第一章 勾股定理 单元培优检测卷2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版数学八年级上册第一章 《勾股定理》单元培优检测卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　） A．256 B．169 C．29 D．48 2．《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（　　） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 3．如图，在△ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上异于B，C的一点，则 的值是(　　). A．16 B．20 C．25 D．30 4．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　） A． B． C． D． 5．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若 ，则∠A=90º D． 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 7．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　） A．AB B．AD C．AC D．AE 9．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．以上结论都不对 10．如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）. A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每题3分，共18分） 11．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为　 　． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　． 13．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号） 14．如图，货车车高，卸货时后面挡板AB折落在地面处，已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则　 　m. 15．如图，在中，，于点，，，则　 　． 16．如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　 　三角形． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，等腰三角形 中 ，且 ． （1）求 的长； （2）求 的面积． 18．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m， 1.5m， 2.2m， 那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米? 19．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点. （1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由. （2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长. 20．如图，为上一点，，，，，交于点，且. （1）判断线段，，的数量关系，并说明理由； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理. 21．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。 （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到。请证明刘徽解法的正确性。 22． 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短． （1）找到堆放点P的位置； （2）求PA+PB的最小值． 23．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D． （1）求证：CD＝AC + ED． （2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米. （1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明； （2）求新路 比原路 少多少千米. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】34 13．【答案】③④ 14．【答案】1.5 15．【答案】5 16．【答案】直角 17．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC， 则列示为（x+3）2=x2+42 解得x= ∴AD的长为cm。 （2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2 ∴ 的面积是cm2。 18．【答案】解：如图进行点标注，则DF的长度为能放入电梯内的最大长度. 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 故3<DF<3.1. 所以能放入电梯内竹竿的最大长度约是3米，工人买的竹竿至少为3.1米. 19．【答案】（1）解：结论：是． 理由：∵AM2＋BN2＝22＋（）2＝16，MN2＝42＝16， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形． 故点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）解：设BN＝x，则MN＝12−AM−BN＝7−x， ①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2， 即（7−x）2＝x2＋25，解得：x＝； ②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（7−x）2，解得：x＝． 综上所述，BN的长为或． 20．【答案】（1）解：.理由如下： ，，. 又，. ，.. 在和中， （AAS）.，. 又，. （2）解：， ， .. 21．【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12 ∴水池的深度为12尺； （2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， ∴a2+b2＝（b+n）2， ∴a2+b2＝b2+2nb+n2 ∴2nb＝a2-n2 ∴b＝． 22．【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求； （2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C， ∵AC=10m，BD=30m， ∴A'C = AC = DH= 10m， ∴BH=40m， ∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m) 即PA+PB的最小值为50m. 23．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． （2）证明：， ， ， 又 ， ， ，即勾股定理得证． 24．【答案】（1）解：是，理由如下： 在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2， 即CH2+BH2=BC2， ∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°， ∴CH⊥AB， 由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路； （2）解：设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22， 解得x=1.25，即AC=1.25， 故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米） 答：新路CH比原路CA少0.05千米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $