第二章一元二次方程单元综合练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程单元综合 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝3 B． C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0 2．方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 5．某公司今年10月份的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额要达到9500万元，若设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，那么下列方程正确的是（　　） A．2000（1+x）2＝9500 B．2000（1+2x）＝9500 C．2000（1+x）（1+2x）＝9500 D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝9500 6．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 7．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2﹣3x+1＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 8．方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　） A． B． C． D． 9．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 二．填空题（共6小题） 11．若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α2+β2＝　 　 ． 12．某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 　 　 人． 13．把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　 ． 15．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为　 　 ． 第15题图 第16题图 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 三．解答题（共7小题） 17．解方程： （1）x2﹣6x+7＝0． （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． （3）（2x+3）（x﹣6）＝16（用配方法）． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． ①求k的取值范围； ②若x1•x2＝2，求k的值． 19．某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求： （1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 21．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为12m的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90m2，求小道的宽度． 22．已知关于x的方程x2﹣mx0有两个实数根． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是已知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 23．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 第二章一元二次方程单元综合 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D D A D C C C 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝3 B． C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、未知数的最高次数是1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 3．已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0， 解得k＝3． 故选：D． 4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【解答】解：移项得：x2﹣4x＝5， 配方得：x2﹣4x+22＝5+22， （x﹣2）2＝9， 故选：D． 5．某公司今年10月份的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额要达到9500万元，若设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，那么下列方程正确的是（　　） A．2000（1+x）2＝9500 B．2000（1+2x）＝9500 C．2000（1+x）（1+2x）＝9500 D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝9500 【解答】解：∵该公司今年10月份的营业额为2000万元，且该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x， ∴该公司今年11月份的营业额为2000（1+x）万元，12月份的营业额为2000（1+x）2万元， 又∵按计划第四季度的总营业额要达到9500万元， ∴所列方程为2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝9500． 故选：D． 6．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根， 所以a+b＝﹣6， 将x＝a代入方程得， a2+6a﹣2＝0， 即a2+6a＝2， 所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4． 故选：A． 7．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2﹣3x+1＝0 B．2x2+3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【解答】解：解一元二次方程的公式为x． 所以a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 所以方程为2x2﹣3x﹣1＝0 故选：D． 8．方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：（9x﹣1）2＝1， 则9x﹣1＝±1， 所以． 故选：C． 9．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【解答】解：x2+6x﹣16＝0， （x﹣2）（x+8）＝0， x﹣2＝0或x+8＝0， 解得x＝2或﹣8； ∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3， ∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2． ∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长． 故选：C． 10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α2+β2＝　14　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根是α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣5）＝14． 故答案为：14． 12．某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 　9　 人． 【解答】解：设这个小组有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺年片， 根据题意得：x（x﹣1）＝72， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 13．把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是　x2+2x+3＝0　 ． 【解答】解：x（x+2）＝﹣3， x2+2x＝﹣3， x2+2x+3＝0， 故答案为：x2+2x+3＝0． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　　 ． 【解答】解：根据题意得：（﹣4）2﹣4（﹣2k+1）＝0， 解得k． 故答案为：． 15．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为 　（32﹣x）（20﹣x）＝540　 ． 【解答】解：根据题意，草坪的面积为（32﹣x）（20﹣x）， 故所列方程为（32﹣x）（20﹣x）＝540， 故答案为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 三．解答题（共7小题） 17．解方程： （1）x2﹣6x+7＝0． （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． （3）（2x+3）（x﹣6）＝16（用配方法）． 【解答】解：（1）x2﹣6x+7＝0， x2﹣6x+9＝﹣7+9， （x﹣3）2＝2， 则x﹣3， 所以； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6， x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3； （3）（2x+3）（x﹣6）＝16， 2x2﹣12x+3x﹣18﹣16＝0， 2x2﹣9x﹣34＝0， x2x﹣17＝0， x2， （x）2， 所以x， 则． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． ①求k的取值范围； ②若x1•x2＝2，求k的值． 【解答】①由条件可知（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0， 整理得：4k﹣3＞0， 解得：； ②∵方程的两个根分别为x1，x2， ∴， ∴k2＝1， 解得：k＝1或k＝﹣1， 又∵， ∴k＝1． 19．某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 【解答】解：（1）空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为x， ∴3500（1﹣x）2＝2835，则， ∴， 解得，x＝10%或x＝190%， ∵是降价， ∴x＝10%，即空调的下降率为10%； （2）设下降了y个10元，则现在的售价为（800﹣10y）元，现在的销售量为（1200+2y）台， ∴（800﹣10y）（1200+2y）＝854000， 整理得，y2+520y﹣5300＝0， 解得，y1＝﹣530（不符合题意，舍去），y2＝10， ∴下降了10个10元，即下降了100元，则800﹣100＝700（元）， ∴空调应按照700元销售． 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求： （1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【解答】解：（1）（10+20）×（40﹣4）＝1008（元）． 答：商场每件降价4元，问商场每天可盈利1008元； （2）设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0 解得x1＝10，x2＝20． ∵“扩大销售量，减少库存”， ∴x1＝10应舍去， ∴x＝20． 答：每件衬衫应降价20元． 21．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为12m的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90m2，求小道的宽度． 【解答】解：设小道的宽度为x m， 根据题意得：（12﹣x）（12﹣1﹣x）＝90， 解得：x1＝2，x2＝21（不符合题意，舍去）， 答：小道的宽度为2m． 22．已知关于x的方程x2﹣mx0有两个实数根． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是已知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么数，方程总有两个实数根； （2）解：∵▱ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴当Δ＝（m﹣1）2＝0时， 即m＝1时，▱ABCD是菱形， 把m＝1代入已知方程可得：x2﹣x0， 解得：x1＝x2． ∴此菱形的边长为． 23．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【解答】解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $