精品解析：　四川省 内江市 市中区四川省内江市第二中学2021年九年级数学第一次模拟试题

内江二中学校联盟初中2021届第一次模拟考试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：160分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在1，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 5. 已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 6. 某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（　　） A. 最高分 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 7. 已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（） A. y1>y2 B. y1<y2 C. 当x1<x2时，y1<y2 D. 当x1<x2时，y1>y2 8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ： 9. 老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（ ） x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 0 －8 －9 －5 7 … A. 抛物线的对称轴为直线 B. 是方程的一个根 C. 若，是该抛物线上的两点，则 D. 当时， 10. 如图在菱形中，，则的值（ ） A. B. 2 C. D. 11. 如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，且，则m+n=__． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是___ 16. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： ． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 19. 近年来，校园安全受到全社会的广泛关注，为了了解学生对安全知识的掌握程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_____． （2）请补全条形统计图． （3）若该中学共有学生3000人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． （4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 21. 如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分） 22. 若，，则________． 23. 一段抛物线C：y＝﹣x2+3x+m（0≤x≤3）与直线y＝x+1有唯一公共点，若m为整数，则符合条件的所有m的值的和为_____． 24. 已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、、，则当时，则_____． 25. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 已知△ABC是等腰三角形，AB=AC． （1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”） （2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数． 27. 如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求证：AE=AO； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若CD ，求AD的长． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江二中学校联盟初中2021届第一次模拟考试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：160分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在1，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握负数正数；两个负数，绝对值大的反而小是本题的关键，是一道基础题．根据负数正数和两个负数，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：在1，0，，这四个数中，最小的数是； 故选：C． 2. 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为2，2，1，表示为平面图形 【详解】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字， 得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1． 故选C． 【点睛】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】A．与 不能合并，故A选项错误； B．，故B选项错误； C．，正确； D．，故D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 5. 已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵图象过（-2，1）， ∴k=xy=-2＜0， ∴函数图象位于第二，四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质． 6. 某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（　　） A. 最高分 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：共有25名学生参加预赛，取前13名，所以小颖需要知道自己的成绩是否进入前13,我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第13名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选B． 考点：统计量的选择． 7. 已知P1（x1，y1）P2（x2，y2）是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（） A. y1>y2 B. y1<y2 C. 当x1<x2时，y1<y2 D. 当x1<x2时，y1>y2 【答案】D 【解析】 【分析】由一次项系数k=-＜0，即可得出y的值随x的增大而减小，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：在一次函数中，k=-＜0， ∴y的值随x的增大而减小， ∴当x1＜x2时，y1＞y2． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据k=-＜0找出y值随x的增大而减小是解题的关键． 8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ： 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3， ∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9， 故选：A． 【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键. 9. 老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（ ） x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 0 －8 －9 －5 7 … A. 抛物线的对称轴为直线 B. 是方程的一个根 C. 若，是该抛物线上的两点，则 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、由表格可知：抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故此选项正确，不符合题意； B、当x＝3时，y＝−5，则x＝3是方程ax2＋bx＋c＋5＝0的一个根，故此选项正确，不符合题意； C、抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，分两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则x1＞x2，当A与B在对称轴右侧时，则x1＜x2，故此选项不正确，符合题意； D、由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以当−2＜x＜4时，y＜0，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图在菱形中，，则的值（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 11. 如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 12. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①先由余角的性质得出∠ADF=∠DCE，根据“AAS”可证△ADF≌△DCE． ②根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论． ③根据，得出CN与AN的比值，即可求出结果． ④连接CF，再设=1，即可得出与的比值即可． ⑤延长DF与CB交于G，，得出△DEN与△MFB全等，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MB=BG=BC，进而得出结果． 【详解】解：①∵ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠DAF=∠EDC， ∵DF⊥CE， ∴∠EDM+∠DEM=90°， ∵∠DEM+∠DCE=90°， ∴∠ADF=∠DCE， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE，故正确； ②∵ABCD是正方形， ∴∠NAF=∠NAE， ∵△ADF≌△DCE， ∴DE=AF， ∵AE=DE， ∴AE=AF， 在△ANF和△ANE中 ， ∴△ANF≌△ANE， ∴NF=NE， ∵NM⊥CE， ∴NE＞MN， ∴NF＞MN，故错误； ③∵， ∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF， ∴△DCN∽△FAN， ∴， 又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形， ∴AF=AB=DC， ∴， ∴CN=2AN，故正确； ④连接CF， 设=1， △DCN∽△FAN， ∴， ∴， 则=3，=2， ∴=6， ∴=5， ∴∶=2：5，故正确； ⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据②的结论F为AB中点，即AF=BF， 在△DAF与△GBF中， ， ∴△DAF≌△GBF（AAS）， ∴BG=AD，又AD=BC， ∴BC=BG， ∵DF⊥CE于M， ∴∠CMG=90°， ∴△CMG是直角三角形， ∴MB=BG=BC， ∴∠G=∠BMF， 因此∠ADF=∠BMF，故正确． 所以正确的有①③④⑤共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，综合运用各知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，且，则m+n=__． 【答案】3 【解析】 【分析】将m2-n2按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值． 【详解】解：m2-n2=（m+n）（m-n）=（m+n）×2=6， 故m+n=3． 故答案为3． 14. 在函数中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列不等式即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故答案为：且． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是___ 【答案】 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB=， ∴S扇形ABD==． 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=． 故答案为． 16. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0=a（6-2）2+5，解得：， ∴抛物线解析式为： 当x=0时， ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘方、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂、绝对值的性质的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝﹣4+（1﹣）×+4+1+﹣2 ＝﹣4+﹣1+4+1+﹣2 ＝2﹣2． 【点睛】本题考查了实数的运算：二次根式的运算、零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值、绝对值的化简，能熟练掌握各项化简是解答此题的关键． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 【答案】 （1）在中，，，， ． 又， ． （2）能，； （3）或4时，△DEF为直角三角形. 【解析】 【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论； 先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答； 时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在． 【详解】略 能， ，， ． 又， 四边形AEFD为平行四边形． ， ． ． 若使▱AEFD为菱形，则需， 即，． 即当时，四边形AEFD为菱形． 时，四边形EBFD为矩形． 在中，， ． 即，． 时，由四边形AEFD为平行四边形知， ． ， ． 即，． 时，此种情况不存在． 综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意不要漏解． 19. 近年来，校园安全受到全社会的广泛关注，为了了解学生对安全知识的掌握程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_____． （2）请补全条形统计图． （3）若该中学共有学生3000人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． （4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）60，90° （2） 补全条形统计图： （3）1000人 （4） 【解析】 【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）求得了解的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的结果，再利用概率公式求得答案． 【小问1详解】 ∵了解很少的有30人，占50%， ∴接受问卷调查的学生共有：（人）； ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：； 故答案为：60，90°； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1000人； 【小问4详解】 画树状图得： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的结果有12种， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 【答案】楼房的高为米． 【解析】 【分析】解题思路为通过作辅助线构造直角三角形，利用坡度求出相关线段长度，再结合俯角的三角函数关系求出楼房高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题、俯角仰角问题，熟练掌握坡度的定义以及三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于，于点． 在中，， 米，米 米，米 在中，， 米 米， 答：楼房AB的高为米． 21. 如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为； （2），. 【解析】 【详解】试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积． 试题解析：（）把代入反比例函数表达式， 得，解得， ∴反比例函数表达式为， 把代入正比例函数， 得，解得， ∴正比例函数表达式为． （）直线由直线向上平移个单位所得， ∴直线的表达式为， 由，解得或， ∵在第四象限， ∴， 连接， ∵， ， ， ． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分） 22. 若，，则________． 【答案】15 【解析】 【分析】先将变形为，然后代入已知条件求出的值，再结合与的关系求出的值，最后代入式子进行计算．本题主要考查了代数式的求值，通过对代数式进行变形，将已知条件代入变形后的式子进行计算．熟练掌握整体代入法以及幂的运算规则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 23. 一段抛物线C：y＝﹣x2+3x+m（0≤x≤3）与直线y＝x+1有唯一公共点，若m为整数，则符合条件的所有m的值的和为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得m=0，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得m=2，3，4，故m=0，2，3，4，然后求得它们的和即可． 【详解】解：∵抛物线C：y＝﹣x2+3x+m（0≤x≤3）与直线y＝x+1有唯一公共点 ∴①如图1，抛物线与直线相切， 联立解析式得x2﹣2x+1﹣m＝0 △＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）＝0 解得m＝0 ②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点 此时两个临界值分别为（0，1）和（3，4）在抛物线上， ∴m的最小值＝1，但取不到，c的最大值＝4，能取到， ∴1＜m≤4， 又∵m为整数， ∴m＝2，3，4， 综上，m＝0，2，3，4， 0+2+3+4＝9， 故答案为9． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键． 24. 已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、、，则当时，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设三个半圆与直线分别相切于、、点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线的方程得到直线的倾斜角为，根据角所对直角边等于斜边的一半得到，，，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半半径相加，得出、、间的关系，由的值可得出、的值，按照此规律可归纳出的值． 【详解】解：设半圆、半圆、半圆与直线分别相切于点，，，连接，，，则，，， ， ， 又三半圆彼此相外切， ，，， ，， ，， ， ， ， 按此规律归纳得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含直角三角形的性质以及一次函数的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 25. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=4，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=1， ∴FM=DM×cos30°=， ∴， ∴A′C=MC﹣MA′=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 已知△ABC是等腰三角形，AB=AC． （1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”） （2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数． 【答案】（1）=； （2）成立． 证明：由①易知AD=AE， ∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC， 又∵AD=AE，AB=AC ∴△DAB≌△EAC， ∴DB=CE， （3）135°. 【解析】 【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE； （3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可． 【详解】（1）∵DE∥BC， ∴， ∵AB=AC， ∴DB=EC， 故答案为=， （2）略 （3）如图， 将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE， ∴△CPB≌△CEA， ∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°， ∴∠CEP=∠CPE=45°， 在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=， 在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9， ∵PE2+AE2=AP2， ∴△PEA是直角三角形 ∴∠PEA=90°， ∴∠CEA=135°， 又∵△CPB≌△CEA ∴∠BPC=∠CEA=135°． 【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例. 27. 如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，求证：AE=AO； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若CD ，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，连接OC，只要证明∠OCE＝90°即可，根据题目中的条件，可以证明OC∥BD，根据CD⊥BG于点D，从而可以证明结论成立； （2）根据OC∥BD可得，，利用相似三角形的性质求出，即可证明AE＝AO； （3）在（2）的条件下，根据含30度直角三角形的性质求出半径，然后作于点，分别求出DM和AM，根据勾股定理可以求得AD的长． 【详解】解：（1）连接， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ； （3）在（2）的条件下，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 作于点， ， ，， ，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题是一道圆的综合题目，主要考查弧、弦、圆心角的关系、切线的判定、三角形相似的判定与性质、勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）存在，点P的坐标是或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作交于H，证明，则，再转化为二次函数求最值； （3）分两种情况讨论，构造一线三等角的相似三角形解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1中，过点D作交于H， 设， 设直线 ∵，， ∴， 解得， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴的最大值为1． 【小问3详解】 解：①当点P在直线左侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M， 对于抛物线，当，则， 解得：, ∵，，， ∴， ∵直线， ∴直线l的解析式为， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． ∴； ②当点P在直线右侧时，构造同样辅助线，如图： 设， 同理可证明：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． 此时点P的坐标为． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $