27.2 反比例函数的图像和性质 课件 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕反比例函数的图像与性质展开，从一次函数图像回顾入手，通过列表、描点、连线三步法引导学生自主探究反比例函数图像特征，逐步构建“双曲线”概念，再由具体函数图像归纳出k值对图像位置和形状的影响，形成清晰的知识脉络，为后续性质应用奠定基础。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“几何直观”“逻辑推理”和“模型意识”。例如，通过对比正比例函数与反比例函数图像，引导学生发现k的符号决定双曲线象限，绝对值大小影响离坐标轴远近，强化数形结合思维。典型例题与变式训练层层递进，帮助学生掌握判断点在图像上、比较函数值大小等关键技能。此设计既提升学生数学表达与问题解决能力，又助力教师高效落实教学目标，实现从知识理解到能力迁移的转化。

27.2 反比例函数的图像和性质 课时1 反比例函数的图像与双曲线 第二十七章 反比例函数 22002 1.会画反比例函数的图像. 2.能确定一个点是否在反比例函数的图像上，能由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.（难点） 学习目标 22002 你还记得画函数图像的步骤吗？ 1.列表 2.描点 3.连线 新课导入 22002 观察下列一次函数的图像，你有什么发现？ x O y -1 1 (1) y=x+1 (2) y=x+1(x≥0) (3) y=x+1(0≤x≤2) x O y 1 1 2 3 2 x O y 1 1 2 x -1 0 y 0 -1 x 0 1 y 1 2 x 0 2 y 1 3 直线 射线 线段 22002 发现： 1.一次函数的图像是一条直线，因此画一次函数的图像只需要描出2个点即可. 2.自变量的取值范围对函数图像有影响，画函数图像要关注自变量的取值范围，只能在自变量的取值范围内取值、描点. 22002 1.列表 想一想： （1）取两个点合适吗？ 不合适，我们不能确定反比例函数图像的形状，在探究时多取一些点合适. （2）能任意取值吗？ 不能，应在自变量x的取值范围内取值，由于x≠0,因此取值时不能取x=0. 探究新知 22002 可以在0两边分别取一些正数和负数. x ... -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 ... y ... -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 ... 一般可以在0的两边对称着取数. 22002 （2）描点 x y ● ● ● ● ● ● ● ● 22002 （3）连线 x y ● ● ● ● ● ● ● ● 你认为这样连线对吗？为什么？ 不对，因为x≠0，画出的图形不是连续的一条线，而应该是被y轴分开的两部分. 22002 （3）连线 x y ● ● ● ● ● ● ● ● 在图像的旁边写上表达式 观察形状和位置： 形状：被y轴隔开的两条曲线 位置：分别在一、三象限 22002 （利用课本131页的直角坐标系） x ... -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 ... y ... 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 ... x y ● ● ● ● ● ● ● ● 1.列表 2.描点 3.连线 观察形状和位置： 形状：被y轴隔开的两条曲线 位置：分别在二、四象限 探究新知 22002 一、反比例函数的图像 反比例函数的图像由分别位于两个象限的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线. x y x y 探究新知 22002 二、初步认识双曲线的特征. x y x y （1）双曲线的位置在______象限或______象限，可能与__的值有关. 一、三 二、四 k （2）双曲线关于_____对称. 原点 关于直线y=x 和y=-x对称. 22002 x y x y （3）双曲线_____原点，与x轴、y轴___________. 不过 永远不相交 22002 例1.（课本132页例1） (1)求这个反比例函数的表达式. 分析： 双曲线上的点 符合表达式的一对x、y的值 一一对应 解：（1）把点P（-6,8）代入得， k=-6×8=-48 典型例题 22002 （2）判断点M（4，-12）和N（2,24）是否在这个反比例函数的图像上？ 分析： 只要看点的横纵坐标的乘积是不是等于-48即可.如：4×（-12）=-48，则点M在；2×24=48≠-48，则N不在. ∴点M在反比例函数图像上，点N不在. 你有更快的方法吗？ 例1.（课本132页例1） 22002 乘积为6 发现： 乘积为-10 乘积为1.5 乘积为k 结论：双曲线上所有点的横、纵坐标的乘积相等，都等于k. 归纳总结 22002 B A 知识点：双曲线上所有点的横、纵坐标的乘积相等，都等于k. 练一练 22002 3.若一个反比例函数的图像经过点A（m,m)和B（2m,-1),则这个反比例函数的表达式为_______. 考查的知识点： 解得，m=0或m=-2 双曲线上的点的横、纵坐标乘积相等. 当m=0时，A(0，0),而双曲线不过原点，故舍去. 当m=-2时，A（-2，-2）k=-2×(-2)=4 22002 设P(x,y)，矩形OAPB的面积=OA·PA=xy=2 y x P A B O 7 20 矩形OAPB的面积等于k的绝对值 2 22002 y x O y x O y x O y x O A C B D B 当堂检测 22002 A.关于原点中心对称 B.关于直线y=x对称 C.关于直线y=-x对称 D.关于x轴对称 D 22002 3.已知点A（2,4）与点B（-3,m）在同一反比例函数的图像上，则m的值是_____. y x C A B O D 4 22002 P y x Q O 22002 一、反比例函数的图像 二、双曲线上点的特点 双曲线 横、纵坐标的乘积相等，都等于k 课堂总结 22002 27.2 反比例函数的图像和性质 课时2 反比例函数的图象性质 第二十七章 反比例函数 22002 1.通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比例函数的性质，并能灵活运用函数的图象和性质解决问题.（重点） 2.理解反比例函数的比例系数k的几何意义，并会应用其解决问题.（难点） 学习目标 22002 观察下列正比例函数的图像，回忆k对直线的影响. x O y -1 1 y=x y=2x y=-3x （1）k的正负对直线的影响 k＞0时，y随x的增大而增大； k＜0时，y随x的增大而减小. （2）k的绝对值对直线的影响 k的绝对值越大，直线上升或下降的速度就越快. 情境导入 22002 正比例函数y=kx中，比例系数k的正负及绝对值的大小对函数图像均有影响.类似地，我们来探究一下在反比例函数 中，比例系数k对双曲线有什么影响？ 22002 在课本131页的坐标系中画下列反比例函数的图像 y x O 蓝线： 红线： 绿线： 黄线： 观察画出的双曲线，你有什么发现？ 22002 发现： y x O 蓝线： 红线： 绿线： 黄线： （1）k的正负对双曲线的影响 当k＞0时，双曲线位于第 象限，在每一象限内，y随x的增大而 . 当k＜0时，双曲线位于第 象限，在每一象限内，y随x的增大而 . 一、三 增大 二、四 减小 探究新知 22002 发现： （2）k的绝对值对双曲线的影响 k的绝对值越大，双曲线离坐标轴越 . k的绝对值越小，双曲线离坐标轴越 . 远 近 y x O 蓝线： 红线： 绿线： 黄线： 22002 y x O (1)判断k的正负. ∵双曲线位于第一、三象限 ∴k＞0. 典型例题 22002 y x O -3 -1 ● A ● B 方法一：利用图像 在坐标系中比较y的大小，上下看，上为大，下为小. 22002 y x O -3 -1 ● A ● B 方法二：利用反比例函数的性质 ∵k＞0, ∴在第三象限内，y随x的增大而减小. ∵-3＜-1 ∴ 22002 变式一： 你同意这个说法吗？ 不同意，漏了限定条件“在同一象限内” 练一练 22002 变式一： 方法一：利用性质分析 22002 y x O 方法二：利用图像 A B ● ● 变式一： 22002 变式二： 分析：由于不确定A、B是否在同一象限，需分类讨论. 当A、B在同一象限时，用增减性判断；当A、B在不同象限时，用第一象限的点的x值大于第三象限的点的x值判断. 练一练 22002 解：当点A、B在同一象限时， 由于k=7＞0，y随x的增大而减小 ∵a＜b ∴m＞n. 当点A、B不在同一象限时， 由于k=7＞0,双曲线位于一、三象限 ∵a＜b ∴点A在第三象限，点B在第一象限 ∴m＜n. 综上，当A、B在同一象限时，m＞n;当A、B在不同象限时，m＜n. 22002 x y ①利用图像解决 把点A、B、C标到双曲线上，观察点的高低，可得答案. 变式三： -3 -2 1 ● ● ● A B C 练一练 22002 ①利用性质解决 ∵k=-12＜0,∴双曲线位于第二、四象限 由题可得，点A、B在第二象限，点C在第四象限 变式三： 22002 利用反比例函数的性质比大小要注意： 1.增减性的限定条件是“在同一象限内”； 2.要分析点是在同一象限，还是在不同象限； 3.利用图像，数形结合可让问题变得直观易懂. 归纳总结 22002 解：把y=5代入，得x=2. ∵k=10＞0 ∴双曲线位于第一、三象限， 当在第一象限时，y随x的增大而减小 ∴当y＜5时，x＞2. 当在第三象限时，点的纵坐标为负，因此y一定小于5 此时x＜0. 综上，当y＜5时，x＞2或x＜0. 典型例题 22002 解：∵k=-1＜0,双曲线位于第二、四象限 当3＜x＜100时， 在第四象限内，y随x的增大而增大 ∴x取最大值100时，y最大 练一练 22002 利用反比例函数的性质确定x或y的取值范围 1.先将已知的变量值代入表达式，求出另一个变量的值； 2.在同一象限内，根据增减性由一个变量的范围确定另一个变量的取值范围； 3.在不同象限，比正负，正数大于负数. 归纳总结 22002 y x P O O C 解：设P（a,b),C(m,n) 蓝色矩形面积=▏a▕·▏b▕=▏ab▕=▏k▕ 红色矩形面积=▏m▕·▏n▕=▏mn▕=▏k▕ 两个矩形的面积相等，都等于k的绝对值 典型例题 22002 变式：分别从点P、C向x轴作垂线，垂足分别为A、B.则蓝色三角形与红色三角形的面积有何关系？ 两个三角形的面积分别是上一题中，两个矩形面积的一半，因此两个三角形的面积相等，都等于k的绝对值的一半. y x P O C A B 练一练 22002 如图所示，矩形面积等于k的绝对值， 直角三角形面积等于k的绝对值的一半. k的几何意义 y x P O O C y x P O C A B 归纳总结 22002 y x O P M -2 当堂检测 22002 y x O B A C D 4.5 22002 反比例函数的增减性 反比例函数性质的应用 k的几何意义 在同一象限内 比大小 求范围 矩形面积 课堂总结 22002 $