例3（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）在中，，， ，则 ． 16．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 18．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知在中，，，，求线段的长． 例1如图，已知，，，小红进行了如下作图：（1）分别以点A和点B为圆心、大于为半径作弧，两弧相交于E，F两点；（2）作直线与相交于点D．解决如下两个问题：    (1)以上作图是如下___________的基本作图；（在横线上填序号） ①作一个角的平分线；②作已知线段的垂直平分线；③作已知直线的垂线． (2)若，求的长． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理． （1）由作图痕迹即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质求得，推出，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹知，直线是线段的垂直平分线， 故答案为：②； （2）解：∵，， ∴， 由上题可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 例2如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 1．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 2．如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 3．如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 7．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，，菱形的面积为240，则的长等于 ． 8．如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 9．如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 10．如图，在正方形中，是对角线上一点，过点分别作于点，于点，是上一点，且．若，则四边形的面积为 ． 11．如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则四边形的周长是 ． 12．如图表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点，且当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分．如图，若此钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分，则钟面显示点分时，点距桌面的高度为多少公分？ 13．已知，如图，在平行四边形中，点，分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若、分别平分、，，，，求四边形的面积． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.1 测量与直角三角形的性质 1.长度与角度的准确测量及基础计算;（重点） 2.直角三角形的核心性质内容及直接应用；（重点） 3.含 30° 角的直角三角形的特殊性质（30° 角对边等于斜边一半）；（重点） 4.间接测量的原理转化（如利用几何知识测不可直接到达的距离）；（难点） 5.斜边中线性质的推导过程及复杂图形中的应用；（难点） 6.勾股定理的灵活应用（含折叠、动态问题）（难点） 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题，常用的测量方法如下: （1）影子测量法:利用太阳光是平行光线，构造相似三角形进行测量.如图测量同一时刻人的高度、人的影长和旗杆的影长 （2）镜子反射法:利用镜子的反射原理--反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量.如图，测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离 （3）标杆测量法:利用视线与标杆,通过从人的眼睛处向物体作垂线,构造相似三角形进行测量.如图，人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线,且旗杆的顶端、标杆的顶端与人的眼睛恰好在同一条直线上. 1.用影子测量法求物高的两种方法 一是直接根据线段的比例关系计算； 二是利用相似三角形的性质计算. 2.在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度 3.在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差 1.数学中的测量与物理中的测量属于同一概念，但数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有:刻度尺、测角仪等 应用此种方法的前提是在直角三角形中 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学表达式 1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形, 2.此性质适用于所有直角三角形，具有一般性，是解决线段倍分问题的重要依据 1.性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 数学语言：如图，在Rt 中， 2．作用 应用于证明线段的倍分关系和计算角度． 应用此性质，必须满足两个条件: (1)在直角三角形中; (2)有一个锐角为30°，二者缺一不可. 题型一、测量 例1如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为，则电线杆的高是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高． 【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，则AM=70cm=0.7m，AN=25m，BC=14cm=0.14m，    ∵BC∥EF， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∴EF= =5（m）． 答：电线杆的高度为5m． 故选A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键． 2．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若AB＝4，AC＝3，则BD为（　　） A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BC，证明△ABD∽△CBA,根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°, AB＝4，AC＝3， 由勾股定理得，BC＝＝＝5， ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠CAB=90° 又∠ABD=∠CBA, ∴△ABD∽CBA ∴， 则BD＝＝3.2， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（    ）尺    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵太阳光为平行光， ∴， 解得x＝45（尺）．． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【答案】D 【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里， 过E作EG⊥AB于G，交CD于H， 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴， ∴， ∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈， 故答案选D. 【点睛】本题考查的是相似三角形与实际问题，能够将实际问题转化成相似三角形的问题是解题的关键. 5．如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为 ． 【答案】60m． 【分析】由题意可证明△AOB∽△COD，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO， 且∠AOB＝∠COD， ∴△ABD∽△CDO， ∴＝， 又∵CD＝30m， ∴AB＝60m． 故答案为：60m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 例2（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 7．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 8．如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 利用菱形的性质，得点是的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出在中，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， 在中，， 中，， ． 故答案为：． 9．如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作等边，连接，交于点F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得，，，则点O在线段的垂直平分线上，再根据等边三角形的性质得，则点E在线段的垂直平分线上，由此的是线段的垂直平分线，则，然后由勾股定理分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵是等边三角形， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线 ∴，， 在中， ， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，斜边中线的性质，勾股定理． 10．如图，在中，是边上的高，，分别是边，的中点，，，．求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形相关性质是解题关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、的值，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：是边上的高， ， 在中，是边的中点，， ， 同理可得：， ，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 的周长为． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点为边的中点，连接，点为的中点．若，，求边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质、中点的定义．首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据勾股定理可得，根据中点的定义可知． 【详解】解：在中，，点为的中点， ， ， 又， 在中，， 点为边的中点， ． 题型三、含30度角的直角三角形 例3（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）在中，，，，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质．过C作于D，证明，可得，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，考查了坐标与图形，直角三角形的性质，旋转的性质，根据题意找出一般规律是解题关键．过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据旋转的性质，得出点的坐标每6次为一个循环依次为、、、、、，即可得到答案． 【详解】解：如图，旋转如下，过点作轴于点， 点， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ，，，，，，……， 即点的坐标每6次为一个循环， ， 第2024次旋转后，点B的坐标为， 故选：D． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，设，得，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 设米，则米， 根据勾股定理得，， 解得， ∴米，米， ∴米， ∴原来大树是米， 故选：． 15．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）在中，，， ，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，注意进行分类讨论．分两种情况：当为锐角时，当为钝角时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当为锐角时，过点B作于点D，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当为钝角时，过点B作于点D，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的长为或． 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离．以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，为轴，建立如图所示的坐标系， 设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令，， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 18．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知在中，，，，求线段的长． 【答案】 【分析】此题涉及的知识有：含直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出辅助线构建直角三角形是本题的突破点． 过作垂直于，可得出三角形为直角三角形，根据一个锐角为，求出为，利用所对的直角边等于斜边的一半，得到，再利用勾股定理表示出，由直角三角形中为，得到此三角形为等腰直角三角形，即，最后根据求出的长即可． 【详解】解：过作于点，如图所示： 在中，，， ， ，， 又， ， ， ． 例1如图，已知，，，小红进行了如下作图：（1）分别以点A和点B为圆心、大于为半径作弧，两弧相交于E，F两点；（2）作直线与相交于点D．解决如下两个问题：    (1)以上作图是如下___________的基本作图；（在横线上填序号） ①作一个角的平分线；②作已知线段的垂直平分线；③作已知直线的垂线． (2)若，求的长． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理． （1）由作图痕迹即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质求得，推出，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹知，直线是线段的垂直平分线， 故答案为：②； （2）解：∵，， ∴， 由上题可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 例2如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 1．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【答案】D 【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里， 过E作EG⊥AB于G，交CD于H， 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴， ∴， ∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈， 故答案选D. 【点睛】本题考查的是相似三角形与实际问题，能够将实际问题转化成相似三角形的问题是解题的关键. 2．如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．连接，，由正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵和都是正方形， ∴，，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 4．直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键． 分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：①当和均为直角边时，斜边为， 则斜边上的中线为， ②当为直角边，为斜边时， 则斜边上的中线为， 综上，此直角三角形斜边上的中线长等于或， 故选：D． 5．如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理可得，，证明，即可得到答案． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故选：C． 6．如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质．延长，过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据旋转得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长，过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 7．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，，菱形的面积为240，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质； 由菱形的面积和对角线的长度可求出的长，再由勾股定理可求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵菱形的面积为240， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵H为边中点，， ∴， 故答案为：． 8．如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得出，，，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，根据勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 9．如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，过点作于，与的交点为点，由菱形的性质并结合题意可得为等边三角形，则，从而可得，进而可得，由垂线段最短可得，此时得到最小值，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，与的交点为点， ， ∵菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，由垂线段最短可得，此时得到最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 10．如图，在正方形中，是对角线上一点，过点分别作于点，于点，是上一点，且．若，则四边形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，平分，由，，可得，，得出四边形是正方形，确定，则，由勾股定理得，，然后求解作答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，平分， ，， ∴，， 四边形是正方形； ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ∴正方形的面积为3， 故答案为：3． 11．如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则四边形的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由等腰三角形的判定证明，可得，则四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据勾股定理即可求，最后求得四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 12．如图表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点，且当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分．如图，若此钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分，则钟面显示点分时，点距桌面的高度为多少公分？ 【答案】公分 【分析】设钟面显示点分时点的对应点为，过点作于点，交于点，根据当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分得出，进而得出，从而得出，得出答案即可． 【详解】解：设钟面显示点分时点的对应点为，过点作于点，交于点， ∵当钟面显示点分时，分针垂直与桌面，点距桌面的高度为公分， ∴，， ∵钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分， ∴， ∴， ∵此时点距离桌面的高度为公分， ∴， ∴ ， 当钟面显示点分时，则 ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴（公分）， ∴钟面显示点分时，点距桌面的高度为公分． 【点睛】本题考查钟面角，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，确定是解题的关键． 13．已知，如图，在平行四边形中，点，分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若、分别平分、，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）过作于，根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，进而得到，由勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过作于， .......................v∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $