3.5圆周角 举一反三讲义2025-2026学年 浙教版九年级数学上册

3.5圆周角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆周角的概念辨析 3 【题型2】圆周角定理 4 【题型3】圆周角定理推论1 5 【题型4】圆周角定理推论2 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025•泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 2.（2025•前郭县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D=62°，则∠BAC=（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【知识点2】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋•安定区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【知识点3】相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）______（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．______　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）． 【题型1】圆周角的概念辨析 【典型例题】如图，图中共有圆周角（    ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三1】下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，图中圆周角的个数是(    ) A.9 B.12 C.8 D.14 【举一反三3】如图，所对的圆周角是           ，所对的圆周角是           ．    【举一反三4】上的五个点，则图中共有        个圆周角，分别是             ． 【举一反三5】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【举一反三6】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 【题型2】圆周角定理 【典型例题】如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则___________度． 【举一反三3】如图，是的直径，点是的中点，连接，，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【题型3】圆周角定理推论1 【典型例题】如图，在直角坐标系中，点A(0，3)、点B(4，3)、点C(0，-1)，则△ABC外接圆的半径为(　　)    A.2 B.3 C.4 D. 【举一反三1】如图，点C在以为直径的半圆O上，，点D在上，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是     ． 【举一反三3】如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 【题型4】圆周角定理推论2 【典型例题】如图，，是的直径，弦直径，连结，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点C，D是以线段为直径的上的两点，若，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点且，则             ． 【举一反三3】如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点D，连接．在上取一点F，使，连接与交于点G． (1)试求与的数量关系； (2)求证：. 【举一反三4】如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：．    学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5圆周角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆周角的概念辨析 4 【题型2】圆周角定理 7 【题型3】圆周角定理推论1 10 【题型4】圆周角定理推论2 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025•泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 【答案】B 【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB=76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数． 解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论． 【解答】解法一：连接AD，如图1， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=∠BCD=38°， ∴∠ABD=90°-38°=52°． 解法二：连接OD，如图2， 根据圆周角定理，∠DOB=2∠DCB=76°， ∵OD和OB均为⊙O的半径， ∴OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD， ∴在△DOB中，∠ABD=． 故选：B． 2.（2025•前郭县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D=62°，则∠BAC=（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°， ∵∠B=∠D=62°， ∴∠BAC=28°， 故选：B． 【知识点2】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋•安定区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【答案】A 【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠BAD+∠BCD=180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD=∠DCE．由圆周角定理继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠BAD=∠DCE=64°， ∴∠BOD=2∠BAD=128°． 故选：A． 【知识点3】相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）______（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．______　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）． 【题型1】圆周角的概念辨析 【典型例题】如图，图中共有圆周角（    ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个， 故选C. 【举一反三1】下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】如图，图中圆周角的个数是(    ) A.9 B.12 C.8 D.14 【答案】B 【解析】根据圆周角的定义可知，在圆上的顶点有A、B、C、D，每一个顶点有3个圆周角，所以图中有12个圆周角，故选B. 【举一反三3】如图，所对的圆周角是           ，所对的圆周角是           ．    【答案】； 【解析】如图，    所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【举一反三4】上的五个点，则图中共有        个圆周角，分别是             ． 【答案】6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE 【解析】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE. 故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE. 【举一反三5】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【举一反三6】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 【答案】解：图（3）顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角． 【题型2】圆周角定理 【典型例题】如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【举一反三1】如图，内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则___________度． 【答案】144 【解析】∵B为弧的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：144． 【举一反三3】如图，是的直径，点是的中点，连接，，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】解：（1）如图， 由圆周角定理可得，． 点是是中点， ， ， 即， ， ； （2）连接交于， ，， 于， ，， ， ∴为的中位线， , ， ， 设，则， 在中，，在中，， ， 解得， ． 【题型3】圆周角定理推论1 【典型例题】如图，在直角坐标系中，点A(0，3)、点B(4，3)、点C(0，-1)，则△ABC外接圆的半径为(　　)    A.2 B.3 C.4 D. 【答案】D 【解析】连接AB、BC，    ∵点A(0，3)、B(4，3)， ∴AB∥x轴， ∴AB⊥y轴，即∠BAC＝90°， ∴BC为△ABC外接圆的直径， 在Rt△ABC中，AC＝3－（﹣1）＝4，AB＝4－0＝4， ∴BC＝＝＝， ∴△ABC外接圆的半径为， 故答案选：D． 【举一反三1】如图，点C在以为直径的半圆O上，，点D在上，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【举一反三2】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是     ． 【答案】8 【解析】连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OF＝BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中， ， ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OF＝DF， ∵OD＝3， ∴OF＝， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC＝＝＝8， 故答案为8． 【举一反三3】如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】解：（1）∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）如图，连接，则． 又∵， ∴且平分（等腰三角形“三线合一”）． ∴． 【题型4】圆周角定理推论2 【典型例题】如图，，是的直径，弦直径，连结，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设与相交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 即， ∴， 即， 故选：A． 【举一反三1】如图，点C，D是以线段为直径的上的两点，若，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， 故选：A． 【举一反三2】如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点且，则             ． 【答案】 【解析】如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    【举一反三3】如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点D，连接．在上取一点F，使，连接与交于点G． (1)试求与的数量关系； (2)求证：. 【答案】解：（1）．理由如下： ∵AB=AC， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）连接， ， ， 垂直平分， ， ． ，， ∴， ， ， ， ． 【举一反三4】如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：．    【答案】解：， ， ∵， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $