专题02 全等三角形、垂直平分线和角平分线 5大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形、垂直平分线与角平分线 5大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 全等三角形性质与判定的综合运用 考点04 垂直平分线 考点05 角平分线 地 城 考点01 全等三角形的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若，且的周长为15，，，则的长为（  ） A．4或5 B．5 C．4 D．6 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点B，C在上，，，，则的长为（　　）    A．1.5 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点在上，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）若，A与D，B与E分别是对应顶点，，，，则 ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则的长度是 ． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图所示的三个三角形，其中全等的是（   ） A．①与② B．①与③ C．②与③ D．没有全等 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知．添加其中一个条件， ； ； ； ，能判定有：（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知，，， 其中， 点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒． ①若，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时， ； ③若，，时，； ④若与全等， 则或 ； 以上说法正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的中线，过点C作，交的延长线于点D，过点B作，交于点F，若，的面积为a，则的面积为 ．（用含a的代数式表示） 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知 ，求证： ． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知B，E，C，F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． (1)求证：； (2)若，求的大小． 地 城 考点03 全等三角形性质与判定的综合运用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③ 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则 ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 三、解答题 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 地 城 考点04 垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．22 D．25 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为26，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．21 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，，则的周长为（  ） A．5 B．9 C．12 D．13 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 地 城 考点05 角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，平分于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（　　） A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（   ） ①；②，③若，则；④；⑤． A．①③④ B．①③④⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，若，则的面积为 ． 8．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长． （2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形、垂直平分线与角平分线 5大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 全等三角形性质与判定的综合运用 考点04 垂直平分线 考点05 角平分线 地 城 考点01 全等三角形的性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，与全等．已知与是对应角，则对其余对应边或对应角判断错误的是（     ） A．对应边：与 B．对应边：与 C．对应角：与 D．对应角：与 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，首先由点A和点B，点C和点D是对应顶点，可得与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，即可解答． 【详解】解：∵与全等， ∴与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边， 与不是和的内角，故不是全等三角形的对应角， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等，与是对应角， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若，且的周长为15，，，则的长为（  ） A．4或5 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 先求出，根据全等三角形的性质得出即可得出选项． 【详解】解：如图， 的周长为15，，， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点B，C在上，，，，则的长为（　　）    A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质推出，得到，而，，即可求出． 【详解】解： ， ， ， ，， ， ． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点在上，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意可得，根据全等三角形的性质可得和 的值，从而可得答案． 【详解】解： 根据题意可得， ， ， ， 故选：C 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）若，A与D，B与E分别是对应顶点，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等可得． 【详解】解：≌， ， 故答案为： 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则的长度是 ． 【答案】3.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等．先根据全等三角形的性质，得出对应边相等，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴的长度是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 【答案】14或12.5 【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案． 【详解】解∶两个三角形全等， ，或，， 解得∶，或，， 或12.5． 故答案为∶14或12.5． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点作图、全等三角形： （1）利用格点作点B关于的对称点，即可求解； （2）等底等高的三角形面积相等，利用格点作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求．    地 城 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：由图可得，， 若补充条件，不是对应边，不能判定，故A选项错误； 若补充条件，构成，不能判定，故B选项错误； 若补充条件，构成，可以判定，故C选项正确； 若补充条件，显然条件重复，不能判定，故D选项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图所示的三个三角形，其中全等的是（   ） A．①与② B．①与③ C．②与③ D．没有全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据可判断②与③． 【详解】解：对于③，该三角形第三个内角为， 则根据可判断②与③全等， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知．添加其中一个条件， ； ； ； ，能判定有：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故符合题意； 在和中， ， ∴，故符合题意； 添加不能判定，故不符合题意； ∵， ∴在和中， ， ∴，故符合题意； 综上可知添加可以判定， 故选：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知，，， 其中， 点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动． 同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动． 它们的运动时间为t秒． ①若，则点P 运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时， ； ③若，，时，； ④若与全等， 则或 ； 以上说法正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等、动点问题，分类求解是解题的关键． ①若，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明．即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，，故②不正确，不符合题意； ③若，，时，如图， 此时，， ， ， 若， 则，， 而， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，， 则，， 则， 若与全等， 则且或且， 即且或且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 【答案】（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定定理，根据已知条件合理添加条件进行证明．根据已知条件可得两个三角形中有两对边相等，所以可以根据和添加条件． 【详解】解：由题意可得：，， 添加：，根据可得； 添加，根据可得； 故答案为：（或）． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分的面积； 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的中线，过点C作，交的延长线于点D，过点B作，交于点F，若，的面积为a，则的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积．判定，得到的面积的面积，由三角形面积公式得到． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得的面积，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 故答案为24． 三、解答题 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知 ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据，求出，再根据证明，即可得出． 【详解】证明： ， ，即 ， 在 和 ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，易证得结论； （2）由得出，用证即可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知B，E，C，F在一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）由可证； （2）由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，，， ∴． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）成立的依据是，成立的依据是全等三角形的对应边相等； （2）证明，结合∠BOD=∠COE，，可得，即得； （3）根据，，可得，根据，，，可得，由结合（1）（2）中，，可得4对全等三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：，全等三角形的对应边相等． （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故共有4对全等三角形， 分别是，，，． 故答案为：4． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质得出，即可利用证明． （2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ， 在和中， ， （2）解：∵， ， ， ． 地 城 考点03 全等三角形性质与判定的综合运用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，在上截取，连接，先证明，即可说明①；再由①知，根据线段的和差可判断②；然后根据三角形面积之间的关系可判断②④． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴， ∴． 所以①正确； ∵， ∴， ∴． 所以②正确； 根据已知条件无法说明． 所以③不正确； ∵， ∴， ∴， 即． 所以④正确． 其中正确的是． 故选：C．    4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：与全等，理由见解析；任务2： 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 任务1：利用，证得与全等； 任务2：根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：任务1：由题意，得，，，，， ∴， 又， ∴， 在与中 ， ∴； 任务2：∵， ∴， ∴， 即小丽距离地面有高． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ，解得：， ，，解得：； ②当时， ， ， ，，解得：， ，，解得：． 综上所述：当或时，与全等． 9．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或，对应图形见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，涉及了分类讨论的思想方法，解题关键是发现全等三角形． （1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；②分别讨论当点D在线段上移动时，当点D在线段的延长线上移动时，当点D在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或； 当点D在线段上移动时，，证明见小问①； 当点 D在线段线的延长线上时,如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在射线的反向延长线上时,如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 地 城 考点04 垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解三角形三条中线的交点、三条角平分线的交点、三边的垂直平分线的交点、三条高所在直线的交点之间的区别．根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等即可求解． 【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等， 凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了作垂线（尺规作图），线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为26，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵的周长为26， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和可得，点在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点．本题考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 【详解】解：，且， ， 点在线段的垂直平分线上， 即点为线段的垂直平分线与的交点． 观察四个选项，D选项符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，，则的周长为（  ） A．5 B．9 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 同理，， ∴的周长， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及直角三角形的斜边大于直角边是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线的性质得到，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可． 【详解】解：直线l是边的垂直平分线， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 地 城 考点05 角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，平分于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】过作交于，当于重合时，最小，即可求解． 【详解】解：如图，过作交于，   当于重合时，最小， 平分，， ， 的最小值为， 故选B． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（　　） A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm 【答案】A 【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：作PD⊥OB于D， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA， ∴PD＝PC＝6cm， 则PD的最小值是6cm， 故选A． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案． 【详解】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD， ∴EF＝EH，EG＝EH， ∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB， ∴AE平分∠FAG， ∵∠CAB＝30°， ∴∠BAF＝150°， ∴∠EAB＝75°， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AEB＝180°−∠EAB−∠ABE＝45°， 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（   ） ①；②，③若，则；④；⑤． A．①③④ B．①③④⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，中线的性质，熟练地利用角平分线作辅助线，构建三角形全等是解题的关键．利用角平分线和三角形内角和定理即可判断①；利用中线性质可判断②；证明可判断③；作的平分线交于点，证，，再利用线段的和差可判断④；过分别作点，于点，利用角平分线性质得，则，再利用全等三角形面积相等即可判断⑤． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②当是的中线时，， 而题中只能确定平分，无法得出是的中线，故②错误； ③， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ，， ，故④正确； ⑤过分别作点，于点， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点在角的两边距离相等；过点D作于E，则，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； 故答案为：18． 8．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理的内容是解题的关键． 如图所示，过点作于点，得到，由三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是边上的高，平分， ∴， ∵的面积为，，即， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ． 【答案】50° 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案 【详解】 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PF=PM， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=50°． 故答案为：50°． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长． （2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，结合求解即可； （2）过点D作于F，根据角平分线的性质得出，再结合和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由作图知，是线段的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴； （2）过点D作于F，如图， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的长，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $