专题03 等腰三角形及其相关 4大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题03 等腰三角形及其相关 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形及其性质 考点02 等腰三角形的判定 考点03 等腰三角形的作图与探究 考点04 等边三角形 地 城 考点01 等腰三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）等腰三角形的一边等于2，一边等于5，则此三角形的周长为（） A．12 B．10 C．9 D．8 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，使两个等腰三角形不一定全等的是（   ） A．两腰对应相等 B．顶角和底边对应相等 C．一腰和底边对应相等 D．一腰和底角对应相等 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点B、D在上，点C、E在上，且，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一边长等于5，另一边长等于6，它的周长是 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的两边长为、，且满足，则三角形的周长为 ． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，在边上取一点，使，取的中点，连接．若，则 度．    15．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·浙江金华·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，E为延长线上一点，，，． (1)求证：． (2)连结交于点F，若，，求的度数． 18．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 19．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图：在中，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求和的数量关系． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为17，求的长． 21．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 地 城 考点02 等腰三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，D为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则与有怎样的数量关系（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A．8 B． C． D．6 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为 ． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 时，为等腰三角形？ 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时， ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．求证：是等腰三角形． 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）看图填空：已知：如图，，，，求证：平分． 证：，（ ① ） ② （垂直的定义） （ ③ ） 在和中 （ ⑤ ）． （ ⑥ ） 即平分． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 地 城 考点03 等腰三角形的作图与探究 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图钢架中，，焊上等长的钢条，，…，来加固钢架．若，问这样的钢条至多需要的根数为（     ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）小丽从一张等腰三角形纸片中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中，，则 °． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则 ． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1)，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则 度； （2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； (2)连接，求证：平分． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． 　　 (1)画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画一点P，使得最短； (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”． (1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”） (2)如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，E是的中点． (1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、作射线交于点． ①根据以上作图，请写出一条正确结论：______． ②若的面积是6，点P、N分别为、上的点，求长度的最小值； (2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． ①当时，求的长； ②若，当点Q落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 地 城 考点04 等边三角形 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边三角形中，是上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边三角形，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①与直线夹的锐角为，②，正确的结论是（   ）    A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知中，，D，E分别为边BC，AC上一点，，，若，则的度数为 ．    10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是边上的两点，且，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知正，，分别是，的中点，，，，相交于点，则 度． 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．    14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则 ，若，则的最小值= ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 19．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 21．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．    (1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； (2)当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)当时，判断与的位置关系． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形及其相关 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形及其性质 考点02 等腰三角形的判定 考点03 等腰三角形的作图与探究 考点04 等边三角形 地 城 考点01 等腰三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）等腰三角形的一边等于2，一边等于5，则此三角形的周长为（） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的定义及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于2，另一边等于5，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长 【详解】解：当2为腰，5为底时， 不能构成三角形； 当腰为5时，2为底时， 能构成三角形， 等腰三角形的周长为：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，使两个等腰三角形不一定全等的是（   ） A．两腰对应相等 B．顶角和底边对应相等 C．一腰和底边对应相等 D．一腰和底角对应相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定是解题的关键．根据三角形全等的判定方法，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、两腰对应相等，但是两腰的夹角不一定相等，不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意； B、由两个等腰三角形的顶角相等，可得等腰三角形的两个底角分别相等，再加上底边对应相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； C、一腰和底边对应相等，则两个三角形的另一腰也相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； D、一腰和底角对应相等，则另一个底角也相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：A 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理是解题的关键，由等边对等角得，结合三角形的外角性质得，进而构造方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的性质，等边对等角的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，，，可得，是等腰直角三角形，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C ． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，则，最后由角度和差计算即可，熟练应用三角形内角和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点B、D在上，点C、E在上，且，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，根据，利用等腰三角形的性质即可找出各角的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结论． 【详解】，且， ，，， ． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ． 【答案】40° 【分析】由∠ACD=110，可知∠ACB=70；由AB=AC，可知∠B=∠ACB=70；利用三角形外角的性质可求出∠A. 【详解】解：∵∠ACD=110， ∴∠ACB=180-110=70； ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=70； ∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40. 故答案为40. 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一边长等于5，另一边长等于6，它的周长是 ． 【答案】或 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． ②当腰为时，，能构成三角形，周长是：； 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用线段垂直平分线得，即可求出，利用，即可求出，最后利用角度和差即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的两边长为、，且满足，则三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边性质，由非负数的性质得到，，即可得，，分两种情况：是腰长和是底边长，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 当是腰长时，三角形的三边分别为， ∵， ∴不能组成三角形； 当是底边长时，三角形的三边分别为， 能组成三角形，周长， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，由即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，在边上取一点，使，取的中点，连接．若，则 度．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ，点是的中点， ，， ； 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用和分类思想的运用．因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图②，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 三、解答题 16．（24-25八年级上·浙江金华·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，， (2)能，理由见详解 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为， 解得：， ， ∴各边长为，，； （2）解：①当为底时，腰长为； ②当为腰时，底边为，故不能构成三角形，舍去； ∴能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，E为延长线上一点，，，． (1)求证：． (2)连结交于点F，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，，然后根据等角对等边得到，即可证明出； （2）首先画出图形，由得到，，求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． （1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴； 19．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图：在中，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求和的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出代数式解答． （）根据等腰三角形的性质解答即可； （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及外角的性质，得出数量关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为17，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴的周长 ， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②的度数为或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵将沿翻折至， ， ， ， ； （2）①如图，当点在下方时， ， ， ， ， ， ； 当点在上方时， ， ， 由折叠可得， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 当点在上方时， 设， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 地 城 考点02 等腰三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，由三角形外角的性质推出，得到，即可得出结论．解题的关键是掌握：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得是解题的关键．先由平行线的性质与角平分线的定义证得，再由等腰三角形的判定即可得出，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：平分平分， ， ， ， ， ， 的周长为： ， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，D为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则与有怎样的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键； 延长交于点，判定，即可得到，，即可证明，进而求得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解； 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，构造全等三角形，熟知全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 延长到点H，使，连接，证明，得，得，得，得，得，根据，，得，即得． 【详解】解：延长到点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（  ）    A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．延长交的延长线于H，过点D作于T，设的面积为S，证明和全等得，再证明，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得出，而，由此的当为最大时，S为最大，则为最大，然后根据“垂线段”最短得，则时，为最大，最大值为3，据此求出S的值即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，   设的面积为S， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴当为最大时，S为最大，则为最大， 根据“垂线段”最短得：， ∴时，为最大，最大值为3， ∴S的最大值为：， ∴的最大值是4.5． 故选：B． 7．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】由角平分线可求，则，可判断①的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断②的正误；由，，，证明，可判断③的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，③正确，故符合要求； ∴， 由题意知，，， 当时，即时，，， ∵的大小未知， ∴④错误，故不符合要求； 由题意知，，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据证明，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质以及三角形的角平分线等知识．根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为4． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关性质、定义．利用平行线性质得到，，利用角平分线定义得到，，再结合等量代换和等腰三角形性质，推出求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，， 中，，的平分线相交于点， ，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，；是一个足够大的等腰直角三形，，且可绕着点旋转，边、分别交线段于、两点；当 时，为等腰三角形？ 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想解决问题．为等腰三角形可以分为，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可求解． 【详解】解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， 当时， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ； 综上所述：当为或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到的度数，为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时， ②当时， ③当时，利用的内角和分别求出即可． 【详解】解：在中，， ， 、关于所在的直线对称， ， ， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， ， 如图，令与交点为Q， 因为为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时， ， ， ， 又， 在中， ， ； ②当时， ， 在中， ， ； ③当时， ， ， 在中， ， ； 综上所述： 当或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答,熟知相关性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）看图填空：已知：如图，，，，求证：平分． 证：，（ ① ） ② （垂直的定义） （ ③ ） 在和中 （ ⑤ ）． （ ⑥ ） 即平分． 【答案】已知，，在同一个三角形中，等角对等边，，，全等三角形对应角相等； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据定理证得是解决问题的关键； 由等腰三角形的判定得到，根据定理证得，根据全等三角形的性质即可证得结论； 【详解】证明：，（已知）， (垂直定义)， ， 在和中， ， ， (全等三角形对应角相等)。 即平分， 故答案为：已知，，在同一个三角形中，等角对等边，，，全等三角形对应角相等； 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)等腰三角形；理由见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换． （1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形； （2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：， ． ， 是等边三角形． 是等腰三角形， ， 在中，， ， ， 的周长为； 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 地 城 考点03 等腰三角形的作图与探究 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图钢架中，，焊上等长的钢条，，…，来加固钢架．若，问这样的钢条至多需要的根数为（     ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和是180度、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，找到规律是解题的关键． 根据等边对等角得出，则可得出的度数，以及的度数，根据平角为180度和三角形内角和，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 此时就不能再往上焊接了，综上所述，可焊上等长的钢条，，总共可焊上3条． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）小丽从一张等腰三角形纸片中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形，三角形外角的性质，三角形内角和定理． 设，依次表示出，，然后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则 ． 【答案】/18度 【分析】先由轴对称的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质得到，设，，则，根据三角形内角和得，即，得根据三角形外角性质得方程即，求解即可． 【详解】解：∵将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D， ∴， ∵将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， 在中， ∴，即 ∵在中，， 又∵， ∴即 把②代入①，解得： ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1)，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．证明和，推出和是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：取格点和，连接和， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则 度； （2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为 ． 【答案】 或． 【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的度数； （2）设，①当时，利用三角形外角的性质得到，解得，②当时，利用三角形内角和定理得到，解得． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 设， 则，， 即， 解得， 则， 故答案为：； （2）设， ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ， 所以的度数为或； 故答案为：或． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （2）根据轴对称图形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， 即为所求； （2）如图，， 四边形即为所求． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． 　　 (1)画出关于直线l对称的； (2)在直线l上画一点P，使得最短； (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，等腰三角形的定义． （1）分别作出的顶点关于直线的对称点，顺次连接可得； （2）作直线与直线l的交点即为点P； （3）分别以B和C两点为圆心，长为半径作圆，从而得出符合条件的格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；   ； （2）解：如上图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，在正方形网格中存在5个格点、与B、C两点构成以为腰的等腰三角形， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，即得出，为等腰三角形，根据三角形外角的性质得出，结合题意得出，即证为等腰三角形，得出结论； （2）分类讨论：①当是的腰时和②当是的底时，分别画图求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，为等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴为等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）解：分类讨论：①当是的腰时， 此时，，如图； ②当是的底时， 此时，，如图． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”． (1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”） (2)如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)假； (2)存在，； (3)或． 【分析】（1）等边三角形中不存在“和谐分割线”； （2）作的平分线交于点，则为“和谐分割线”，求出的长即可； （3）分两种情况讨论：①当时，，解得；②当时，，解得． 【详解】（1）解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形， 等边三角形存在“和谐分割线”是假命题． 故答案为：假． （2）解：存在“和谐分割线”，理由如下： 作的平分线交于点，如图 ，， ， ， 在中，， 的三个内角与的三个内角相等， ， 是等腰三角形， 是“和谐分割线”； 过点作交于，如图， ， ，， ， ． （3）解：①当时， ， 根据“和谐分割线”的概念可知，， ， ， ， 解得； ②当时， ， 根据“和谐分割线”的概念可知，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或． 16．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，E是的中点． (1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、作射线交于点． ①根据以上作图，请写出一条正确结论：______． ②若的面积是6，点P、N分别为、上的点，求长度的最小值； (2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． ①当时，求的长； ②若，当点Q落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)①平分；②； (2)①；②的度数为或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图以及平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①根据尺规作图即可得出结论； ②过点作于点，由三角形面积得，再证，得，，然后证，得，则，当、、三点共线，且与垂直，即与线段重合时，的长度最小，即可得出结论； （2）①连接，交于点，证 ，得，，再证，得，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论； ②分两种情况，、当时，、当时，由等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）①根据作法描述，所作的是的平分线， 故答案为：平分； ②如图1，过点作于点， 则， 解得：，由①可知，平分， ， ，， ， ，， 又， ， ， ， 当、、三点共线，且与垂直，即与线段重合时，的长度最小， 长度的最小值为3； （2）解：①如图2，连接，交于点， 由折叠的性质得：△， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 垂直平分， ； ②分两种情况： 、如图3，当时， ； 、如图4，当时， ； 综上所述，的度数为或． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点04 等边三角形 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，与交于点，由轴对称的性质可得也是等边三角形，于是可得，，进而可得，，于是推出点与点关于对称，因而当点与点重合时的值最小，于是得解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接，由等边三角形的性质得，，，推导出，即可证明，得，，则，可证明是等边三角形，则，所以，若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形和三角形的周长差为3AD， 若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长， 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，边长为的等边三角形中，是上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边三角形，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，学会利用轴对称的性质构造辅助线并证明全等三角形是解题的关键．作交于，连接、、，由可得是等边三角形，再通过全等的判定方法得到，进而把的周长转化为的周长，再利用两点之间线段最短算得周长的最小值，即可得出结论． 【详解】解：如图，作交于，连接、、， 是等边三角形， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形，是上的中线， 垂直平分，， 又点在上， ． 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 的周长的周长， 当最小时，的周长有最小值， 连接， ， 是上中线， 又 是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①与直线夹的锐角为，②，正确的结论是（   ）    A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定是解题的关键；根据等边三角形的性质即可证明，即可判断①，根据等边三角形的性质可得，即可判断②． 【详解】解：如图，设交于O，   都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是等边三角形， ， 当时，， 当时，， 故②错误， 故选：． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，同理可得出，进而得出，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解： 和是等边三角形，， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ， 同理可得出， ，故正确； 故选：C． 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，绝对值和完全平方式的非负性， 根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b，c的关系，可得答案． 【详解】解：， ，且， ， 是等边三角形， 故答案为：等边． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知中，，D，E分别为边BC，AC上一点，，，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先证明为等边三角形，可得，求解，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，利用证出是解题的关键．利用等边三角形的性质得到，，，从而推出，得到，再利用三角形的外角性质得到，即可解答． 【详解】解：都是等边三角形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是边上的两点，且，则的度数为 ． 【答案】/120 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的外角的性质，根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴是等边三角形，， ， 又∵，， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知正，，分别是，的中点，，，，相交于点，则 度． 【答案】240 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判断，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用等边三角形性质证明，结合全等三角形性质得到，再结合三角形外角性质得到，，即可解题． 【详解】解： 为正三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明，进而可依据判定，则，证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，再求出，即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 的周长， ∴． ∴的周长的最小值是3． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则 ，若，则的最小值= ． 【答案】 ． 【分析】根据等边三角形的性质可得，继而证明，由全等三角形的性质可得，结合垂线段最短性质，可知当时，的长度最小，最后根据直角三角形性质解题． 【详解】解析： ∵的等边三角形，点O是的中点， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 当时，的长度最小， ∵， ∴最小值． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． （1）根据等边三角形性质推出，根据即可证明； （2）根据（1）结论得到，根据，即得． 【详解】（1）∵，为等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据，得，证明全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）证明，则，再由（1）的结论得，由此可判定的形状； 理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）是等边三角形． 理由：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 19．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值是一个定值， 【分析】（1）根据证根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，过A作于M，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （3）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过A作于M， ∴， ∴ ∴的面积； （3）解：的值是一个定值， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 【答案】(1)当点运动到点时，点运动到点处，理由见解析 (2)点、运动4秒时，可得到等边 (3)、运动的时间为3秒、秒、15秒或18秒 【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． （1）求出点N运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：点N运动到点C， 理由：当点M运动到点C时，, ∵点N的速度为, ∴点N的运动路程为， ∵, ∴, ∴点N运动到点C． （2）解：由题意得，, ∵, ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴, 解得，， 则点M，N运动4秒后，可得到等边； （3）解：当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当秒时，点N是的中点，则为直角三角形， 当秒时，点M是的中点，则为直角三角形， 综上所述，M，N运动的时间为4.8秒或3秒或15秒或18秒时，为直角三角形． 21．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案； ②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案； （2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①如图1，是等边三角形， ． ， ， ． ②解：， ． ， ． （2）解：． 理由如下：如图，在上截取，连接， 则． 又是等边三角形， ． ． 是等边三角形． ， ， ． 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒．    (1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； (2)当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)当时，判断与的位置关系． 【答案】(1)４； (2)，理由见解析； (3)与互相垂直． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【详解】（1）解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； （2）如图，若是等边三角形，此时点在上，    点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点，    ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)① ②或或或 【分析】（1）由可得，再利用即可得出结论； （2）①设所在直线为，过点作于点，由（1）可得，于是可得，由可得，由可得，于是可得，进而可得，可知是等边三角形，从而得出答案；②分点在线段上或点在延长线上或点在延长线上三种情形，分别画出图形，根据，可得，从而解决问题． 【详解】（1）证明：当点在线段上时， ， ， 即：， 在和中， ， ； （2）解：①如图，设所在直线为，过点作于点， 则， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， 即的周长为； ②在点在运动过程中，若的最小角为， 而， 或， 若， 而， 则； 当点在延长线上时，如图， 由题意可知，， 由（1）同理可得：， ， ， ； 当点在延长线上时，如图， 当时，； 当时，由（1）同理可得：， ， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $