3.4圆心角 同步课堂 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

3.4圆心角 讲解目录 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 1 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 1 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 5 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 8 知识讲解 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型专练 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 【典型例题】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】图中是圆心角的是（　　） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B. 【举一反三2】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C、是圆心角，故本选项符合题意； D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为          ．（只考虑小于的角） 【答案】 【解析】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【举一反三4】如图，是的弦，，则        ． 【答案】 【解析】∵， ∴，又， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【举一反三6】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）； ∵，，， ∴. （2）∵，，，， ∴， ∴. 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 【典型例题】如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 (   ) A.== B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF， ∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, ∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF， ∴DF=DF=BF， 则==. 故选A. 【举一反三1】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在⊙O中， ∵， ∴，， 故A、C选项正确，不符合题意； ∵，OA=OD，OB=OC， ∴， ∴， ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴， ∴OE=OF， 故B选项正确，不符合题意． 故选D. 【举一反三2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则       ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 【举一反三3】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有               ． 【答案】①②③④ 【解析】∵∠1=∠2， ∴，故①正确； ∵∠1=∠2， ∴，即， ∴，，故②③正确； 由上证得，故④正确． 故答案为：①②③④. 【举一反三4】如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接作直线求证：． 【答案】解：（1）∵， ∴, ∴， 即． ∴． （2）连接    ∵ ∴, ∴ ∴, ∵, ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 【典型例题】如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【举一反三1】如图，A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A.1 B. C.2 D.无法计算 【答案】B 【解析】如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 【举一反三2】如图，是的两条直径，点A是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接，如图所示：    ， ， 点A是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【举一反三3】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为         . 【答案】 【解析】如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE=EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴AC=DF=12， ∴EF=DF=6，设OA=OF=x， 在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2， 解得x=， 故答案为：． 【举一反三4】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r. 【答案】解：连接AO交BC于D,连接OB、OC, ∵ AB=AC, ∴弧 AB=弧AC (同圆或等圆中,等弦对等弧), ∴ ∠BOA=∠AOC (同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等), ∵ OB=OC ∠BOA=∠AOC, ∴ OA⊥BC(三线合一), BD=DC=×BC=×10=5 (三线合一), ∴ AD= ==(直角三角形勾股定理求值), 设CO=R 则DO=AO−AD=R−, ∵ △CDO是直角三角形, ∴+=(直角三角形勾股定理), ∵ DO=R−,CO=R,DC=5, ∴+=, 解得R= 所以△ABC的外接圆的半径R为 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4圆心角 讲解目录 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 1 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 1 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 3 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 4 知识讲解 【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型专练 【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 【典型例题】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A.   B.   C.   D.   【举一反三1】图中是圆心角的是（　　） A.   B.   C.   D.   【举一反三2】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为          ．（只考虑小于的角） 【举一反三4】如图，是的弦，，则        ． 【举一反三5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【举一反三6】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 【典型例题】如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 (   ) A.== B. C. D. 【举一反三1】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则       ．（填“”“”或“”） 【举一反三3】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有               ． 【举一反三4】如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接作直线求证：． 【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 【典型例题】如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A.1 B. C.2 D.无法计算 【举一反三2】如图，是的两条直径，点A是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为         . 【举一反三4】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r. 学科网（北京）股份有限公司 $