精品解析：江苏省南通市海安市2025-2026学年高三上学期期初学业质量监测数学试题

2026届高三期初学业质量监测试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合集合的条件计算可得，，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，，， 则，，所以. 故选：C. 2. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则. 故选：D 3. 设，不等式的解集为或，则（　　） A. B. 0 C. 2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知和是方程的两个根，根据韦达定理求出，的值即可求解. 【详解】由题意可知：和是方程的两个根，则由韦达定理可得：和，即，，所以. 故选：A. 4. 设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系. 【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设是大于1的常数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 6. 已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式. 【详解】因为时，， 当时，则，， 因是奇函数，则. 故选：B.　 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，则，因此， 而，所以. 故选：A 8. 设集合，函数，且对任意的，则满足题设的的个数为（　　） A. 14 B. 13 C. 11 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，应用列举法写出对应函数值，进而确定的值，结合不等关系确定满足条件的函数个数. 【详解】由，函数，任意的， 若依次为，依次为， 当为，则为，满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，不满足； 当为，则为，满足； 综上，共有13个满足条件. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举例判断AD；根据基本不等式求解判断BC. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，则，当且仅当，即时等号成立， 则，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，而在时，无解，则，故C正确； 对于D，当时，，无意义，故D错误. 故选：BC. 10. 设，函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则为偶函数 B. 若，则的最小值为 C. 若为增函数，则 D. 若曲线关于直线对称，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据在上恒成立即可；D先根据求出，再根据检验. 【详解】若，则，则，则为偶函数，故A正确； 若，则，令，则， 故在上单调递增，因时；时， 故函数在上存在唯一的零点，即，即， 则得；得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，故B正确； 若为增函数，则在上恒成立，则在上恒成立，故，故C错误； 若曲线关于直线对称，则，则，得， 当时，则， 故关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【详解】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出满足“”的一个函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据对数的运算性质判断，可以填写对数函数. 【详解】由题意，所求函数定义域为，且满足运算性质， 所以对数函数满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知二次函数满足：，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，其中，结合，求得的值，得到函数的解析式，进而求得的值，得到答案. 【详解】由二次函数满足：，且， 其中， 可得设二次函数，其中， 可得，解得，所以， 则，所以. 故答案为：. 14. 一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则___________，传令兵所走的路程为___________． 【答案】 ①. 2 ②. ##2.25 【解析】 【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解及传令兵所走的路程即可. 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记 为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可； （2）据题意得到 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得. 【小问1详解】 设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中：； 第1次未中，第2次中，第3次未中：； 第1、2两次均未中，则第3次必得：； 所以. 【小问2详解】 记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 . 16. 在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． （1）求的值； （2）求角的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解即可； （2）根据（1）中结论结合基本不等式可得，且，结合运算求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为， 即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，所以. 【小问2详解】 因为，且，则， 可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 因为，则， 可得，， 则， 即的最大值为，且， 所以角的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点均在以为球心，2为半径的球面上． （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，由线面平行判定定理得证； （2）（i）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角的公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 分别为中点， ，又 ， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 （i）均在以为球心，2为半径的球面上， 为球的直径，， ， ， 平面，平面， ，，即两两垂直， 以为坐标原点，分别以方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则， ， 由可得，解得或（舍去）， ，， ，即. （ii）设直线与平面所成角为， 由，平面的一个法向量， 则. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求的方程； （2）设为的右顶点，点，直线与的交点分别为，，直线与的另一交点为． （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）直线的方程为，代入椭圆方程得，设， 则， 根据两点间距离公式， 所以. 设，由（i）知，， 根据两点间距离公式：， ， 所以，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合题给离心率及短轴长求出值即可. （2）（i）已知直线通过点和点，得出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得出D点横坐标； （ii）由得出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式计算得出，同理计算得出，比较两值大小即可. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率，短轴长，则，. 根据椭圆的性质可知， 所以， 所以，椭圆的方程为：. 【小问2详解】 （i）如上图所示，直线通过点和点，斜率， 则直线方程为. 联立椭圆方程得： 已知为方程一个根（点），设另一个根为，由韦达定理得： ； （ii）略. 19. 已知，函数的定义域为，记集合． （1）若，，且，求实数的取值范围； （2）若是否存在，使得中恰有两个元素？ （3）若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数是上的增函数，证明：“在点处的切线方程为”的充要条件是“”． 【答案】（1） （2）存在 （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式的解集为求出范围. （2）利用导数求出函数的最小值，并确定集合只有两个元素的即可. （3）记，由切线方程得，再由单调性求出证得必要性；由，得当时，结合函数极小值的意义求出切线斜率及切线方程证得充分性即可. 【小问1详解】 当，时， 不等式， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，在处取得极小值， 当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，在处取得极小值， 因此函数在和处取得最小值，不等式的解集为， 取，集合， 所以存在，使得中恰有两个元素. 【小问3详解】 令函数，求导得， 由在上单调递增，得函数在上单调递增， 证必要性：由直线l是曲线在点处的切线，得，即， 当时，，函数在上单调递减，； 当时，，函数在上单调递增，， 因此的解集为，即； 证充分性：若，则当时，， 由函数的图象是一条连续曲线，得， 且在的附近其他自变量（除外）对应的函数值都大于， 即函数在处取得极小值，于是， 因此曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线， 综上，“在点处的切线方程为”的充要条件是“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三期初学业质量监测试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 3. 设，不等式的解集为或，则（　　） A. B. 0 C. 2 D. 7 4. 设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设是大于1的常数，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 设集合，函数，且对任意的，则满足题设的的个数为（　　） A. 14 B. 13 C. 11 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（　　） A. B. C. D. 10. 设，函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则为偶函数 B. 若，则的最小值为 C. 若为增函数，则 D. 若曲线关于直线对称，则 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出满足“”的一个函数___________． 13. 已知二次函数满足：，且，则___________． 14. 一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则___________，传令兵所走的路程为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 16. 在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． （1）求的值； （2）求角的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点均在以为球心，2为半径的球面上． （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求的方程； （2）设为的右顶点，点，直线与的交点分别为，，直线与的另一交点为． （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）证明：． 19. 已知，函数的定义域为，记集合． （1）若，，且，求实数的取值范围； （2）若是否存在，使得中恰有两个元素？ （3）若函数的图象是一条连续不间断的曲线，且导函数是上的增函数，证明：“在点处的切线方程为”的充要条件是“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $