4.1.2 分数指数幂导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 §4.1.2 分数指数幂及其运算【导学】 导学目标： 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义. 2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点). 掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点). 【知识要点】 【知识点一】指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；； (3)0的正分数指数幂等于0 ；0的负分数指数幂无意义． 2.有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)(a>0，r，s∈Q)； (2)(a>0，r，s∈Q)； (3)(a>0，b>0，r∈Q)． (4)(a>0，r，s∈Q). 3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数指数 a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数指数 a－n＝(n∈N*) a≠0且a∈R 有理数指数 正分数指数 ＝(m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 (m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 【典型例题】 题型一　根式与分数指数幂的互化 【例1-1】(链接教材P106例3)用分数指数幂的形式并计算下列各式 (其中a>0)； （1） （2） 　　 【例1-2】用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： (1)x＝________；(2)x＝________；(3)xy＝________. 题型二　指数幂的运算 【例2-1】(链接教材P106例4)计算下列各式： (1)； (2)； （3） 【例2-2】计算下列各式： （1） ， (2). 【例2-3】计算化简： （1）＝________； （2）＝________. 题型三 指数幂运算中的条件求值 【例3-1】(链接教材P110T8)已知，求下列各式的值： (1)； (2); (3). 【例3-2】已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值． 【例3-3】(链接教材P110T7)已知.求的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $