精品解析：北京市顺义区第一中学2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题

2025—2026学年顺义一中高三9月月考 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中含有项的系数是（ ） A. 160 B. C. 80 D. 4. 甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 5. 函数的图象可以由函数的图象（ ） A. 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 C. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 7. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 8. 古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 9. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A B. 0 C. 2 D. 4 10. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意， 其中正确结论的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第二部分（非选择题 110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 12. 记为等差数列的前项和.已知，，则________，________. 13. 能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________. 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 15. 已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 17. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 19. 电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E F 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 8.8 （1）求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （2）从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 20. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若对于任意使得恒成立，试求的取值范围： （3）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值. 21. 已知数列A：，定义：.从中选取第项、第项、、第项.则称数列为的长度为的子列.若A：为1，2，…的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知A：1，3，4，2，5，6，若数列是数列的长度为4的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列A：具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列A：具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年顺义一中高三9月月考 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：, 故选：A. 2. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案． 【详解】选项A，是非奇非偶函数，是区间上的增函数，错误； 选项B，是偶函数，是区间上的减函数，错误； 选项C，是偶函数，是区间上的增函数，正确； 选项D，是奇函数，是区间上的增函数，错误； 故选：C 3. 的展开式中含有项的系数是（ ） A. 160 B. C. 80 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理得通项公式，令，解出，代入通项即可求解. 【详解】由题意有：， 令，解得， 所以，所以项的系数为. 故选：C. 4. 甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知：先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法， 故选：B. 5. 函数的图象可以由函数的图象（ ） A. 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 C. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来2倍 D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数解析式及图象变换的关系判断. 【详解】对于A，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得的图象，A错误； 对于B，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的得的图象，B错误； 对于C，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍的图象，C错误； 对于D，函数的图象可以由函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，D正确. 故选：D 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 7. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，利用充分条件、必要条件的概念判断两命题间的逻辑推理关系，即可判断. 【详解】当且时，存在最小值，当且时，存在最小值， 故“”能推出“存在最小值”， 当且时，存在最小值为 ， 所以“存在最小值”不能推出“”， 所以“”是“存在最小值”的充分不必要条件. 故选：A 8. 古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数关系，再借助对数的运算求解. 详解】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 故选：D 9. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 10. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，在上单调递增； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，. 其中正确结论的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，写出此时函数解析式，根据函数的单调性举出反例；对于②，举出反例；对于③，对进行分类讨论，结合图象得到函数的值域为，即可求解；故③错误；对于④，用特殊值判断即可. 【详解】对于①，当时，，显然， 故在上不会单调递增，所以①错误； 对于②，不妨设，此时， 当时，， 当时，， 故，此时函数不存在最小值，所以②错误； 对于③，，易知在区间上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在，使得， 当时，无解，即在上没有实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，在上有1个实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，，由①知，此时方程有1个实数根，即， 当时，在上没有实数根，在上也没有实数根， 此时，则函数的值域为，③错误； 对于④，当时，，则，，， 则，所以④错误. 故选：D 第二部分（非选择题 110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 记为等差数列的前项和.已知，，则________，________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出公差，进而求出通项及前项和. 【详解】由，，得，解得， 则等差数列的公差， 所以，. 故答案为：； 13. 能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________. 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】若，，可得，分，同号和异号讨论即可求得答案． 【详解】解：当，，可得， ①当，同号时，可得， ②当，异号时，. 故取整数，满足即可． 故答案为: ， ． 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15. 已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列. 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，不可能为等差数列； ④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】通过分析每个结论，利用等差数列和等比数列的通项公式及相关性质，结合特殊例子来判断其正确性. 【详解】由题意设数列的公差为，首项为，数列的公比为，首项为，则， 对于①：令，假设等比数列，则为常数， 而与有关不为常数，故矛盾，故①正确； 对于②：设，满足题意，则， 由，所以数列不是递增数列，故②错误； 对于③：假设为等差数列，所以，即， 所以，解得与矛盾，故③正确； 对于④：，则， 若能构成等比数列，则，即， 化简整理得矛盾，故④正确； 故选：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数确定单调性，进而求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值. 17. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出等差数列公差、等比数列公比即可. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 18. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可； （3）由，利用二项分布的方差公式求解，即可求解. 【小问1详解】 设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； 【小问2详解】 设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 所以恰好成功两次的概率为 ； 【小问3详解】 由题意有， 所以， 所以. 19. 电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E F 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 8.8 （1）求的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （2）从6名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；试求的分布列和数学期望； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 【答案】（1），； （2）分布列见解析，数学期望为2； （3）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出及的估计值，再借助权重分析即可判断得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，某场外观众评分不小于9的概率是． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 6名专家评分不小于9分的有4人， ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望． 【小问3详解】 依题意，专家评分的平均数， 观众评分的平均数的估计值为，则， 由于观众人数远多于专家，在计算时，观众评分（其平均值略低于专家均分）权重大， 因此会比更接近于观众评分的均值，所以. 20. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若对于任意使得恒成立，试求的取值范围： （3）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值. 【答案】（1）的单调增区间为，无单调减区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导得，令，利用导数研究单调性，进而得，即，进而求解； （2）由题意得，即，令，即，由（1）得的单调性，即可求的最小值，进而求解； （3）求出切线方程得出与坐标轴交点坐标，表示出三角的面积，求出切线与函数交点坐标，代入即可得解. 【小问1详解】 当时，，所以的定义域为， 所以，令，所以， 当，当， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，所以在单调递增， 所以的单调增区间为，无单调减区间； 【小问2详解】 由题意有：对于任意使得恒成立，即， 所以，令，即， 由有在单调递增，所以， 所以，即， 所以； 【小问3详解】 由题意有，所以，即, 又，所以， 所以切线方程为：， 设切线交轴于点，则，设切线与轴交于点，则， 设切线与函数的图象交于点，由，则， 因为,所以点必然在点的上方， 又，所以, 解得或（舍去），所以， 所以过点， 所以， 所以. 21. 已知数列A：，定义：.从中选取第项、第项、、第项.则称数列为的长度为的子列.若A：为1，2，…的一个排列，则称数列具有性质. （1）已知A：1，3，4，2，5，6，若数列是数列长度为4的子列，写出的最大值和最小值； （2）已知数列A：具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； （3）已知数列A：具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 【答案】（1）最大值9，最小值3 （2）最小值6 （3）最大值,这样的数列有个. 【解析】 【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小； （2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值； （3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数. 【小问1详解】 根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，. 定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项. 设数列A：中的极端项依次为，记， 则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即. 对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1，因此其长度为的子列的值不小于. ​数列A：1， 3， 4， 2， 5， 6，. 子序列，，是的最大值， 子序列，是的最小值. ∴的最大值和最小值分别是和； 【小问2详解】 ​∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列， 又∵存在唯一的长度为3的子列，使得， 则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个， ∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1， 当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，这样的数列的一个例子为. 中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6，这样的数列的一个例子为. ∴的最小值为6； 【小问3详解】 根据对称性不妨先设. 首先证明：对于具有性质的数列，当最大时，数列不存在连续3项单调递增或递减， 假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减， 即存在使得或， 则将调换到之前，得到， ，与最大矛盾， ∴假设不成立. 因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有， ∵为偶数，数列中的数分成2组: ,中的每个数都小于中的每个数， ∴ , 为了使得取得最大值，要尽可能的大，要尽可能的小， 在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值， ∴， 当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为， ∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式， ∴这样的数列有个， 根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有， ∴使得最大的数列总共有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $