辽宁省部分学校2026届高三上学期9月联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：概率与统计、数列、集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导 数及其应用。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知命题p:3x∈R,7x+3=0,则 A.p为假命题，p的否定为“Vx∈R,7x+3≠0” B.p为假命题，p的否定为“3x∈R,7x十3≠0” C.p为真命题，p的否定为”Hx∈R,7x+3≠0” D.p为真命题，p的否定为"3x∈R,7x十3≠0” 2.在等差数列{an}中，a2=3,a,=13则公差d= A.-10 B.-5 C.10 D.5 3.函数f(x)=一√x一x十5的零点所在区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 4.若函数f(x)=cosx,则lim f(1+4△x)-f1)= △x A.4sin 1 B.-4sin 1 c是n1 D.sin 1 5.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,A=50°，则“50°<B<90”是“△ABC为锐角三角 形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知f)是奇函数，当>0时，f)-子--6x,则fx)的极大值点为 A.3 B.2 C.-2 D.-3 【高三数学第1页（共4页）】 7.有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练，参加篮球训练的有6人，参加乒乓球训练的有9人，参加羽 毛球训练的有10人，其中只参加2种球类训练的有6人，则参加3种球类训练的人数为 A.2 B.4 C.1 D.3 8,若a=16,b=e,c=3子，则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知集合A={x|(x一2)(x一a)=0},B={x|(x一3)(x一4)=0}，则A∩B可能为 A.0 B.{2} C.{3} D.{4} 10.已知函数f(x)=e,g(x)=e+1十a,则 A.曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线斜率为1 B.曲线y=f(x)上的点到直线x一y=0的距离的最小值为W② C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线 D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线 11.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x+2)= 品f0)=2,对任意的1x∈[0,2， 1+f(x) 且x1≠x2, (x1)-f(x) 一x:平>0恒成立，则 Af=-司 Bf(x)的图象关于点(1，-号)对称 C.f(x)在[n,n+2)(n=2k,k∈N)上单调递增 D.当8m+6≤x<8m+8m∈N时，fx)≥号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2x+的最小值为△ 13.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练V个单位的数据量所需的时间T=k1gN(单 位：h),其中k为常数.在此条件下，训练8000个单位的数据量与训练125000个单位的数 据量所需的时间之和为54h,则k= 在此条件下，当训练x个单位的数据量所 需的时间为18h时，x= 14.函数y=x+√x2一2x的值域为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 随着我国人工智能(AI)的突破性发展，近期许多优秀的人工智能(AI)应用软件发布并上 线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨 论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能(A)应用软件，为了测试青 年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得 到如下2×2列联表： 单位：人 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 3m十n 2m一n 中年用户 m十n m+2n 150 合计 300 (1)求m,n的值； (2)在答题卡中补全2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为用户的年龄段与对该软 件的应用体验是否良好有关， 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(aFc)(b+dna+b+c+d. a=P(X2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 在正项数列{an}中，a1=3,a+1一2am+1=a十2a.· (1)求{a.}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和T. 【高三数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，g(x)=x2-4ax十5. (1)若g(f(1)=-7,求a的值； (2)若f(x)与g(x)在（一∞，1]上的单调性相同，求a的取值范围； (3)对于任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,5]，使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围， 18.(17分) 已知函数f)=-3hx-是-a. (1)证明：Ha∈(0，+o∞)，f(a)<0. (2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围. (3)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1十x2十6ln3>2a+6+6ln2. 19.(17分) 一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球.从中任取1个球， 若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的 白球放回盒中，这样的过程称为一次操作.记第n(n∈N+)次操作后，盒中白球的个数为 X.,期望为E(X.). (1)求P(X2=4) (2)当≥3时，证明：P(X+1=3+m)=3+mP(X,=3+m)+4”P(X.=2+m)(m 6 6 1,2,3) (3)求E(Xn). 【高三数学第4页（共4页）】 数学试卷参考答案 1.C当x=一三时，7x+3=0,所以p为真命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 2.Dd=a4-g2=5. 4-2 3.B由题意得f(x)在[0，十∞)上单调递减，且f(3)=2-√5>0，f(4)=一1<0，所以f(x) 的零点所在区间是(3,4). 4.B由题意得f'(x)=-sinx,则lim f1+4△)-f①=im [f(1+4△x)-f(1)]= △x 4△x 4 lim f1+4△x)-f=4f'(1)=-4sin1. △.0 4△x 5.A由题意得C=180°一50°一B=130°一B,当△ABC为锐角三角形时， 0<B<90°， 0<C=130°-B<90,得40<B<90°，所以“50<B<90”是“△ABC为锐角三角形”的充 分不必要条件 6.D当x>0时，f'(x)=x2-x-6=(x+2)(x-3).当0<x<3时，f'(x)<0,当x>3时， f'(x)>0,所以f(x)的极小值点为3.因为f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称， 故f(x)的极大值点为一3. 7.A参加3种球类训练的人数为6+9+10-6-15=2. 2 &B因为a-16-4>0.b=e>0c-3>0,所以ha-4,h6=,hc-3设函 e 数fx)=,则了x)=,当x∈[e,+∞)时，fx)≤0，fx)单调递减，所以 f(4)<f(3)<f(e),所以lna<lnc<lnb,故a<c<b. 9.ACD由题意得B={3,4}.当a=3时，A∩B={3.当a=4时，A∩B={4.当a≠3且a ≠4时，A∩B=心. 10.AC由题意得f'(x)=e,则f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线斜率为1， A正确. 因为曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x一y=0平行，所以曲线y=f(x)上的点到 直线x一y=0的距离的最小值为0骨-号，B错误.g)=心1，设曲线y=了)，曲 √1+1下 线y=g6)的切点分别为e).(e1+a,则十a=心 =e=e1,得a= x2一x1 一e.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线，当a≥0时，曲线y= f(x)与y=g(x)没有公切线，C正确，D错误. 11.ACD 由题意得f(2)= 牛8=-3则f4)=芒号=-分A正确由了0)= 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 二器=2得-2)=日点（一2号）和点(，-》不关于点1，-宁)对称B错说 由题意得fx)在[0,2)上单调递增，因为f(x+2)-芒侣-1+-子·所以 f(x)在[2,4)上单调递增，依次类推，f(x)在[n,n+2)(n=2k,k∈N)上单调递增，C正确， 由题+品得车 1 =1-f(x+2) 1-1+fx 1-f(x) 1 1 芒+-1西」 =f(x),则fx)的周期为8因为f(x+6)=-+ 1+了 1 f(x) 1-F当x∈[0.2.即x+6∈[6.8)时，fx)≥2，fx+6)≥3综上， f(x)-1 2 当8m+6<x<8m+8(m∈N)时，f(x)>行，D正确， 1262x+-2x+10+年一22222+D年-2-6当且仅当2+ 8 D8即x=士1时，等号成立.故22+9 x千的最小值为6. 13.6:1000由题意得k1g8000+k1g125000=k1g(8×1.25×108)=k1g10°=9k=54,得k =6.当T=18时，6lgx=18,得lgx=3,得x=1000 y≥x, 14.[0,1)U[2,十o∞)由题意得 y≥x, 得 x2-2x=(y-x)2,x= y2 该方程组有解的充要条件 2y-2 为≥，心 小≥2)得，受-二≥0解得0≤<1或≥2.故函数y=x+一2的 值域为[0,1)U[2,+o∞). 15.解：(1)由已知得青年用户的人数为300一150=150，…2分 3m+n+2m-n=150, m=30, 则 解得 …5分 m+n+m+2n=150, n=30. (2)2×2列联表如下： 单位：人 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 120 30 150 中年用户 60 90 150 合计 180 120 300 …6分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 由题意可知x2=300×(120×90-30×60)2 180×120×150×150 =50>10.828,… 11分 所以有99.9%的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关.…13分 16.解：(1)由题意得a+1一a=2am+1十2am,得(am+1一an)(am+1十an)=2(am+1十an).… 40444440004800480444…4400444…2 由am>0,am+1>0,得am+1一an=2,则{an}是首项为3，公差为2的等差数列，…5分 所以an=3十2(n一1)=2n十1.… …7分 2由1)得ad.=2n+2n+=号(2n市2》， 1 一 …11分 1 6n+91 …15分 17.解：(1)由题意得g(f(1)=g(a)=a2一4a2十5=一7，…1分 解得a=2(负根已舍去).…2分 (2)由题意得g(x)图象的对称轴为直线x=2a.…3分 易得gx)在（一6,1门上单调递减，则2a≥1， 0<a<1, 5分 解得2<a<1,所以a的取值范围为[2,1). 6分 (3)因为对于任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0.5]，使得f(x1)=g(x2),所以 |g(x）mn≤f(x）, f(x)max≤g(x)mx. 5 当2a>5,即a>2时，gx)m=g(5)=30-20a,g（x)m=g(0)=5..7分 当号<2a<6,即月<a<号时g)=g(2a)=-4a2+5,grm=g0)=5.…8分 当0<2a<号，即0<a<时gc)=g(2a)=-4a2+5grm=g5=30-20a …9分 ①当a>1时，f(x)单调递增，f(x)的值域为[1，a], …10分 a>1, a>1, a>1, 得a 5 5 2 或≤a≤分 或 o<a<4 …11分 30-20a≤1， -4a2+5≤1， -4a2+5≤1， a≤5 a≤5 a≤30-20a, 解得<a≤或<<号或1<a<号得1<a< …12分 ②当0<a<1时，f(x)单调递减，f(x)的值域为[a,1],…13分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 0<a<1, 得 0<a<4' 不等式组无解 14分 -4a2+5≤a, 1≤30-20a, 综上，a的取值范围为(1,5]. …15分 18.(1)证明：f(a)=a-3lna-2 =-3lna-2(a>0).… 设g)=-3hx-是则gx)=-2+是=2 r? 2分 2 2 当0<x<3时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>时，g'(x)<0,g(x)单调递减，… …3分 所以gx)m=g(号)=-3(n号+1)=-3h号<0， 所以g(x)<0,故Ha∈(0，+∞)，f(a)<0. 0……0040…4分 (2)解：由fx)=0,得x-3nx-2=a. 设Ax)=r-3hx-2,则'x)=红-1Dx-2 …5分 当0<x<1或x>2时，h'(.x)>0,h(x)单调递增，当1<x<2时，h'(x)<0,h(x)单调递 减，… …6分 所以h(x)在x=1处取得极大值，且极大值为一1，h(x)在x=2处取得极小值，且极小值为 1-3ln2,… …7分 当+oo时，h)→+o∞，h)=x+3h子-号当x→0时：h)→-o0,…8 若f(x)只有一个零点，则a的取值范围是（一∞，1一3n2)U(一1，十o∞）.…9分 3i证明：因为x1x,是fx)的两个零点，所以x一3n二三ax2一3nx:元 则+：-3nx+n)-(层+子)=2a, …10分 2(x1+x2) 则x1+x2=2a+3ln(x1x2)+ ,…11分 T1T2 因为x1>0,x2>0,x1≠x2,所以x1十x2>2W父1x2,…12分 所以，+x,>2a+3n(x1,)+4y=2a+3n(c,,)+A …13分 T1T2 √x1x2 设vc=>0g)=3n2+兰=6nt+4, …14分 则ga)=鸟--当01<号时g<0,当>号时gu>0…15分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 所以g)m=g(号)=6lh号+6=6ln2-6n3+6, 16分 所以x1+x2>2a十3ln(x1x2)+ 4_>2a+6ln2-6ln3+6, √x1x2 即x1+x2+6ln3>2a十6+6ln2.… …17分 1.1解：由题意得PX,=3)=PX=4)=音-之， …1分 所以P(X:=40=P(X,=3)+着P(X,=40=2 …3分 (2)证明：每次操作后盒中球的总个数始终是6. …4分 第n十1次操作后盒中有3十m个白球的情况有两种： ①第n次操作后盒中有3+m个白球，即盒中有3十m个白球、3一m个黑球，第n+1次取 出的是白球，其发生的概率为P(X,=3十m)×3+m 6； …5分 ②第n次操作后盒中有2十m个白球，即盒中有2十m个白球、4一m个黑球，第n十1次取 出的是黑球，其发生的概率为P(X。=2+m)×4二m …6分 6 所以当n≥3时，P0X1=3+m-3PX,=3+m+气P(X,=2+m0m=1.2,3》. …7分 (3)解：由(1)可知P(X1=5)=P(X1=6)=0,P(X2=6)=0, E(X1)=3P(X1=3)+4P(X1=4)=3P(X1=3)+4P(X,=4)+5P(X1=5)+6P(X,=6). E(X2)=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2= 5)十6P(X2=6).… …8分 当n≥3时，X。的可能取值为3,4,5,6， 则E(Xn)=3P(Xn=3)十4P(Xn=4)十5P(X.=5)+6P(X.=6).…9分 当n≥3时，Xm+1的可能取值为3,4,5,6. PX+1=3)=号PX.=3),由2②)得PX+1=0=号P(X.=0+P(X.=3, PX1=5)=号P(X.=5)+P(X.=40,P(X41=6)=P(X.=6)+名P(X=5)… …10分 当n=1或2时，上述4个等式也成立， …11分 则E(Xm+1)=3P(X+1=3)+4P(Xm+1=4)+5P(X+1=5)+6P(X+1=6) =3x号PX.=8)+[号P(X.=4)+号P(X.=3]+5[P(X.=5)+号PX.=4]十 6[PX.=6+P(X,=5]=PX,=3)+9P(X,=0+PX.=5)+6P(X.=… …12分 =[3P(X,=3)+4P(X=40+5P(X.=5)+6P(X.=6)]+P(X.=3)+P(X.=4)+ 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 P(X.=5)+PX.=6=8EX,)+1. 15分 由E(X+1)=号E(X,)+1,得E(X41)-6=号[E(X,)-6], 6 所以{E(X,)一6)是首项为E(X1)-6=一号，公比为后的等比数列. 5 …16分 故E(X,)-6=- ()得EX)=6-() …17分 备注： 第(2)问还可以这样证明： 当m=1时，P(X+1=4)=5P(X.=4)+2P(X。=3),…5分 当m=2时.P(X1=5)=P(X,=5)十P(X=4…6分 当m=3时，P(X+1=6)=P(X.=6)+6P(X.=5), 所以当3时，PX1=3+m)=3PGX.=3+m)+气P0X.=2+mm=12.3》. 6 …7分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】