精品解析：2021 年安徽省安庆市石化第一中学第三次中考模拟数学试题

2021年安庆石化一中数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 下面各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、分别是长方形边、上的点，将长方形沿折叠，使、分别落在和处，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差（环2） 0.035 0.016 0.022 0.025 则这四个人种成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若不论取何值，不等式都成立，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据(单位：dm)，可求得它的体积(单位：dm3)是(　　) A. 80 B. 240 C. 250 D. 480 8. 某企业不断引进科技提高生产率，在工人数量和每个人的生产效益方面均获得提升，2017年工人总数250人，生产总值为100亿元，2019年工人总数上升到400人，生产总值达到736亿元，设2017年和2019年每位工人的生产效益平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为AB中点，E为AC上一动点，BF∥AC交ED延长线于点F，则四边形BCEF周长的最小值为（　　） A. 1+ B. 4 C. 2+ D. 2+ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为______． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 13. 如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，若，则正方形的边长是______． 14. 如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上结论中，正确的是______ .（请把正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 计算：． 16. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 17. 在中，，、、的对边分别是、、，设的面积为． （1）填表： 三边、、 3，4，5 6 4 6 5，12，13 20 30 8，15，17 24 10 S （2）观察表格，试用含、的代数式表示； （3）证明（2）中的结论． 18. 如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可． 19. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向． （1）求的度数； （2）船C离海岸线的距离（即的长）为多少？（不取近似值） 20. 如图，是的直径，弦于点E，的切线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为）不能打开教室前门锁． （1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有_______种等可能情况； （2）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是_______； （3）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 22. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集； （3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 23. 如图，在中，点在的内部且，点在的外部，，． （1）填空：_______________； （2）求证：； （3）若点在的平分线上，判断四边形的形状为_______，并说明理由．（前面的结论在后面的证明中可直接应用） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年安庆石化一中数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 下面各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题关键． 根据两个负实数绝对值大的反而小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴比大的数是． 故选D． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 故选：D． 3. 下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式法进行因式分解成为解题的关键． 运用公式法和提取公因式法逐项判断即可． 【详解】解：A． ，能分解因式，符合题意； B． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意； C． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意； D． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意． 故选A． 4. 如图，、分别是长方形边、上的点，将长方形沿折叠，使、分别落在和处，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形中折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键．由折叠的性质得到，再根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 5. 甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差（环2） 0.035 0.016 0.022 0.025 则这四个人种成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定． 【详解】解：∵S甲2，=0.035，S乙2=0.016，S，丙2=0.022，S，丁2=0.025，∴S乙2最小． ∴这四个人种成绩发挥最稳定的是乙． 故选B． 6. 若不论取何值，不等式都成立，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使，则称A是完全平方式． 当为完全平方式时，不等式恒成立，易得，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵不论x取何值，不等式都成立， ∴为完全平方式， ∴，解得． 故选：D． 7. 如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据(单位：dm)，可求得它的体积(单位：dm3)是(　　) A. 80 B. 240 C. 250 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】依题意可求出该几何体的体积为×6×8×10＝240dm3 故选B 【点睛】此题主要考查几何体的三视图，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状． 8. 某企业不断引进科技提高生产率，在工人数量和每个人的生产效益方面均获得提升，2017年工人总数250人，生产总值为100亿元，2019年工人总数上升到400人，生产总值达到736亿元，设2017年和2019年每位工人的生产效益平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由题意可知2017年每位工人的生产效益为，由题意可知2019年每位工人的生产效益为，然后根据一元二次方程的增长率问题列出方程即可． 【详解】解：由题意可知2017年每位工人的生产效益为，由题意可知2019年每位工人的生产效益为，则． 故选A． 9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据等边对等角可得∠B=∠C=45°，且根据勾股定理可求得BC=， 然后可根据三角形的内角和可知∠BDE+∠BED=180°-∠B=135°， 由∠EDF=45°，可知∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=135°， 因此可得∠BDE=∠CDF，由两角对应相等的两三角形相似可得△BED∽△CDF， 然后根据相似三角形的性质可得， 再由BD=2CD可得BD=，CD=， 即，解得， 然后根据E，F分别在AB，AC上运动，可得0＜x≤3，0＜y≤3，可知D正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是由等腰三角形的性质和勾股定理证明两三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出y与x的关系式，然后根据取值范围确定图像即可． 10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为AB中点，E为AC上一动点，BF∥AC交ED延长线于点F，则四边形BCEF周长的最小值为（　　） A. 1+ B. 4 C. 2+ D. 2+ 【答案】C 【解析】 【分析】由△ADE≌△BDF，推出BF=AE，推出四边形BCEF的周长=BC+CE+EF+BF=BC+AC+EF，由题意易知BC=1，AC=，即可推出EF最小时，四边形BCEF的周长最小，当DE⊥AC时，EF的值最小． 【详解】∵BF∥AC， ∴∠A=∠FBD， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF， ∴BF=AE， ∴四边形BCEF的周长=BC+CE+EF+BF=BC+AC+EF， 由题意易知BC=1,AC=， ∴EF最小时，四边形BCEF的周长最小，当DE⊥AC时，EF的值最小， ∵BD=AD,DE∥CB， ∴CE=AE， ∴DE=BC=， ∴EF=2DE=1， ∴四边形BCEF周长的最小值为2+. 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题及直角三角形斜边上的中线. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 生物学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线． 故答案为：． 13. 如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，若，则正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，作于，连接，由垂径定理可得，再结合圆的内接正三角形的性质可得，通过解直角三角形可得，再说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，作于，连接， ∵， ∴， ∵是的内接正三角形， ∴ ∴，即 ∵四边形是的内接正方形， ∴， ∴，即正方形的边长是． 故答案为： 14. 如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上结论中，正确的是______ .（请把正确结论的序号都填上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，由已知条件得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，∴∠AEB＝∠AEF，求得BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正确；根据三角形的外角的性质得到∠ANM＝∠AEB，于是得到∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN∽△BME，得到，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠AEN＝∠ABD＝45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF＝2S△AMN故④正确． 【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°−∠EAF＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH＝EF， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正确； ∵∠ANM＝∠ADB＋∠DAN＝45°＋∠DAN， ∠AEB＝90°−∠BAE＝90°−（∠HAB−∠EAH）＝90°−（45°−∠EAH）＝45°＋∠EAH， ∴∠ANM＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正确； ∵AC⊥BD， ∴∠AOM＝∠ADF＝90°， ∵∠MAO＝45°−∠NAO，∠DAF＝45°−∠NAO， ∴△OAM∽△DAF，故③正确； 连接NE， ∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∴， ∵∠AMB＝∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN＝∠ABD＝45°， ∵∠EAN＝45°， ∴∠NAE＝∠NEA＝45°， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∴AE＝AN， ∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME， ∴△AMN∽△AFE， ∴=， ∴EF＝MN， ∵AB＝AO， ∴S△AEF＝S△AHE＝HE•AB＝EF•AB＝•MN•AO＝2×MN•AO＝2S△AMN．故④正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 16. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 【答案】有人，该物品价值元． 【解析】 【分析】设有人，该物品价值元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】设有人，该物品价值元， 根据题意得： 解得：． 答：有人，该物品价值元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 17. 在中，，、、的对边分别是、、，设的面积为． （1）填表： 三边、、 3，4，5 6 4 6 5，12，13 20 30 8，15，17 24 10 S （2）观察表格，试用含、的代数式表示； （3）证明（2）中的结论． 【答案】（1）6，60 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的规律等知识点，要先从简单的例子入手得出一般化的结论是解题的关键． （1）按图中给出的信息进行计算即可； （2）根据（1）所得信息，可得； （3）把表示m，n的代数式代入（2）的结论进行证明即可． 【小问1详解】 解：； 表格中第二行第四列的； 第三行第四列的； 第四行第四列的． 故答案为：6，60． 【小问2详解】 解：表格中第二行第四列的； 第三行第四列的； 第四行第四列的． …… 推理可得：，即． 【小问3详解】 证明： ∵在中，，、、的对边分别是、、， ∴， ∴，即． 18. 如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可. 【详解】略． 【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键． 19. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向． （1）求的度数； （2）船C离海岸线的距离（即的长）为多少？（不取近似值） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质计算； （2）作交于E，求出，根据正弦的定义求出，计算即可． 【小问1详解】 由题意得，， ∴． 【小问2详解】 作交于E，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：船C离海岸线的距离为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 20. 如图，是的直径，弦于点E，的切线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）24． 【解析】 【分析】（1）连接OD，如图，利用切线的性质得∠OCD+∠DCF＝90°，再利用垂径定理得到OF为CD的垂直平分线，则CF＝DF，所以∠CDF＝∠DCF，加上∠CDO＝∠OCD，则∠CDO+∠CDB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数求出半径，再利用三角函数得到CD的长． 【详解】（1）证明：连接OD，如图， ∵CF是⊙O的切线 ∴∠OCF＝90°， ∴∠OCD+∠DCF＝90° ∵直径AB⊥弦CD， ∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线 ∴CF＝DF， ∴∠CDF＝∠DCF， ∵OC＝OD， ∴∠CDO＝∠OCD ∴∠CDO+∠CDF＝∠OCD+∠DCF＝90°， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）∵，设OC＝3x，则OF＝5x， ∵FB＝OF- OB， ∴2x=10， 解得x=5，OC＝3x=15， ∵∠OCE+∠ECF=90°，∠OFC+∠ECF=90°， ∴∠OCE=∠OFC， ∴， ∴OE＝9，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形，解题关键是恰当连接辅助线，熟练运用圆的知识和三角函数知识，进行推理和计算． 21. 小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为）不能打开教室前门锁． （1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有_______种等可能情况； （2）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是_______； （3）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比； （1）根据钥匙的数量即可判断； （2）直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：一个口袋中装有5把不同的钥匙，分别为，，，，， 小昕从口袋中随便摸出一把钥匙有种等可能情况， 故答案为：； 【小问2详解】 解：一个口袋中装有5把不同的钥匙，分别为，，，，， （取出一个或， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有20种等可能的结果，第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的有6种可能， 第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率． 22. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集； （3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况. 【详解】解：（1）∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴， ∴CD=2OB=8， ∵OA=OD=OB=3， ∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8）， 把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得 ，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴k=-24， ∴反比例函数的解析式为y=- （2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围， 即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围， ∵C（-3，8）， ∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0 （3）∵B（0，4），C（-3，8）， ∴BC=5， ∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形， ∴有BC=BP或BC=PC两种情况， ①当BC=BP时，即BP=5， ∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1， ∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）； ②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上， ∴线段BP的中点坐标为（0，8）， ∴P点坐标为（0，12）； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12） 【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键. 23. 如图，在中，点在的内部且，点在的外部，，． （1）填空：_______________； （2）求证：； （3）若点在的平分线上，判断四边形的形状为_______，并说明理由．（前面的结论在后面的证明中可直接应用） 【答案】（1）， （2）见解析 （3）菱形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据对边对等角得到、、，再结合已知条件可得，然后根据两角对应相等两三角形相似即可解答； （2）由（1）可得，则，即， 再证明即可证明结论； （3）先利用相似三角形的性质以及已知条件证得可得，易得四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义以及平行线的在证得可得四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 连接，则平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $