精品解析：云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 11. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，点分别是边上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 14. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 15. 如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 17. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 18. 如图，正六边形内接于，，则的长为______． 19. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的，并写出坐标； （2）请画出绕A点逆时针旋转的． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 23. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 24. 某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 25. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 26. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数” ．请结合所学的数学知识解决下列问题． 已知二次函数． （1）若，求顶点坐标、对称轴、该函数与x轴的交点坐标； （2）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点； （3）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接交于点G． （1）如图1，过点B作，交延长线于点F，求证：与相切； （2）如图2，过点G作，垂足为点H，若，，，求的长； （3）如图3，把沿直线翻折得到，连接，当点D在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 2. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把x=1代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可． 【详解】解：将代入原方程可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想． 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，正确掌握各事件的定义即可解题． 【详解】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪为随机事件，不符合题意． B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯为随机事件，不符合题意． C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆为必然事件，符合题意． D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7为不可能事件，不符合题意． 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用旋转设计图案，旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解答本题的关键． 根据旋转对称图形的性质判断即可． 【详解】解∶由图可得∶该图形被平分成三部分， 每份的度数为， ∴旋转的整数倍，就可以与自身重合， n的值不可能的是， 故选：D． 6. 二次函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左加右减，上加下减；根据此规律即可求解． 【详解】解：函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是； 故选：B． 7. 如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口出来共有3种等可能的结果，其中从B出口出来是其中一种结果， ∴恰好从B出口出来的概率为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 8. 如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知, △PAO的面积=, 再根据图象所在象限求出k的值既可. 【详解】依据比例系数k的几何意义可得, △PAO的面积=. 即=2解得,k=4, 由于函数图象位于第一、三象限, 故k=4, 故选:C. 【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质,理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案.. 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 10. 如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 11. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 12. 如图，在中，点分别是边上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 通过判定，然后利用相似三角形的性质分析求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 13. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 14. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 15. 如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，， 【详解】解：连结接、、，，，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为_______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 17. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 18. 如图，正六边形内接于，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 19. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答； （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 则，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∴，． 21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的，并写出坐标； （2）请画出绕A点逆时针旋转的． 【答案】（1） 解： 如图, 即为所求，点坐标为； （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案. （2）根据旋转的性质作图即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解； （）利用根与系数的关系得出，解方程即可； 此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【小问1详解】 ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 设，是关于的一元二次方程的两个实数根， 则， 解得：． 23. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ． （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“冬季两项”只有1种情况， 恰好抽到“冬季两项”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有2种， ∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：． 【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24. 某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是： （1）设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【小问1详解】 解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问2详解】 解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 25. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售价定为70元时会获最大利润 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式； （2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 月销售量为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，结合（1） ， 又∵， ∴当时，y最大，最大值为9000． 答：当销售价定为70元时会获最大利润． 26. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数” ．请结合所学的数学知识解决下列问题． 已知二次函数． （1）若，求顶点坐标、对称轴、该函数与x轴的交点坐标； （2）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点； （3）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线；该函数与x轴的交点坐标为和 （2） 证明：令， 则， ∴该二次函数图象与轴有两个交点． （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系； （1）将代入得，根据二次函数的性质，即可求解； （2）根据函数表达式，求出，再对的值进行判断即可； （3）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则， 解得：， ∴该函数与x轴的交点坐标为和 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数与轴相交，交点的纵坐标为， 当时，根据求根公式可得方程的解为：， 若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数， 则方程的解都是正整数． ∴：为正整数，即是正整数， ∴或，解得或， ∴当该二次函数图象与轴两交点的横坐标都为正整数时，的值为或． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接交于点G． （1）如图1，过点B作，交延长线于点F，求证：与相切； （2）如图2，过点G作，垂足为点H，若，，，求的长； （3）如图3，把沿直线翻折得到，连接，当点D在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点， ，， ， ， ， ， ， 又∵点B在圆上，是的半径， 与相切； （2） （3） 解：结论：．理由如下： 如图，作，使得，连接，． ， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）连接，由是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，得出，，再结合平行线的性质可推出结论； （2）证明，，在中，设，则，，，得出，即，从而得出结果； （3）作，使得，连接，．证明，得出，推出，进而可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点B是半圆的中点， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， 在中，设，则，，， ∴，即， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $