江苏省部分学校2026届高三上学期入学考试数学试题

参考答案 题号 1 2 4 6 6 8 9 10 答案 Y 0 ⊙ A & A D BD ACD 题号 11 答案 AD 1.A 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】由题可知0∈A,1∈A,2￠A, 故A正确，BC错误， 集合0,1,2}不是集合A的子集，故D错误. 故选：A 2.D 【分析】利用复数的除法运算求出z可得三，再求模长 【详解1：-0-01221-9=1，豆-1+1 1+i1+i(1+(1-) 则=1+1=V2 故选：D 3.B 【分析】依题意设双曲线方程为x2-y2=,代入点的坐标，即可求出m,从而得解 【详解】解：依题意设双曲线方程为x2-y2=m,又双曲线过点1，-3)， 所以12-(-3)2=m,解得m=-8, 所以双曲线方程为x2-y2=-8: 故选：B 4.A 【分析】根据奇函数的定义可知，自变量互为相反数时，函数也互为相反数 【详解】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当0<x≤1时，(x)=1og221x, 则- 1 1 =-1oga120211 故选：A 第1页共21页 5.B 【分析】根据方程的形式，联立方程 x+y-2=0 x-y=0 ，即可求定点，判断A,再根据定点与圆 的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B,根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系， 判断C,当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D. 【详解】选项A:1:(m+n)x+(-n)y-2m=0→m(x+y-2)+n(x-y)=0, x+y-2=0 联立 x-y=0 ，解得 =i所以1过定点（化1），故A错误 x=1 选项B:因1过定点(1,1)，且(1-2)+(1-2)<8， 所以定点(1,1)在圆内，即1与C一定相交，故B正确： 选项C:若1平分C的周长，则直线过圆心(2,2)，所以(m+)×2+(m-n)×2-2m=0, 即=0，故C错误： 选项D:当定点(1,1)为弦的中点时，此时弦长最短， 此时圆心(2,2)到弦所在直线的距离d=V(2-1)+(2-1)=√2， 则弦长222-(2=26，故D错误： 故选：B. 6.A 【分析】由三视图知几何体为长方体中去掉一个圆锥体，结合棱柱、圆锥的表面积求法求几 何体的表面积即可 【详解】由三视图知：几何体为长方体中去掉一个圆锥体，如下图示， 第2页共21页 DI C B 6 6 B 1 所以圆锥底面半径为3，母线长为5，侧面积为)×5×6π=15π，底面积为9r, 则几何体的表面积为2×6×6+4×6×4+15π-9π=168+6π 故选：A 7.C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解 【详解】因为tad-tan (d+B-p)&0, 又因为tanB= cosa 1+sina tan(a+B)=- 1-sing cosa 1+sina cosa (1+sin a).(1-sin a)-cos a.cos a 所以tana=cosa1-sine」 cos a(1-sina) 1+sina cosa 1+ cos a.(1-sin a)+cos a.(1+sin a)' cosa 1-sing cos a(1-sin a) 所以tana= (1+sin a).(1-sin a)-cosa.cosa 1-sin2a-cos'a cosa.(1-sin a)+cosa.(1+sin a) 2cosa 因为sin2a+cos2=1,所以tana=0, 所以a=kL,k∈Z, 所以当k为奇数时，cosa=-1,sina=0, 当k为偶数时，cos=1,sin=0, 因为tanB= cosa,所以tam0=h, 1-sing 因为B∈0,5 2 所以B= 4 故选：C. 8.D 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到α，b,c∈(0,1)，得到 第3页共21页 以1以a,求出6>a,粮据竿性得到：-份 =a, 从而得到答案 【详解】令f(x)= -x,其在R上单调递减， 又0=10f0-31=0. 1 由零点存在性定理得a∈(0，l), 则y=log。x在(0，+o)上单调递减， 画出y= 与y=log。x的函数图象， 分 b y=logx 可以得到b∈(0,1)， 又y,=m在R上单调递减，画出为，=d与为=og!t的函数图象， y2=a y.=logx 可以看出c∈(0,1)， 因为°-1，故oe,b1=1ea,故b>a, 因为a,c∈(0,1)，故a>d=a, 第4页共21页 由=logC得，c= 1）a <1 2 2 =a 综上，c<a<b 故选：D. 【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系： (2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以0或“1”为媒介），分别与要比较的数比 较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； (3)作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0 (1)的关系，从而确定所比两值的大小关系。 9.BD 【分析】由统计的数据分析的相关概念即可得到结论 【详解】该组数据的极差32-7=25，故A选项错误： 该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确： 该组数据的75%分位数：7×75%=5.25，取第6个，则为20，故C选项错误； 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正 确； 故选：BD 10.ACD 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案 【详解】对于A,令x=1时，则 -2x展开式中各项系数之和为1，故A正确： 对于B,第二项二项式系数C,=6,第四项的二项式系数C:=5x420,第二项与第四项的 3×2×1 二项式系数不相等，故B错误； 对于C 展开式的通项为C安(-2x=(-2C÷-0L2,34,50, 令-6+=0，∴r=2,展开式中的常数项为(-2}C%=4×15=60,故C正确： 对于D, 展开式的通项为C((-2-(2yC片0=0123450，当 第5页共21页 r=0,2,46时，-3+3”∈Z,所以展开式的有理项共有4项，故D正确。 2 故选：ACD 11.AD 【分析】对于A,点P到平面NC的距离为a为定值，利用体积公式即可判断；对于B, 利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C,利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于 D,先做出截面，再求其面积即可. 【详解】点P到平面MWC的距离为a为定值， 又Sae=a2- 11111113 2 x2a-2a×2a-2×2a×2a=8a, ×a× X-ax- 8 13 件巴头伞BOTd一W陆图三H‘D-=D×.D二×二=ow-d1=aA9 设CD中点为Q,连接MQ,PQ, D P A B ! D 、1 M 则∠PMQ即为异面直线BC与MP所成的角 在Rt△PMQ中，cos∠PMQ= PM PM 2 所以异面直线BC与MP所成的最小角为45°，故B不正确： 若P为C,D中点，则Pg⊥平面ABCD,所以PO⊥MN,又MN L NO,Pe∩Ng=2,所以MW⊥ 平面NP2,NPc平面NP2,所以MW⊥WP,故C不正确； 取DD的中点E,B,C的中点F,BB的中点G,连接E、EP、PF、FG、GM, D P A B G D W2 M B 第6页共21页 所以过M、N、P三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为35a,故D正确。 故选：AD 12. 3 > 4 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量X的取值，再求出 每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望 【详解】设“第一次取到黑球”为事件A,“第二次取到白球为事件B. 则P(A)=6=3 -84 P(AB)表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有6种取法，第二次 取白球有2种取法，从8个球中依次取2个球的总取法有A?=8×7=56种，所以 4调-号房 3 根据条件概率公式P(B1A)=P(1B) P0,可得PB1A0=143x42 3-143Γ7 4 随机取出3个球，取出的球中白球的个数X可能取值为0,1,2. P(X=O)表示取出的3个球都是黑球的概率，从6个黑球中取3个球的组合数为 C:-X5x4=20,从8个球中取3个球的组合数为C=8x7x6=56,所以 3×2×1 3×2×1 P(x=0)=S=205 C5614 P(X=1)表示取出的3个球中有1个白球和2个黑球的概率，从2个白球中取1个 球的组合数为C2从6个黑球中取2个球的组合数为CX中5，所國 P(x-1)=CxC_2x1515 -56-281 P(X=2)表示取出的3个球中有2个白球和1个黑球的概率，从2个白球中取2 个球的组合数为C?=1,从6个黑球中取1个球的组合数为C%=6,所以 n)Ge 根据期望公式可得B()=0× 15. 315,6213 ,+1× 。+2× 一三 14 28 282828284 第7页共21页 做答案为：导：子 13.-2 【分析】由题意，A,B,C均在圆心为原点，半径为2的圆上，再根据数量积公式，结合几何 意义分析最值求解即可 【详解】解：由题知，A,B,C三点共圆，圆心为坐标原点，半径为2， 所以，ABAc=ACcos(AB,AC), 设AB=2x,x∈[0,2]， 数形结合可得AC在AB上的投影ACcos(AB,AC∈[x-2,x+习， 所以，2x(x-2)≤AB.AC≤2x(x+2),即2(x-1)2-2≤AB.AC≤2(x+1)2-2, 故当x=1,AB=2时2(x-1)2-2有最小值-2，此时-2≤AB.AC≤6 当x=2时，AB=4时2(x+1)-2有最大值16， 所以，-2≤AB.AC≤16 综上，AB.AC的取值范围是[-2,16]， 所以，AB.AC的最小值是-2 故答案为：-2 01 B 14.[1,+0) 【分析】由函数f(x)的定义域可求得实数a的值，可得出函数f(x)的解析式，求出f(a的 值，然后利用指数函数的单调性可解不等式d≥∫()，即可得其解集， 【详解】若a≤0，对任意的xeR,2-a>0,则函数f(x)的定义域为R,不合乎题意， 第8页共21页 所以，a>0,由2x-a≠0可得x≠log2a, 因为函数y=f(x)的定义域为{xx≠1}，所以，log2a=1,解得a=2, 所以，)2》别ag2 由a≥f(a)可得2*≥2，解得x≥1. 因此，不等式d≥f(a)的解集为[1，+o). 故答案为：[1，+o). 15.04=号 (2)bc的最大值为18 1 折】()由正弦定理得到a:+bc=+c,再由余弦定理得到cos4=),故2 (2)由余弦定理得9=c+少c,由基本不等式求出最大值 42 【详解】(1)由正弦定理a=b =2R(R为△ABC外接圆半径)， sinA sinB sinc b 将sinA= SinB= 2R 2 ,sinC=C代入sim2A+-sinBsinC=sinm2B+sin2c, 2R 可得 a b c ( 2R 2R2R 十 2R, 化简后得到a2+bc=b2+c2,即b2+c2-a2=bc. 根据余弦定理c0sA= +c-a,把b+c2-a=bc代入可得cos4=灰=) 2bc 因为0<A<元，所以A= 3: (2)在△ABD中，根据余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA. 因为D为4C巾点，设4BG4D名已知2D34号 则9=c2+-2cbco5,即9=c+c 4 2 3 42 限锅基本不等式行2，c(当且仅当。时取等号 所以9=c+c≥c-cc,即c≤18，当且仅当c=白时取等号. 42 22 2 第9页共21页 将c=代入9=c2+)c,可得9= 42 422 解得b=6,c=3,满足条件，所以bc的最大值为18 16.(1)f(x)在(-0,0)和(0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增 (2)0<a<1 e 【分析】(1)通过导数讨论函数单调性； (2)因g(x)有三个极值点，即g'(x)=0有三个根，从而再将问题转换问两函数的交点，进 而确定a的取值范围. 【详解】(1)函数f(x)=e的定义域为(-∞，0)U(0,+m). f=eD,因此， x2 当x∈(-n,0)时，"(x)<0,故f(x)单调递减： 当x∈(0,1)时，f"(x)<0,故f(x)单调递减： 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,故f(x)单调递增. 综上，f(x)在(-0,0)和(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， (2)函数gw)=ae+lnx-x,定义域为(0，+o)】 g0=e6任-+1=-ac-,当x=1时，g网=0，因此-1是s问的一个极 x2 x2 值点。 因为g(x)有三个极值点，因此ae-x=0在(0，+o)上有两个不同的根x,x2,且x,x2≠1.不妨 设<x2 当a=0时，该方程只有1个根，不满足题意，故a≠0. 因此方程可等价于e-x=0, a 设)=e,)=上x,上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图像有两个交点 a 当a<0时，由于h(0)=1,t(0)=0,且h(x)单调递增，而t(x)单调递减，故两函数图像在 x∈(0，+w)上没有交点，不符合题意，故a>0. 第10页共21页 高三数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知双曲线C经过点，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．1 B．-1 C． D．2021 5．已知直线.圆，则（    ） A．l过定点 B．l与C一定相交 C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（   ） A．该组数据的极差为26 B．该组数据的众数为18 C．该组数据的75%分位数为19 D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10．关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有4项 11．如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线BC与MP所成的最大角为45° C．不存在点P使得 D．当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 13．已知，，且，则的最小值是 ． 14．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 16．（15分） 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形，，，四边形PDCE为矩形，平面平面ABCD，F为PA的中点，N为PC与DE的交点，，. (1)求证：平面； (2)若G是线段CD上一点，平面PBC与平面EFG所成角的余弦值为，求DG的长. 18．（17分） 已知圆心在原点，且与直线相切，它与轴分别相交于，，过点的直线交圆O于，. (1)求弦长的最小值，并求此时直线的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线l交于，，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 19．（17分） 已知函数． (1)证明：当时，；当时，． (2)正项数列满足：，，证明： （i）数列递减； （ii）． 高三数学 第1页（共4页） 高三数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B A C D BD ACD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 2．D 【分析】利用复数的除法运算求出可得，再求模长. 【详解】，， 则. 故选：D. 3．B 【分析】依题意设双曲线方程为，代入点的坐标，即可求出，从而得解. 【详解】解：依题意设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为； 故选：B 4．A 【分析】根据奇函数的定义可知，自变量互为相反数时，函数也互为 相反数. 【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故选：A. 5．B 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D. 【详解】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A错误； 选项B：因l过定点，且， 所以定点在圆内，即l与C一定相交，故B正确； 选项C：若l平分C的周长，则直线过圆心，所以， 即，故C错误； 选项D：当定点为弦的中点时，此时弦长最短， 此时圆心到弦所在直线的距离， 则弦长，故D错误； 故选：B. 6．A 【分析】由三视图知几何体为长方体中去掉一个圆锥体，结合棱柱、圆锥的表面积求法求几何体的表面积即可. 【详解】由三视图知：几何体为长方体中去掉一个圆锥体，如下图示， 所以圆锥底面半径为3，母线长为，侧面积为，底面积为， 则几何体的表面积为. 故选：A 7．C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 8．D 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【详解】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系； （2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 9．BD 【分析】由统计的数据分析的相关概念即可得到结论. 【详解】该组数据的极差，故A选项错误； 该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确； 该组数据的分位数：,取第6个，则为20，故C选项错误； 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确； 故选：BD. 10．ACD 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 11．AD 【分析】对于A，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积即可. 【详解】点到平面的距离为为定值， 又， 所以，即三棱锥的体积为定值，故正确； 设中点为，连接， 则即为异面直线与所成的角 在中， 所以异面直线与所成的最小角为45°，故不正确； 若为中点，则，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正确； 取的中点，的中点，的中点，连接、、、、， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为，故正确． 故选：． 12． 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 13． 【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可. 【详解】解：由题知，三点共圆，圆心为坐标原点，半径为， 所以，， 设， 数形结合可得在上的投影， 所以，，即， 故当，时有最小值，此时. 当时，时有最大值， 所以， 综上，的取值范围是， 所以，的最小值是 故答案为： 14． 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 15．(1) (2)的最大值为18 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； （2）在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 16．(1)在和上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）通过导数讨论函数单调性； （2）因有三个极值点，即有三个根，从而再将问题转换问两函数的交点，进而确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. ，因此， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增. 综上，在和上单调递减，在上单调递增. （2）函数，定义域为. ，当时，，因此是的一个极值点. 因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设. 当时，该方程只有1个根，不满足题意，故. 因此方程可等价于. 设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图像有两个交点. 当时，由于，，且单调递增，而单调递减，故两函数图像在上没有交点，不符合题意，故. 则，因此图像的一条过原点的切线为，其中切点为. 故，解得.即该切线为. 因此，只有当时，函数与才有两个交点，且. 此时，有三个根，即由三个极值点. 因此. 故. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，证明，利用线面平行的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【详解】（1）因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接， 在中，F，N分别为PA，PC的中点， 则有，而直线平面，平面， 所以平面； （2）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，又，，故， 以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 整理可得， 解得或 (舍去)， 即DG的长为. 18．(1)，此时直线. (2)存在，. (3)重合，证明见解析. 【分析】（1）先讨论直线的斜率为0的情况，再设，由圆心到直线的距离公式和圆内弦长公式求解即可； （2）由三角形面积公式得到，再令，由对勾函数的单调性求出，然后建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； （3）直曲联立表示出韦达定理，再设，，联立两直线方程得到点在定直线上，设然后再联立直线与圆方程得到韦达定理，得到即可. 【详解】（1）由题意得圆的半径，则圆的方程为， 当直线的斜率为0时，此时， 当直线的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为， 所以弦长的最小值为，直线的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，设，即， 由（1），，，又， 化简得， 令，则， ，又 ， 故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设，其中，则，， 设平面的法向量为，则，即， 取，易得， ，解得，，则.    （3）设，    联立，化简得， ， ， ， 设，， 联立，得， 又，代入得， 即点在定直线上， 易得， 联立，化简得， 设，则， 所以，同理，在定直线上， 所以与重合. 19．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）先证明，继而可得结论. （2）（i）要证数列递减，只证，即证，换元后，利用导数证明即可；（ii）先证，继而得，则，根据条件，求和即可. 【详解】（1）设， 则， 令得， 令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 即， 则当时，即； 时，即. （2）（i）因为数列各项为正， 要证数列递减，只需证明， 即证，又， 所以即证， 令， 不等式化为， 设， 则，恒成立， 故在上单调递增， 则恒成立， 即在上恒成立， 则原命题得证. （ii）先证明：， 即证， 设， 则 ， 所以在上单调递增， 则，则所证不等式成立. 又，， 所以，， 所以，， 则当时， ， 又当时， ， 故成立. 【点睛】本题第一问的关键点是：先证明，继而分和，变化不等式，可得到结论；本题第二问的关键是（i）：构造不等式，不等式化为， 利用换元法，设，构造函数，利用导数证明；（ii）先证明，继而得到，，再结合等比数列的前和求解. 第 2 页 共 21 页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx3-8<0},则() A.1∈A B.2∈A C.0A D.0,1,2sA 2.已知复数z=-,则月-（) 1+i A.1 B.2 C.5 D.√5 3.己知双曲线C经过点(1，-3)，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为y=±x,则双曲线C的方程为() A.x2-y2=8 B.x2-y2=-8 C.x2-y2=10 D.x2-y2=-10 4.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当0<x≤1时，f()=log221x,则f 1 2021 =() 1 A.1 B.-1 C. D.2021 2021 5.己知直线1：(m+n)x+(-n)y-2m=0(n≠0).圆C:(x-2)+(y-2)=8,则() A.1过定点(1，-1) B.1与C一定相交 C.若1平分C的周长，则m=1 D.1被C截得的最短弦的长度为4 6.己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A.168+6π 6 6 6 B.132+6π C.168+24元 4 俯视图 正视图 侧视图 D.132+24元 7.已知tanB=,cosa 则B=() 1-sina ,tam（4+B)=中，若BE0,2 cosa B.π D. 6 高三数学第1页（共4页) 8.己知a= =logb,d=log1c,则实数a,b,c的大小关系为() 2 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10 米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,18,18,20,32，则() A.该组数据的极差为26 B.该组数据的众数为18 C.该组数据的75%分位数为19 D.若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10.关于 2 1 的展开式，下列说法中正确的是() A.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等 C.常数项为60 D.有理项共有4项 11.如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是AB,AD的中点，P为线段C,D上的动点（不含 端点)，则下列结论中正确的是() D P A.三棱锥M-PNC的体积为定值 A B B.异面直线BC与MP所成的最大角为45 C.不存在点P使得MN⊥WP D W D.当点P为CD中点时，过从从P三点的平面截正方体所得截面面积为3 -a 、 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次 取到白球的概率为 ;若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为X,则X的数学期望 E(X)= 13.已知4(2,0)，o0,0),且B=DC=2,则AB.AC的最小值是」 若函数y=f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+o),则关于x的不等式m≥f(a)的解集 为 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在△ABC中，sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C,其中内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)求角A的大小： (2)若D为AC的中点，且BD=3,求bc的最大值. 16.(15分) 已知函数f(w)=C (1)讨论函数∫(x)的单调性； (2)若函数g(x)=a4f(x)+lnx-x有三个极值点，求实数a的取值范围. 17.(15分) 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形，AB/ICD,AB⊥AD,四边形PDCE为矩形，平面PDCE⊥平 面ABCD,F为PA的中点，N为PC与DE的交点，PD=√2，AB=AD=CD=1, 2 (1)求证：FN/平面ABCD: (2)若G是线段CD上一点，平面PBC与平面BG所成角的余弦值为 6 ,求DG的长. E D 高三数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知⊙O圆心在原点，且与直线x+y-3V2=0相切，它与x轴分别相交于A,B,过点F(-1,0)的直线I交圆O 于M,N. (1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程： (2)当△OW的面积SAOMN取得最大值时，将圆O沿x轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点2，使平面OWg 与平面BN的夹角的正弦值为 ,若存在，求o吧的长，若不存在，说明理由， (3)在圆O上任取一点C,过C作x轴的垂线段CD,D为垂足，当C在圆上运动时，线段CD的中点的轨迹记为曲 线x,曲线r与直线1交于G,H,直线GA与直线HB相交于S,S在定直线！上，直线MA与直线BN相交于T,T 在定直线2上，判断直线1,12的位置关系，并证明. M 19.(17分) 已知函数f()=e-1 (1)证明：当x<0时，fx)<1:当x>0时，f(x)>1. (2)正项数列{x}满足：e=f(化)，5=1，证明： (i)数列{x}递减： mx22点. 高三数学第4页（共4页）