精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2025-2026学年九年级上学期开学质量检测数学试题

昆一中西山学校九年级（上）开学质量监测数学 （全卷三个大题，共27小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、选择题（每小题2分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是102分（总分120分），方差分别是，，，，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. （-1，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，0） 5. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若点，点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线（）经过点，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 10. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（　　） A. B. C. 5 D. 4 11. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 12. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 13. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 14. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2或 15. 如图，已知是长方形纸片，，在上存在一点，沿直线将折叠，恰好落在边上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，满分8分） 16. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为_______． 17. 二次函数 图像的对称轴是直线____. 18. 二次函数解析式为，可以得知，该二次函数有___________值（填“最大”，“最小”），其值为___________． 19. 如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是________cm． 三、解答题（共8题，满分62分．作答时，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算：． 21. 按要求解方程： （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： （3）用适当的方法解方程： 22. 二次函数中的满足如下表． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 n 0 ．．． （1）观察表中信息，发现___________，抛物线的对称轴为___________． （2）求该抛物线的解析式，并说明二次函数的开口方向． 23. 如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 24. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名·设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． （1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． （2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价70元/个，中号“龙辰辰”定价60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图1，直线分别交轴、轴于，两点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 26. 已知：关于的一元二次方程为常数． （1）当原方程有两个相等的实数根时，求的值； （2）若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值． 27. 过正方形的顶点在正方形外部作，将沿直线折叠，点的对称点是点，连接，直线交直线于点 （1）如图1，请直接写出是什么特殊的三角形___________； （2）如图1，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校九年级（上）开学质量监测数学 （全卷三个大题，共27小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、选择题（每小题2分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义的条件是， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C、中含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：A． 3. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁4名同学三次数学成绩的平均分都是102分（总分120分），方差分别是，，，，则这4名同学三次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的特征：反映一组数据波动程度，方差越小，数据的波动程度越小；据此判断即可． 【详解】解：， 这4名同学三次数学成绩最稳定的是甲； 故选：A． 4. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. （-1，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，0） 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的顶点式可求得答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为（-1，0）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，0）． 5. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴． ∵点E、F分别是BD、CD的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 6. 若点，点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减大，当时，y随的增大而减小”是解此题的关键．由，利用一次函数的性质可得随的增大而减小，结合即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又， ， 故选：A． 7. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 8. 如图，直线（）经过点，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，判断根的情况即可，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故原方程无实数根； 故选B． 10. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O， ∵四边形是菱形 ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选:A． 11. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能判断是直角三角形，不符合题意； B、，则：，故，故，能判断是直角三角形，不符合题意； C、，则：，能判断是直角三角形，不符合题意； D、，不能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 12. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 13. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 14. 若函数是关于的二次函数．则常数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 15. 如图，已知是长方形纸片，，在上存在一点，沿直线将折叠，恰好落在边上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、勾股定理、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为，根据折叠可得，；然后中由勾股定理得求出的长，从而得到的长，最后在中由勾股定理可得：，得到关于x的方程，解之即可求得的长． 【详解】解：四边形是矩形，， ，，， ∵沿直线将折叠，恰好落在边上的点处， ∴，， 设，则， 在中，， ， 在中，， 即， 解得：， 即． 故选：C． 二、填空题（每小题2分，满分8分） 16. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 二次函数 图像的对称轴是直线____. 【答案】x=-1. 【解析】 【分析】利用配方法：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据顶点式写出对称轴． 【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∴此二次函数的对称轴为直线x=-1. 故答案为：x=-1. 【点睛】本题考查了把一般式配成顶点式：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式. 18. 二次函数解析式为，可以得知，该二次函数有___________值（填“最大”，“最小”），其值为___________． 【答案】 ①. 最大 ②. 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式，其中决定函数图象的开口方向，当时，开口向上，函数有最小值；当0 时，开口向下，函数有最大值，为函数的最值． 【详解】解：二次函数中， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 所以该函数有最大值，最大值为， 故答案为：最大；． 19. 如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是________cm． 【答案】10 【解析】 【详解】如图所示： 连接AB， ∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm， ∴AC=×12=6cm， 在Rt△ABC中， AB==10cm． 三、解答题（共8题，满分62分．作答时，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简以及运算除法，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 21. 按要求解方程： （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： （3）用适当的方法解方程： 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴或 解得，． 22. 二次函数中的满足如下表． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 n 0 ．．． （1）观察表中信息，发现___________，抛物线的对称轴为___________． （2）求该抛物线的解析式，并说明二次函数的开口方向． 【答案】（1），直线 （2），开口方向向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据对称性求出对称轴，再令时，则，求出的值，即可作答． （2）运用待定系数法进行求出该抛物线的解析式，根据得出抛物线的开口方向向上，即可作答． 【小问1详解】 解：观察表格信息得当时，则的值是或， 故二次函数的对称轴为直线， 令时，则，即， 故答案为：，直线； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线，， 即，， 观察表格数据得二次函数经过点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴开口方向向上． 23. 如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 【答案】（1） 解：∵菱形的对角线和交于点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和勾股定理可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ． 24. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名·设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． （1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． （2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价70元/个，中号“龙辰辰”定价60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为40元； （2）当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，根据“2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元”，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购买大号的“龙辰辰”的个数函数关系，再根据大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半，可以得到购买大号的“龙辰辰”的个数取值范围，最后根据一次函数的性质即可求出利润的最大值． 【小问1详解】 解：设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元， 由题意可得：， 解得， 答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为40元； 【小问2详解】 解：设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元， 由题意可得：， ∵， 随的增大而减小， 大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半， ， 解得， 当时，取得最大值，此时， 答：当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 25. 如图1，直线分别交轴、轴于，两点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是确定一次函数解析式，确定直线与坐标轴的交点坐标． （1）用待定系数法求解即可； （2）当时，，即可知道直线过定点，求出直线解析式得到点的坐标，可求面积． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点，坐标代入得．， 解得， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴直线过定点， 设直线的解析式为：， ∵在函数图象上， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴． 26. 已知：关于的一元二次方程为常数． （1）当原方程有两个相等的实数根时，求的值； （2）若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时的值． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行列式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ． ∵原方程有两个相等的实数根 ∵， 则 解得或； 【小问2详解】 解：∵的两根分别是和， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴ 解得或． ∵ 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； ∴或． 27. 过正方形的顶点在正方形外部作，将沿直线折叠，点的对称点是点，连接，直线交直线于点 （1）如图1，请直接写出是什么特殊的三角形___________； （2）如图1，请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当时，请求出的长． 【答案】（1）等腰三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据折叠的性质得出，即可得，从而得出是等腰三角形． （2）如图，连接，根据四边形是正方形，得出，在中，勾股定理得出，根据轴对称可得，从而得出，证明，在中，勾股定理得出，即可得． （3）根据，，求出，勾股定理求出，根据轴对称可得，勾股定理求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对称点是点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， 根据轴对称可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴ 根据轴对称可得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $