第一章 特殊平行四边形 单元练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026年第一学期山东省滕州市羊庄中学第一学期单元练习题 · 九年级数学 第一章 特殊平行四边形 一、单选题 1．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 2．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 3．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和4时，则阴影部分的面积为（   ） A．48 B．24 C．12 D．6 4．如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，以点D为圆心，的长为半径作弧交于点G，分别以点C，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，交于点O，若，则的长为（   ） A．10 B．5 C．12 D．15 6．如图，菱形的面积为12，对角线，相交于点O．过点作于点，连接．已知在菱形中，，则的长为（   ） A．4 B．2 C．3 D．2.5 7．如图，四边形是菱形，对角线交于点O，于点E，F是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 9．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（    ） A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，矩形的边上有一动点，沿匀速运动一周，点到轴的距离与点走过的路程之间的函数图像如图所示，已知点的横坐标为1，下列不正确的是（　　） A． B．点的坐标为 C．矩形的面积为2 D．所在直线的函数表达式为 二、填空题 11．如图，在中，，点，，分别，，的中点，若，则的长为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 13．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 14．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作于点，连接，若，则矩形的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 16．已知，正方形的顶点F在正方形的一边的延长线上，连结交于点H，若，，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 18．如图所示，已知正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)求、、的长； (2)证明：． 19．如图，在中，，是边上的中线，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)填空：当 时，四边形为正方形． (3)连接，当 时，四边形为菱形． 20．如图，在矩形中，对角线，交于点，过点，分别作，，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 21．如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 22．（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，交于点O，．求证：． （2）如图2，在正方形中，点E、H、F、G分别在边上，交于点O，．求的长． （3）如图3，在矩形中，，点E、H、F、G分别在矩形的边上，交于点O，，求的长． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A B D B C D 1．B 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法正确； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 3．D 【分析】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记菱形的性质并判断出阴影面积为菱形面积的一半是解决本题的关键． 先由菱形的面积等于对角线乘积的一半求解菱形的面积，再根据中心对称的性质得到阴影面积为菱形面积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和4， ∴菱形的面积为， ∵是两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积为． 故选：D ． 4．B 【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，平行线的性质，解题的关键是平行线性质的应用．根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． ． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、勾股定理、菱形的判定和性质等知识点，理解角平分线的作法是解题的关键． 如图：连接，由作图知，平分得到，根据平行四边形的性质得到求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由作图知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查菱形的性质、三角形中位线、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质得，，则，因为F是线段的中点，利用三角形中位线的性质以及勾股定理可得，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 解得：． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，值最小，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当的值最小时，值最小， ∵当为直角斜边上的高时，的值最小， ∴的最小值即为直角斜边上的高， 设直角斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，先根据矩形的性质证明，得，再根据勾股定理求出，进而可得，然后根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定即可解决问题，解决本题的关键是得到． 【详解】当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下， ∵的中点为O， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当点P运动到时，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当点P运动到未达到中点M时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 当点P运动到时，如图所示， ∴四边形是矩形； 当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了矩形的性质、一次函数的应用，由矩形的性质并结合图象可得，，由此即可判断ABC，由题意并结合图象可得，，，再利用待定系数法求出所在直线的函数表达式，即可判断D，熟练掌握矩形的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由矩形的性质并结合图象可得：，， ∴，矩形的面积为，故A、C正确； ∴点的坐标为，即，故B正确； 由题意并结合图象可得，，， 设所在直线的函数表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴，故D错误； 故选：D． 11．7 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质是解决本题的关键． 根据直角三角形的性质，点D为的中点，可得，再根据，分别是，的中点，可得由此可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， 则的长为7 ． 故答案为：7 ． 12． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．过点B作于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即求得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点C， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴点B关于原点的对称点的坐标是． 故答案是：． 13． 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 14．24 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 根据矩形性质可得，由，可得，所以是的中位线，得到，再根据勾股定理可得的长，即可得到，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：24． 15．6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 16． 【分析】连接，设与交于P，证明，后利用正方形的性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，设与交于P， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴C，G，F三点共线，， ∴， ∴AG， ∵S△ACG， ∴CH， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)的长是 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 18．(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及其逆定理、二次根式的化简等知识，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质和已知条件可分别求出的长，再根据勾股定理求解即可； （2）结合（1）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 则在直角三角形、直角三角形、直角三角形中， 根据勾股定理可得： ， ， ； （2）解：由（1）可知：，，， 且， ∴是直角三角形，且， 即． 19．(1)见解析 (2)45 (3)30 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）证明得，再结合可得结论； （2）先根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，求得，于是得到答案； （3）根据菱形的性质得到，推出是等边三角形，于是得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴四边形是菱形， 当四边形为正方形时，， ∴， 故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形是菱形， ∴， 当四边形为菱形时，，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：30． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质和矩形的性质求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：∵且四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 21．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵，点E是的中点， ∴，． ∴． ∵点F是的中点， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴． ∵，点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 22．（1）证明见解析；（2）4；（3）12 【分析】本题考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出． （2）可以认为图2中的线段是由图1中的线段平移得到，故． （3）由于，可见图3是由三个图2的基本型转化而来，据此即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵，， ∴． 故． （2）∵图2中的线段是由图1中的线段平移得到， 即平移后得到，平移后得到， ∴， 故． （3） 把三等分，得到三个正方形，正方形，正方形，正方形， 将线段平移得到、，则， 由（2）可知， ， ． 答案第16页，共17页 答案第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $