精品解析：2025年辽宁省丹东市元宝区初中学业水平考试数学模拟试卷

2025年初中学业水平考试数学模拟试卷 一、单选题（共72分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、不是整式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、整理后为，不是一元二次方程； 故选：C． 2. 已知抛物线开口向下，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ； 故选：B． 3. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是： ． 故选：D． 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中x与的值的特征，确定的解x的范围即可． 【详解】解：根据表格的： 当时，， 当时，， 则关于x的一元一次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 5. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】考查了比例线段的概念．根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 【详解】解：A、，能成比例，故本选项正确； B、，不能成比例，故本选项错误； C、，不能成比例，故本选项错误； D、，不能成比例，故本选项错误． 故选A． 6. 已知方程，当时，方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵，当时 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键． 7. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 8. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； B、由于的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意； D、，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 9. 将抛物线平移后，得到抛物线，则下列平移方式中正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线平移后，得到抛物线， 平移方式为：先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 故选：D． 10. 二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置，判断①；对称轴判断②；图象与轴的交点个数判断③；对称轴结合的符号判断④；图象法求方程的解，判断⑤． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于正半轴， ∴，故①正确； ∵， ∴；故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴；故④错误； 由图象可知，函数的最大值为3， ∴图象与直线没有交点， ∴方程：无解；故⑤正确； 故选：D． 11. 下列命题的逆命题为假的有（ ） A. 对顶角是相等的角 B. 对应角相等的三角形是全等三角形 C. 平行四边形是两组对边互相平行的图形 D. 等圆是半径相等的圆 【答案】A 【解析】 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解∶ A的逆命题是∶相等的角是对顶角，是假命题，故此选项符合题意； B的逆命题是∶全等三角形的对应角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C的逆命题是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意； D的逆命题是∶半径相等的圆是等圆，是真命题，故此选项不符合题意． 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了命题与定理以及写一个命题的逆命题的方法，分清命题的条件与结论正确写出逆命题是解题关键． 12. 若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质当时，随的增大而减小即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴随的增大而减小， ①当点，在反比例函数的图象的同一个分支上时， ∵ ， ∴或， ∴或； ②当点，在反比例函数的图象的两个分支上时， ∵， ∴ ， ∴无解； 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题的关键． 13. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上， ∴， ∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上， ∴S矩形OABC=k2， ∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3， ∴k2-k1=3， ∴k1-k2=-3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 14. 已知是平行四边形的边的中点，嘉嘉同学据此进行了以下画图：①连接、交于；②连接并延长交于；③连接交于．下列说法：Ⅰ：点是中点；Ⅱ：点是的一个三等分点．下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ对Ⅱ不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【解析】 【分析】Ⅰ：根据平行四边形的性质得出，，，进而证明，则，根据是的中点，得出，则，即可求证点是中点；Ⅱ：过点B作的平行线，交延长线于点G，通过证明，得出，再证明，即可求证点是的一个三等分点． 【详解】解：Ⅰ：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴，即点是中点； Ⅱ：过点B作的平行线，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的一个三等分点． 综上：Ⅰ和Ⅱ都对， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等；相似三角形对应边成比例． 15. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 16. 如图，一根排水管的截面是一个半为5的圆，管内水面宽，则水深为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 17. 某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，可得每位同学收到份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，即可求解． 【详解】解：设全班同学有名学生，根据题意可得， ， 故选：A 18. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；设EC的长为x，BE=2EC=2x，，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，B说法正确；，AB=BE=2x，可得C说法正确；利用相似的性质可得：，求出，进一步可得：，可得，D说法错误． 【详解】解：在矩形ABCD中，△ABE是等边三角形， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°， ∴∠DAE=90°-60°=30°， 故A说法正确； 设EC的长为x， 易得∠ECB=30°， ∴BE=2EC=2x，， AB=BE=2x， ∵， ∴∠ECA=∠CAB， 又∵∠EFC=∠BFA， ∴△ECF∽△BAF， ∴， 故B说法正确； ， ∴， 故C说法正确． 由相似的性质可知：， ∵， ∴， ∴，故D说法错误． 故选：D 【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共16分） 19. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 在中，，，点在上，且，若要在上找一点，使得，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：是公共角， 当，即时，， ； 当，即时，， ； 故答案为：或． 21. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 22. 如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设弧的中点为，连接，，，根据等边三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式，三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设弧的中点为，连接，，，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大 ，连接，则于，且垂直平分， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵扇形的面积， ∴阴影部分面积的最小值， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形面积计算，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题（共32分） 23. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：因式分解得， 整理得， ，． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式． （2）求一次函数的表达式． （3）将直线：绕其与轴的交点旋转，使当时，直线总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出二次函数的对称轴，根据对称轴公式求出，由求出，即可得到答案； （2）求出抛物线的顶点坐标，代入一次函数进行计算即可； （3）求出抛物线和时对应的函数值，代入一次函数即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数对称轴， 则， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：二次函数的顶点坐标为：， 将代入， 即， ， ； 【小问3详解】 解：直线与y轴的交点E为 在中，当时，， 当时，， 当直线过，即， 解得， 当直线过，即， 解得， 故当且时，直线总位于抛物线的下方． 25. 如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （3）如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 【答案】（1） 证明：矩形， ， ， ； （2） 解：直线与相切，证明如下： 连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 为半径， 直线与相切； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆的综合应用，主要考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明，结合，即可得到结论； （2）连接，证明，，，由得到，得到，即可得到结论； （3）连接，证明，得到，，求出，则，利用含直角三角形得到，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 点落在线段的垂直平分线上， ， ， 由（1）得， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 26. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 【答案】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， . （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和三角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明. （2）根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长. （3）根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，设正方形边长为参数，用表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值. 【详解】（1）略 （2）解：矩形， ， ，， ， . ， . 矩形， ， ， ， . ，，， ， . 故答案为：. （3）解：正方形， ，， ， . ， . 设正方形的边长为，则， ，， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试数学模拟试卷 一、单选题（共72分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线开口向下，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 3. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A. B. C. D. 5. 下列各组线段，能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 已知方程，当时，方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线平移后，得到抛物线，则下列平移方式中正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 10. 二次函数图像如图，①；②；③；④；⑤方程：无解．正确项的序号（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①⑤ 11. 下列命题的逆命题为假的有（ ） A. 对顶角是相等的角 B. 对应角相等的三角形是全等三角形 C. 平行四边形是两组对边互相平行的图形 D. 等圆是半径相等的圆 12. 若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 13. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ） A. 3 B. -3 C. D. 14. 已知是平行四边形的边的中点，嘉嘉同学据此进行了以下画图：①连接、交于；②连接并延长交于；③连接交于．下列说法：Ⅰ：点是中点；Ⅱ：点是的一个三等分点．下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ对Ⅱ不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ和Ⅱ都不对 15. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 16. 如图，一根排水管的截面是一个半为5的圆，管内水面宽，则水深为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 17. 某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共16分） 19. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 20. 在中，，，点在上，且，若要在上找一点，使得，则的长为________． 21. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 22. 如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______． 三、解答题（共32分） 23. 解下列方程： （1）； （2）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式． （2）求一次函数的表达式． （3）将直线：绕其与轴的交点旋转，使当时，直线总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求的取值范围． 25. 如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （3）如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 26. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $