精品解析：福建省厦门外国语学校2022-2023学年高一强基班下学期期中考试数学试题

厦门外国语学校2022-2023 （下）学期强基班期中考试 数学试题 命题人：方政宇 审题人：荣媛媛 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第Ⅰ卷 （本卷共计60分） 一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题2分，共计20分） 1. 已知，则实数m等于（ ） A. 2 B. －1 C. 2或－1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案. 【详解】由已知得，，解得或－1，经检验符合题意． 故选：C. 2. 设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A 3. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确. 【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误； 对于B，当，，时，满足，但，所以B错误； 对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：D． 4. 已知函数，则 （ ） A. -6 B. 0 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值. 【详解】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案. 【详解】由题意得，故，故函数的定义域为. 故选：D 6. 设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果. 【详解】对于A，若图象正确，则，， 开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确； 对于B，若图象正确，则，， 开口方向向下，与图象不符，B错误； 对于C，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，C错误； 对于D，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，D错误. 故选：A. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和一次函数性质列不等式组求参数范围，注意界点处的函数值的大小关系. 【详解】由在上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知： ，解得. 故选：D 8. 若，，且，的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】，， 于是， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 二．多选题：（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列运算（化简）中正确的有（    ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 10. 幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数定义可知，即可解得的值，结合是正整数即可对选项做出判断. 【详解】由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以；故A正确； 时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确； 由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误； 函数的值域为，即D正确； 故选：ABD. 11. （多选）下列函数，值域包含的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，可以通过分离常数法求函数的值域；对于B，可以将函数两边平方求函数的值域；对于C，利用函数的单调性求函数的值域；对于D，利用分段函数并结合函数的图像求函数的值域； 【详解】对于A，由，可得值域，故A正确； 对于B，函数定义域为：， ，由，得 ， 所以，，即原函数值域为，故B错误； 对于C，设，，易知它们在定义域内为增函数，从而在定义域为上也为增函数， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以函数的值域，故C正确， 对于D，由已知得：，画出函数的图像，如图： 根据函数图像可知：定义域，值域，故D正确. 故选：ACD. 12. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确. 【详解】，， 根据图形，在中，由射影定理得，所以， 由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确； 在中，同理得，所以， 又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确； 故选：AC. 第Ⅱ卷 （本卷共计90分） 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先移项把分式不等式一侧变0,再把相除变成相乘的一元二次不等式,解不等式即可. 【详解】移项得到,即得,, 且,即可得解集. 故答案为: 14. 已知命题“”为假命题，则取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分和两种情况求解即可 【详解】因为命题“”为假命题, 则为真命题, 则当时,满足题意, 当时,则,则， 综上,的取值范围为. 故答案为:. 15. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式解集得到且，代入得到，解得答案. 【详解】由题意得，所以， 故，即，，故解集为. 故答案为： 16. 已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于x的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，再根据讨论求解即可. 【详解】由题意可得：，为奇函数，为偶函数， 当时，，，在单调递减，， 结合的草图： 当时，要使得，则，此时； 当时，要使得，则，此时； 当时，为奇函数，不满足. 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题（共6小题，共70分.请写出必要的解题过程，只写结果不给分） 17. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）254； （3）或. 【解析】 【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，由，得，符合题意； 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【小问3详解】 当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． 18. 设，解关于x的不等式. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】首先分和两种情况讨论，再当时，不等式所对应的一元二次方程的根的大小关系讨论得不等式的解集. 【详解】解：（1）当时，不等式可化为，解得，即原不等式的解集为. （2）当时，方程的两个根分别为2和， ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为； ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为：； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为{或}. 19. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式； （2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数为定义域上的奇函数，所以， 当时，，所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以 【小问2详解】 作出在区间上的图象，如图： 可得函数在上为减函数，所以的最小值为， 要使对所有，恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 则，即， 可得：， 所以实数的取值范围是. 21. 函数（）． （1）当时， ①求函数的单调区间； ②求函数在区间的值域； （2）当时，记函数的最大值为，求的表达式． 【答案】（1）①的单调递增区间为，；单调递减区间为；② （2） 【解析】 【分析】（1）①分别在和两种情况下，结合二次函数的单调性可确定结果； ②根据①中单调性可确定最值点，由最值可确定值域； （2）分别在、、三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系可确定最大值，由此得到. 【小问1详解】 当时，； ①当时，， 在上单调递增； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为 ②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，； ，，，， ，， 在上的值域为. 【小问2详解】 由题意得： ①当，即时，，对称轴为； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ②当，即时，若，；若，； 当时，，对称轴， 在上单调递增， ； ③当，即时 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，即时，； 若，即时，； 综上所述：. 22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，. （1）求在内的“倒域区问”； （2）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列出关系式，，解出a、b即可； （2）分析题意得出，，从而只需考虑或即可，再根据（1）的结论求出，然后根据方程求出. 【小问1详解】 根据已知得，在上单调递减，则在内的“倒域区间” 应满足，，则可知，a,b是方程的两个解，且， 解方程，即，可化为， 即，解得，，，（舍去） 所以，，， 所以，在内的“倒域区间”为. 【小问2详解】 现在来求在上的解析式 ，则，有 因为，为定义在上的奇函数，则有 所以，. 因为在时，函数值的取值区间恰为，则有，且 ，所以a、b同号，所以只需考虑或即可. ①当时，根据的图象知，最大值为1，所以有，， 从而有，由（1）知，此时的“倒域区间”为； ②当时，根据的图象知，最小值为-1， 所以有，，从而有，又在上单调递减， 则，则可知，a,b是方程的两个解，且， 解方程，即，可化为， 即，解得，，，（舍去） 所以， ，， 此时的“倒域区间”. 所以， 依题意知，抛物线与函数有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，即应使在内恰有一个实数解，并使在内恰有一个实数解. 由方程在内恰有一个实数解，； 由方程在内恰有一个实数解，. 综上可得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2022-2023 （下）学期强基班期中考试 数学试题 命题人：方政宇 审题人：荣媛媛 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第Ⅰ卷 （本卷共计60分） 一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题2分，共计20分） 1. 已知，则实数m等于（ ） A. 2 B. －1 C. 2或－1 D. 4 2. 设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，且，则 4. 已知函数，则 （ ） A. -6 B. 0 C. 4 D. 6 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且，的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二．多选题：（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列运算（化简）中正确的有（    ）． A. B. C. D. 10. 幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. D. 函数的值域为 11. （多选）下列函数，值域包含的是（ ） A. B. C. D. 12. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （本卷共计90分） 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式的解集为______． 14. 已知命题“”为假命题，则取值范围为_________ 15. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__． 16. 已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于x的不等式的解集为________. 四、解答题（共6小题，共70分.请写出必要的解题过程，只写结果不给分） 17. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 18. 设，解关于x的不等式. 19. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围. 21. 函数（）． （1）当时， ①求函数的单调区间； ②求函数在区间的值域； （2）当时，记函数的最大值为，求的表达式． 22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，. （1）求在内的“倒域区问”； （2）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $